Algebra.... folle
posto una serie di esercizi (su alcuni dei quali sto ancora riflettendo).. magari qualche folle vuole condividere il mal di testa...
1) determinare gli automorfismi di R
2) sia F il campo di spezzamento di x^3 - 2 su Q. Determinare il gruppo di Galois di F su Q
3) per ogni naturale n determinare il gruppo di Galois di F(p^n) su F(p); dove si indica con F(p^k) il campo finito di ordine p^k.
4) dimostrare che per ogni estensione algebrica di un campo di caratteristica 0, il polinomio minimo di un generico elemento di tale estensione non ha radici multiple.
5) sia F una famiglia di polinomi non costanti a coefficienti in un campo E. Dimostrare che esiste unico a meno di isomorfismi il campo di spezzamento di F su E (questo è facile per famiglie finite... ma per famiglie infinite???!!!)
bah... mi complimento innanzitutto per chi ha letto fin qua!!
ciao, ubermensch
1) determinare gli automorfismi di R
2) sia F il campo di spezzamento di x^3 - 2 su Q. Determinare il gruppo di Galois di F su Q
3) per ogni naturale n determinare il gruppo di Galois di F(p^n) su F(p); dove si indica con F(p^k) il campo finito di ordine p^k.
4) dimostrare che per ogni estensione algebrica di un campo di caratteristica 0, il polinomio minimo di un generico elemento di tale estensione non ha radici multiple.
5) sia F una famiglia di polinomi non costanti a coefficienti in un campo E. Dimostrare che esiste unico a meno di isomorfismi il campo di spezzamento di F su E (questo è facile per famiglie finite... ma per famiglie infinite???!!!)
bah... mi complimento innanzitutto per chi ha letto fin qua!!
ciao, ubermensch
Risposte
Per la 1) devi specificare che automorfismi intendi.
Per la 2) e' standard.... trova le radici, estendi Q con esse.... insomma dovrebbe essere facile.
Per la 3) se non ricordo male F(p^n) dovrebbe essere il campo di spezzamento di x^(p^n)-x su F_p (??)....
Per la 4) bisogna pensarci
Per la 5) non so cosa intendi per campo di spezzamento di una famiglia di polinomi...
Luca Lussardi
http://www.lussardi.tk
Per la 2) e' standard.... trova le radici, estendi Q con esse.... insomma dovrebbe essere facile.
Per la 3) se non ricordo male F(p^n) dovrebbe essere il campo di spezzamento di x^(p^n)-x su F_p (??)....
Per la 4) bisogna pensarci
Per la 5) non so cosa intendi per campo di spezzamento di una famiglia di polinomi...
Luca Lussardi
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1) automorfismi di campi
2) se si fa col metodo standard vengono dei conti folli; stavo cercando una strada alternativa.
3) ricordi bene
4) bisogna pensarci... e tanto anche!
5) il più "piccolo" campo in cui si spezzano in fattori lineari tutti i polinomi della famiglia
ciao, ubermensch
2) se si fa col metodo standard vengono dei conti folli; stavo cercando una strada alternativa.
3) ricordi bene
4) bisogna pensarci... e tanto anche!
5) il più "piccolo" campo in cui si spezzano in fattori lineari tutti i polinomi della famiglia
ciao, ubermensch
Non vorrei dire assurdita', ma un campo non ha solo l'automorfismo banale? Non avendo ideali propri....
Luca Lussardi
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Luca Lussardi
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non mi convince tanto Luca... Su F(p^k) mi sembra siano definiti gli automorfismi di Frobenius... domani controllo
avevo ragione:
http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/lezione24.htm osservazione 24.10
più che altro mi dirai che tali autorfismi sono definiti su campi di caratteristica p, mentre R ha caratteristica 0... boh!!
http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/lezione24.htm osservazione 24.10
più che altro mi dirai che tali autorfismi sono definiti su campi di caratteristica p, mentre R ha caratteristica 0... boh!!
No, hai ragione, un campo non ha omomorfismi non banali. Infatti ha solo automorfismi, ho scambiato le due cose... trovarli pero'.... Come osservazione io l'ho gia' sentita comunque, e mi pare di ricordare che fosse una cosa semplice, insomma un isomorfismo da R in R e' un'appliaczione lineare iniettiva e suriettiva... non e' che vengono tutte le rette y=mx? o magari solo alcune di queste, viste le altre proprieta' degli isomorfismi di campi...
Luca Lussardi
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infatti anche io stavo pensando ad una cosa del genere... d'altra parte però non sembra neanche facilissimo dimostrare che sono solo quelle..
Beh, un'applicazione lineare da R in R deve aver la forma y=mx, non puo' avarne altre...
Luca Lussardi
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Luca Lussardi
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un pò in ritardo... l'applicazione y=mx non conserva l'unità e quindi non è un automorfismo di campi. Sembra proprio che l'unico automorfismo di campi a caratteristica 0 sia quello identico..
Infatti e' quello che mi sembra di ricordare che il solo automorfismo di R fosse l'identita', ma la cosa non mi convince ancora molto.
Luca Lussardi
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Luca Lussardi
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Vediamo un pò di fare così:
siamo d'accordo che un automorfismo f di R fissa Q. Siamo anche d'accordo che conserva l'ordinamento: siano x < y e z=y-x, allora f(z)=f(sqrt(z))^2 >0; e quindi f(x) < f(y).
A questo punto f deve per forza fissare tutto per la densità di Q; supponiamo infatti che f(x) = x + k, k!=0, allora se consideriamo un razionale q maggiore di x per meno di k, poichè f fissa Q abbiamo f(x) >f(q), che contraddice il fatto che f conserva l'ordiamento.
ciao, ubermensch
siamo d'accordo che un automorfismo f di R fissa Q. Siamo anche d'accordo che conserva l'ordinamento: siano x < y e z=y-x, allora f(z)=f(sqrt(z))^2 >0; e quindi f(x) < f(y).
A questo punto f deve per forza fissare tutto per la densità di Q; supponiamo infatti che f(x) = x + k, k!=0, allora se consideriamo un razionale q maggiore di x per meno di k, poichè f fissa Q abbiamo f(x) >f(q), che contraddice il fatto che f conserva l'ordiamento.
ciao, ubermensch
Si, va bene, deriva proprio dal fatto che l'ordinamento e' preservato. La proprieta' non si estende ad un qualunque campo di caratteristica zero; infatti C ha un automorfismo non banale che e' il coniugio (forse e' anche l'unico...). Tra l'altro si osserva che in C guarda caso salta la proprieta' di ordinamento.
Luca Lussardi
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ottimo! di questo non me n'ero accorto!
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