[Algebra] $p$ primo $hArr$ $p|2^p -2$
Ovviamente non è vero 
, il problema chiedeva di dimostrare per entrambe le implicazioni se fossero vere o false.
Come detto nel titolo, la "tesi" è: $p$ primo $hArr$ $p|2^p -2$
$rArr$) Questa implicazione dovrebbe essere vera: sia $p$ primo, allora:
Per $p = 2$ la condizione è verificata.
Supponiamo $p > 2$ e quindi $p$ dispari. Si ha quindi $MCD(p, 2) = 1$.
Allora (per Fermat) segue che $2^(p-1) \equiv 1 (mod p)$ o equivalentemente che $p|2^(p-1) -1$ e quindi $p|2(2^(p-1) -1) = 2^p -2$ ovvero la tesi.
Invece per la parte $lArr$ trovo qualche difficoltà nel dimostrare che sia falsa (sarebbe decisamente strano se anche questa fosse vera).
Idee?
, il problema chiedeva di dimostrare per entrambe le implicazioni se fossero vere o false.Come detto nel titolo, la "tesi" è: $p$ primo $hArr$ $p|2^p -2$
$rArr$) Questa implicazione dovrebbe essere vera: sia $p$ primo, allora:
Per $p = 2$ la condizione è verificata.
Supponiamo $p > 2$ e quindi $p$ dispari. Si ha quindi $MCD(p, 2) = 1$.
Allora (per Fermat) segue che $2^(p-1) \equiv 1 (mod p)$ o equivalentemente che $p|2^(p-1) -1$ e quindi $p|2(2^(p-1) -1) = 2^p -2$ ovvero la tesi.
Invece per la parte $lArr$ trovo qualche difficoltà nel dimostrare che sia falsa (sarebbe decisamente strano se anche questa fosse vera).
Idee?
Risposte
Sicuramente non vale per il primo numero di Carmichael (561) e credo che valga anche per tutti gli altri...
Probabilmente c'è comunque un numero più basso per cui non vale.
Probabilmente c'è comunque un numero più basso per cui non vale.
Un esempio trovato nella rete più basso di quello fornito da vict85, è 341
Un esempio trovato nella rete più basso di quello fornito da vict85, è 341
--- non so perchè ma mi è partito un messaggio doppio ---
--- non so perchè ma mi è partito un messaggio doppio ---
Ok, una volta trovato il numero (non primo) non è difficile in genere dimostrare che in effetti verifica quella condizione ( per esempio, per 341 segue dal fatto che $2^10 = 1024 \equiv 1 (mod 341)$ ).
Ma per trovarlo un modo c'è ?
Ma per trovarlo un modo c'è ?
"Gatto89":
Ok, una volta trovato il numero (non primo) non è difficile in genere dimostrare che in effetti verifica quella condizione ( per esempio, per 341 segue dal fatto che $2^10 = 1024 \equiv 1 (mod 341)$ ).
Ma per trovarlo un modo c'è ?
Io mi sono basato semplicemente sul fatto che quei numeri sono dei controesempi per numerosi problemi simili e quindi sono i primi a cui conviene guardare...
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