Algebra - Gruppi
Ciao a tutti. Avrei un problema con questo esercizio. Qualcuno gentilmente potrebbe darmi una dritta? Grazie in anticipo..
Ho $H={a/5^n :a in ZZ, n in NN}$ sottogruppo del gruppo $QQ$ dei razionali rispetto all'addizione.
a) si dimostri che ogni elemento di $Q//H$ ha ordine finito
b) Indicando con $[x]$ la classe di equivalenza di $x in QQ$ nell'insieme quoziente $Q//H$, si calcoli l'ordine di $[a/5^n]$
ora per la domanda b avrei una mezza idea che riporto di seguito (riporto sotto) mentre per la a non saprei come fare...
per la b intanto avevo pensato:
dato $[a/5^n]$ $=>$ $m[a/5^n]=[0]=[H]$ con $m>0 in NN$
$=>$ $[ma/5^n] = [0]$ $=>$ $ma/5^n in [0]$ $=>$ $ma/5^n in H$
$=>$ la condizione è che $m|5^n$
Ho $H={a/5^n :a in ZZ, n in NN}$ sottogruppo del gruppo $QQ$ dei razionali rispetto all'addizione.
a) si dimostri che ogni elemento di $Q//H$ ha ordine finito
b) Indicando con $[x]$ la classe di equivalenza di $x in QQ$ nell'insieme quoziente $Q//H$, si calcoli l'ordine di $[a/5^n]$
ora per la domanda b avrei una mezza idea che riporto di seguito (riporto sotto) mentre per la a non saprei come fare...
per la b intanto avevo pensato:
dato $[a/5^n]$ $=>$ $m[a/5^n]=[0]=[H]$ con $m>0 in NN$
$=>$ $[ma/5^n] = [0]$ $=>$ $ma/5^n in [0]$ $=>$ $ma/5^n in H$
$=>$ la condizione è che $m|5^n$
Risposte
sinceramente il tuo secondo punto non l'ho capito... quell'elemento sta già in $H$ e quindi ha periodo $1$.
Per quanto riguarda il primo punto, teniamo conto che ogni elemento del quoziente si rappresenta nella forma
$m+H$, con $m=r/s\inQQ$ e dobbiamo mostrare che esiste $t\inZZ$ tale che $mt\inH$. La posizione $mt=a/(5^n)$
porta subito ad esempio alle condizioni $a=r5^n$ da cui si deduce che basta $t=s$.
P.s. a posteriori si può osservare che la condizioni trovata è proprio ovvia! Infatti in $H$ ci sono tutti i numeri interi e quindi è chiaro che basta eliminare da $m$ il denominatore per cadere in $H$
Per quanto riguarda il primo punto, teniamo conto che ogni elemento del quoziente si rappresenta nella forma
$m+H$, con $m=r/s\inQQ$ e dobbiamo mostrare che esiste $t\inZZ$ tale che $mt\inH$. La posizione $mt=a/(5^n)$
porta subito ad esempio alle condizioni $a=r5^n$ da cui si deduce che basta $t=s$.
P.s. a posteriori si può osservare che la condizioni trovata è proprio ovvia! Infatti in $H$ ci sono tutti i numeri interi e quindi è chiaro che basta eliminare da $m$ il denominatore per cadere in $H$
Intanto grazie mille della risposta..ora è più chiaro 
per quanto riguarda il punto b si conclude che ha periodo 1 proprio dal fatto che $a/5^n in H$?
perchè in università ci si è chiesto con alcuni miei compagni di corso quando eravamo nel caso, per esempio, di calcolare l'ordine di $[3/10]$, quindi ponendo $m=2$ allora $m3/10=3/5 in H$ e quindi l'ordine sarebbe $2$..ora mi sorge il dubbio che sbagliamo a moltiplicare essendo in notazione additiva anche se la definizione $g^m=1$ in questo caso si trasformerebbe in $mg=0$
per quanto riguarda il punto b si conclude che ha periodo 1 proprio dal fatto che $a/5^n in H$?
perchè in università ci si è chiesto con alcuni miei compagni di corso quando eravamo nel caso, per esempio, di calcolare l'ordine di $[3/10]$, quindi ponendo $m=2$ allora $m3/10=3/5 in H$ e quindi l'ordine sarebbe $2$..ora mi sorge il dubbio che sbagliamo a moltiplicare essendo in notazione additiva anche se la definizione $g^m=1$ in questo caso si trasformerebbe in $mg=0$
nel caso di $3/10$ fate bene perchè non è della forma $a/(5^n)$, per cui il suo periodo non è $1$ e nella fattispecie è proprio $2$.
".: Fix You :.":
ora mi sorge il dubbio che sbagliamo a moltiplicare essendo in notazione additiva anche se la definizione $g^m=1$ in questo caso si trasformerebbe in $mg=0$
fate bene a moltiplicare
perfetto....troppo gentile...buona serata
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