Algebra I: Polinomi e radici multiple
a) dire se $x^5+x+1$ ha fattori multipli in $KK[x]$ quando $KK=QQ,RR,CC,ZZ_2,ZZ_3$
io ho fatto la divizione euclidea tra $x^5+x+1$ e la sua derivata formale per trovare il MCD, mi viene in tutti i casi =1 (a meno della moltiplicazione per un invertibile), quindi in tutti questi campi questo polinomio non ha fattori multipli?
b) Dire quali fra i seguenti polinomi di $CC[x]$ ha radici multiple:
$x^5-2x^4-x^3-x^2-x$, $x^5-x^4+x^3-2x^2+1$
anche qui andrei a cercarmi il MCD, ma mi viene da chiedermi se non ci sia un metodo più furbo...
io ho fatto la divizione euclidea tra $x^5+x+1$ e la sua derivata formale per trovare il MCD, mi viene in tutti i casi =1 (a meno della moltiplicazione per un invertibile), quindi in tutti questi campi questo polinomio non ha fattori multipli?
b) Dire quali fra i seguenti polinomi di $CC[x]$ ha radici multiple:
$x^5-2x^4-x^3-x^2-x$, $x^5-x^4+x^3-2x^2+1$
anche qui andrei a cercarmi il MCD, ma mi viene da chiedermi se non ci sia un metodo più furbo...
Risposte
"nato_pigro":
a) dire se $x^5+x+1$ ha fattori multipli in $KK[x]$ quando $KK=QQ,RR,CC,ZZ_2,ZZ_3$
io ho fatto la divizione euclidea tra $x^5+x+1$ e la sua derivata formale per trovare il MCD, mi viene in tutti i casi =1 (a meno della moltiplicazione per un invertibile), quindi in tutti questi campi questo polinomio non ha fattori multipli?
Se ne avesse, diciamo:
$f(x)=(x-alpha)^np(x)$
avresti:
$f'(x)=(x-alpha)^(n-1)*[n*p(x)+(x-alpha)*p(x)]$
e dunque $gcd(f(x),f'(x))=(x-alpha)^(n-1)$
b) Dire quali fra i seguenti polinomi di $CC[x]$ ha radici multiple:
$x^5-2x^4-x^3-x^2-x$, $x^5-x^4+x^3-2x^2+1$
anche qui andrei a cercarmi il MCD, ma mi viene da chiedermi se non ci sia un metodo più furbo...
Qui io cercherei una scomposizione, il secondo:
$x^5-x^4+x^3-2x^2+1=x^5-x^4+x^3-x^2-x^2+1 = x^4(x-1)+x^2(x-1)+(x+1)(x-1)=(x-1)(x^4+x^2+x+1)$
che di certo non ha elementi multipli.
il primo uso invece il metodo dell'MCD che non dà risultati.
"Lord K":
[quote="nato_pigro"]a) dire se $x^5+x+1$ ha fattori multipli in $KK[x]$ quando $KK=QQ,RR,CC,ZZ_2,ZZ_3$
io ho fatto la divizione euclidea tra $x^5+x+1$ e la sua derivata formale per trovare il MCD, mi viene in tutti i casi =1 (a meno della moltiplicazione per un invertibile), quindi in tutti questi campi questo polinomio non ha fattori multipli?
Se ne avesse, diciamo:
$f(x)=(x-alpha)^np(x)$
avresti:
$f'(x)=(x-alpha)^(n-1)*[n*p(x)+(x-alpha)*p(x)]$
e dunque $gcd(f(x),f'(x))=(x-alpha)^(n-1)$
[/quote]
non ho capito... è il discorso generale che conosco io, cosa ha a che fare con questo esercizio particolare?
per l'es b): ok, mi manca un po' di occhio...
Ho solo rimarcato il tuo procedimento... non c'era critica 
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