Algebra: Elementi massimali e minimali

[whiterabbit1]

Anzitutto ciao a tutti.

Avrei un problemino con il calcolo degli elementi massimali e minimali di una data relazione, mi potreste illuminare?

Prendiamo per esempio questa relazione:
X=ℕ×ℕ
(a,b)ρ(c,d) se e solo se a|c e d|b.

Ora, come calcolo gli elementi massimali e minimali? io sò che un elemento massimale è un elemento tale che:

A⊆X

x∈A, ∀a∈A (x,a)¬∈R



Ora di quali elementi possiamo dire che ciò sia vero? di nessuno? perchè se prendiamo il caso limite in cui A = N allora ci sarà sempre almeno un elemento all'interno di A che è divisibile per sè stesso.
Non riesco a venirne fuori Ero abituato con matematica in cui mi veniva dato il sottoinsieme A ora non viene dato quindi prendo per limite che sia A=N o A= 0. Ma nel caso sia uguale ad N non ci saranno mai massimali o minimali. In cosa sbaglio?

Grazie mille per l'attenzione.


EDIT: Uhm perchè non si vedono le immagini Se copiate i link all'interno dei tag ci sono le immagini..

[Studente Anonimo]

No ti prego

Almeno scrivi le formule col \$ ! Si fa così: metti un \$ prima della formula e un \$ dopo.

Ti scrivo meglio quello che chiedi:

Avrei un problemino con il calcolo degli elementi massimali e minimali di una data relazione, mi potreste illuminare?

Prendiamo per esempio questa relazione:
$X=NN xx NN$
$(a,b) rho (c,d)$ se e solo se $a|c$ e $d|b$.

Ora, come calcolo gli elementi massimali e minimali? io sò che un elemento massimale è un elemento tale che:

$A subseteq X$

$x in A,\ forall a in A\ (x,a) not in R$

Ora di quali elementi possiamo dire che ciò sia vero? di nessuno? perchè se prendiamo il caso limite in cui A = N allora ci sarà sempre almeno un elemento all'interno di A che è divisibile per sè stesso.
Non riesco a venirne fuori Ero abituato con matematica in cui mi veniva dato il sottoinsieme A ora non viene dato quindi prendo per limite che sia A=N o A= 0. Ma nel caso sia uguale ad N non ci saranno mai massimali o minimali. In cosa sbaglio?

E' giusto?

Comunque la tua richiesta non mi sembra molto chiara. Vuoi trovare un elemento massimale/minimale in $X$ ? Cosa rappresenta $A$ ? Vuoi trovare un elemento massimale in ogni fissato $A$ ?
E comunque la relazione che hai scritto è riflessiva, quindi non è possibile che dato $x in A$ si abbia $(x,a) not in R$ per ogni $a in A$ (perché almeno $(a,a) in R$).

PS: ah, benvenuto nel forum!

[whiterabbit1]

Si, la tua riscrittura è corretta. Grazie e mi scuso per il casino, ma non ho trovato il BBcode adeguato e mi son buttato sul servizio on-line per creare le immagini delle formule in latex ma non le vede correttamente qua..


Per il resto:

1) nemmeno a me la mia richiesta sembra molto chiara ehehe mi spiego meglio. Quella più che una mia richiesta è una richiesta fatta da un testo d'esame che stò cercando di svolgere. Gli elementi massimali e minimali sono di $A$ ma nel testo dell'esercizio non viene definito $A$ per quello mi chiedevo se bisogna assumerlo nei casi limite cioè uguale a zero e uguale ad N. Credo che sia "Vuoi trovare un elemento massimale in ogni fissato $A$?"

2) Esatto è quello che mi chiedo anch'io. In tutti gli esercizi mi viene data una relazione d'ordine cioè riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Mentre in matematica avevo la distinzione fra ordine largo ed ordine stretto in Algebra me le chiama solo relazioni d'ordine non menzionando minimamente l'ordine stretto (antiriflessiva, transitiva) e quindi mi chiedevo come potessi trovare massimali e minimali visto che almeno per un elemento esso è in relazione con sè stesso.

Eppure ciò viene richiesto in praticamente tutti gli esercizi simili. Forse se fosse un reticolo si potrebbero trovare? e allora il reticolo sarebbe una relazione d'ordine stretto?

Un reticolo è un insieme $X,\leq$ in cui esiste estremo superiore ed estremo inferiore.

Bho, questa parte m'è poco chiara e non son riuscito a darmi una risposta. Idee?

[whiterabbit1]

Altro esercizio di esempio:

2) Si consideri la seguente relazione sull’insieme Z dei numeri interi:
$a\rhob$ sta per $a | b$ e $a\leq b$.
Si dica se $\rho$ è una relazione d’ordine e, in questo caso, si determinino gli elementi massimali e
minimali e si dica se $Z,\rho$ è un reticolo.


Allora io posso dimostrare le 3 proprietà delle relazioni d'ordine che sono:
1) Riflessiva;
2) Antisimmetrica;
3) Transitiva

1)
$a \rho a$ $a | a$ e $a \leq a$ e quindi ci siamo è riflessiva
2)
$a \rho b$ $a | b$ e $a \leq b$
$b \rho a$ $b | a$ e $b \leq a$ quindi $a = b$
3)
$a \rho b$ $a | b$ e $a \leq b$
$b \rho c$ $b | c$ e $b \leq c$
quindi $a \rho c$ $a | c$ e $a \leq c$

Dopo il testo dell'esercizio da per scontato di trovare elementi massimali e minimali. Dopo per sapere se è un reticolo devo vedere che sia un ordine parziale e abbia estremo superiore ed estremo inferiore.. Ma $A$ con cui trovare i vari elementi massimale minimale maggiorante minorante come li trovo?

[Studente Anonimo]

Allora, io ritengo che un elemento massimale di un insieme $X$ dotato di una relazione $R$ sia un $x in X$ tale che se $a in X$ e $x R a$ allora $x=a$. Analogamente, un elemento minimale è un $x in X$ tale che se $a in X$ e $a R x$ allora $a=x$.

Analizzo questo caso:

"whiterabbit":2) Si consideri la seguente relazione sull’insieme Z dei numeri interi:
$a\rhob$ sta per $a | b$ e $a\leq b$.
Si dica se $\rho$ è una relazione d’ordine e, in questo caso, si determinino gli elementi massimali e
minimali e si dica se $Z,\rho$ è un reticolo.

Un elemento massimale è un $x in ZZ$ tale che se $a in ZZ$ e $x rho a$ allora $x=a$. $x rho a$ significa $x|a$ e $x le a$.
Un $x in ZZ$ è quindi massimale se e solo se esso non divide ogni intero strettamente più grande.
E' facile convincersi che l'unico intero che soddisfa questa condizione è lo zero: $x=0$.

Un elemento minimale è un $x in ZZ$ tale che se $a in ZZ$ e $a rho x$ allora $a=x$. $a rho x$ significa $a|x$ e $a le x$.
Un $x in ZZ$ è quindi minimale se e solo se ogni intero strettamente più piccolo non lo divide. Per esempio allora lo zero è minimale.
Non solo: ogni intero negativo è minimale, in quanto dato un intero negativo $y$, ogni intero $le y$ non è inferiore in modulo a $y$.
Invece ogni altro intero non è minimale, perché se $a in ZZ$ e $a>0$ allora $-1 rho a$.

In sintesi: l'insieme degli elementi massimali è ${0}$, l'insieme degli elementi minimali è $ZZ_{le 0}$.

[whiterabbit1]

Uhm.. Spetta che ci penso su ehehe

Allora un elemento massimale è un elemento

$x\inZ$ se per ogni $a\inZ$ $a\nex$, $x$ non è in relazione con $a$.

Ora zero non è diverso da a per ogni a appartenente a Z perchè per almeno un elemento a 0 = 0 cioè quello che dicevamo all'inizio per la proprietà riflessiva no?

Ma tu hai girato la cosa giusto? cioè dici se $x\rhoa$ allora $x=a$ ma dopo rigirandolo: è un massimale se e solo se esso non divide ogni intero strettamente più grande, e è diverso da a. no?

Gira e rigira mi vien mal di testa qua

[Studente Anonimo]

Allora un elemento massimale è un elemento

$x in Z$ se per ogni $a in Z$ $a ne x$, $x$ non è in relazione con $a$

No, io non ho detto questo. Io ho detto: un elemento massimale è un elemento $x in Z$ tale che per ogni $a in Z$, se $x R a$ allora $x=a$.

Purtroppo non riesco a capire i tuoi dubbi (il che è normale, dato che nella più parte dei casi se uno sa spiegare alla perfezione i suoi dubbi significa che non ha bisogno di chiarimenti )
Mi limito a fare un commento:

"whiterabbit":Ma tu hai girato la cosa giusto? cioè dici se $x\rhoa$ allora $x=a$ ma dopo rigirandolo: è un massimale se e solo se esso non divide ogni intero strettamente più grande, e è diverso da a. no?

Io dico: dato un insieme $X$ dotato della relazione d'ordine $R$,

(1) un elemento $x in X$ si dice massimale se ogni volta che $a in X$ e $x R a$ si ha $a=x$.

Quindi come vedi $a$ è una variabile "muta": io potrei anche dire:

(2) un elemento $x in X$ è massimale se non è in relazione a sinistra con nessun elemento che non sia $x$.

Le definizioni (1) e (2) sono equivalenti, ma come vedi nella (2) non ho usato il simbolo $a$.

Poi nell'esempio da te proposto non ho fatto altro che applicare la definizione (1) per trovare gli elementi massimali, e ho proceduto analogamente per i minimali.

Spero di aver intuito i tuoi dubbi.

[whiterabbit1]

"Martino":

No, io non ho detto questo. Io ho detto: un elemento massimale è un elemento $x in Z$ tale che per ogni $a in Z$, se $x R a$ allora $x=a$.

Purtroppo non riesco a capire i tuoi dubbi (il che è normale, dato che nella più parte dei casi se uno sa spiegare alla perfezione i suoi dubbi significa che non ha bisogno di chiarimenti )
Mi limito a fare un commento:

Il mio dubbio principale era nel definire il massimale che per me è sempre stato come ho scritto sopra. Non ho mai visto un massimale definito come dici tu. Tutto li Poi una volta data la tua definizione come mai 0 lo sia ci son arrivato

Io dico: dato un insieme $X$ dotato della relazione d'ordine $R$,

(1) un elemento $x in X$ si dice massimale se ogni volta che $a in X$ e $x R a$ si ha $a=x$.

Quindi come vedi $a$ è una variabile "muta": io potrei anche dire:

(2) un elemento $x in X$ è massimale se non è in relazione a sinistra con nessun elemento che non sia $x$.

Le definizioni (1) e (2) sono equivalenti, ma come vedi nella (2) non ho usato il simbolo $a$.

Poi nell'esempio da te proposto non ho fatto altro che applicare la definizione (1) per trovare gli elementi massimali, e ho proceduto analogamente per i minimali.

Spero di aver intuito i tuoi dubbi.

La definizione due non è "se non è in relazione a sinistra con nessun elemento e è diverso da sè stesso" ? allora sarebbe come la definizione data da me nel post precedente. Il fatto che non sia in relazione ma possa essere uguale a sè stesso era questo il dubbio perchè in generale essendo riflessiva $x\rhox$

[Studente Anonimo]

Sì scusa hai ragione sono stato precipitoso.

La tua definizione:

Allora un elemento massimale è un elemento

$x in Z$ se per ogni $a in Z$ $a ne x$, $x$ non è in relazione con $a$

e la mia:

un elemento massimale è un elemento $x in Z$ tale che per ogni $a in Z$, se $x R a$ allora $x=a$.

sono perfettamente equivalenti (è la stessa definizione scritta in due modi diversi) !! E' pure facile vederlo.

Quindi ora non dovrebbero esserci più problemi?

[whiterabbit1]

hehehe, il problema stà nel fatto che per me $a\nex$ per essere massimale e invece 0 = 0 quindi non sarebbe un massimale no?

[Studente Anonimo]

Groan!

"whiterabbit":hehehe, il problema stà nel fatto che per me $a\nex$ per essere massimale e invece 0 = 0 quindi non sarebbe un massimale no?

Ma questo non c'entra nulla! Prova a pensarci.
Prova a sostituire $0$ nella definizione. Ottieni:

$0 in ZZ$ è massimale perché per ogni $a in ZZ$, $a ne 0$, $0$ non è in relazione con $a$.

E questo è vero! $0$ non divide nessun intero diverso da $0$ (ricorda come era definita la relazione).

[whiterabbit1]

ahn... Sarebbe per ogni $a\inZ$ se $a\ne0$ $0$ non è in relazione con $a$ e quindi quello che dicevi tu prima che se $a=0$ allora $0\rhoa$

E nella seguente relazione allora?

$X=Z$

$a\rhob$ $\{(a<0, b<0 b|a),(ageq0, b<0),(ageq0, bgeq0,a^2geqb^2):}$

P.S. dovrei aver usato la sintassi corretta ma le tre formule restano sulla stessa righa.. i donno..


In questo caso zero può essere considerato massimale?

se prendiamo $A=Z$ si perchè per ogni $a\inZ$ se $a\ne0$ è vero che $0$ non è in relazione con $a$..

Infatti 0 non divide nessun elemento. e 0 non è.. uhm no.. $0$ si, $0$ non è $geq$ a qualsiasi elemento $a^2$ mentre varrebbe per $0^2geq0^2$ ma abbiamo detto che $x\nea$ yes?

ci siamo?

[Studente Anonimo]

Non mi pare che ci siamo (se ho capito bene).

Allora:

"whiterabbit":E nella seguente relazione allora?

$X=ZZ$

$a\rhob:$ $\{(a<0\ b<0\ b|a),(ageq0\ b<0),(ageq0\ bgeq0\ a^2geqb^2):}$

In questo caso lo zero non è massimale perché per esempio $0 rho (-1)$.

Ti faccio notare che la tua relazione può essere riscritta così:

$a\rhob:$ $\{(a<0\ b<0\ b|a),(ageq0\ a ge b):}$

Osserva che è riflessiva.
Un elemento massimale è un $x in ZZ$ tale che se $a in ZZ$ e $x ne a$ allora non è vero che $x rho a$. Ora se $x<0$ allora certamente $x rho (-1)$, quindi l'unica possibilità che $x$ sia massimale è che $x=-1$. E in effetti $-1$ è massimale in quanto se $(-1)rho a$ allora forzatamente $a=-1$ (l'unico intero negativo che divide $-1$ è $-1$).
Se invece $x ge 0$ allora $x$ non è massimale in quanto $x rho (-1)$.

[whiterabbit1]

Si, forse ho dato una risposta troppo affrettata.

Minimali sempre della relazione sopra definita:

Un elemento minimale è un elemento $x\inZ$ tale che se $a\inZ$ e $a\nex$ allora non è vero che $a\rhox$ giusto?

$0$ è minimale? perchè non può dividere nessun elemento? e quindi $a\rho0$ non è mai vera.

bho. Ci penso.

[Studente Anonimo]

"whiterabbit": [...]quindi $a\rho0$ non è mai vera.

Falso: per esempio $1 rho 0$.

bho. Ci penso.

Esatto, ti consiglio di pensarci tanto tanto da solo.

[whiterabbit1]

E' in relazione perchè $1\geq0$ giusto?

Se la relazione non fosse stata in Z ma solo in Z $\leq 0$ sarbbe stato minimale no? perchè avrei avuto 0|a e nessun a sarebbe stato divisibile per zero?

Stò cercando di capire se almeno sono nella direzione giusta con il ragionamento da fare per trovare questi elementi...

[Studente Anonimo]

"whiterabbit":E' in relazione perchè $1\geq0$ giusto?

Giusto. Comunque immagino che tu sia capace di dimostrare che $1 rho 0$ senza bisogno di conferme no?

Se la relazione non fosse stata in Z ma solo in Z $\leq 0$ sarbbe stato minimale no?

Esatto.

perchè avrei avuto 0|a e nessun a sarebbe stato divisibile per zero?

No il motivo non è questo. Il motivo è che se hai un $a rho 0$ allora per come è definita la relazione devi avere $a ge 0$ e quindi $a=0$ in quanto sei in $ZZ_{le 0}$.

Ti ripeto: studia la cosa individualmente. Poi prendi un esercizio e svolgilo dall'inizio alla fine, sbilanciandoti, dicendo "questo è massimale" e "questo è minimale" con dimostrazioni dettagliate. Poi se vuoi scrivi tutto sul forum e ne riparliamo.
Se continui a fare domande "lampo" come stai facendo non otterrai molti benefici secondo me. E soprattutto, le risposte te le devi dare da solo.

[whiterabbit1]

æ proviamo con questo, ma parto già dal presupposto che sia errato.. eheheh
$X=Z$
$a\rhob: \{(a^2< b^2),(a^2=b^2 a\geqb):}$

Allora anzitutto dimostriamo che è una relazione d'ordine quindi riflessiva, antisimmetrica e trasitiva.

Riflessiva:

$a\rhoa$

$a^2=a^2$ e $a\geqa$

Antisimmetrica:

$a\rhob$ $b\rhoa$ quindi $a=b$

$a^2=b^2$ e $a\geqb$
$b^2=a^2$ e $b\geqa$

Quindi possiamo dire che $a=b$

Transitiva:

$a\rhob$ e $b\rhoc$ allora $a\rhoc$

$a^2=b^2$ e $a\geqb$
$b^2=c^2$ e $b\geqc$

quindi $a^2=c^2$ e $a\geqc$

Calcoliamo gli elementi massimali:

$x\inX$ tale che $\forall a \in A$ $a\nex$ e $(x,a)\notin\rho$

Sono giunto alla conclusione che non ci sono elementi Massimali. Devo verificare che un $n$ quando diverso da sè stesso non è in relazione con niente giusto?

allora ad esempio $0$ è in relazione con tutti gli elementi in quanto $0^2 prendiamo $-1$ è in relazione ad esempio con $1$ ma anche con tutti gli altri positivi, quindi non è massimale.
prendiamo $1$ stessa cosa, anzi qualsiasi numero positivo è in relazione con il numero strettamente più grande.

Quindi per me non ci sono massimali...

Calcoliamo gli elementi minimali:

$x\inX$ tale che $\forall a \in A$ $x\nea$ e $((a,x)\notin\rho$

Qua invece ho trovato qualche minimale.. (dopo alla fine verrà fuori che non ci sono minimali ma c'erano i massimali lo sò)

Prendiamo ad esempio $0$ allora $0$ non è in relazione a destra con nessun elemento se non con sè stesso. perchè $0^2$ non sarà mai maggiore di qualsiasi intero $^2$ giusto?
Altri elementi minimali non c'è ne sono..

Ora l'esercizio dice anche - così per completezza lo facciamo completo - si dica in oltre se $\rho$ è un ordine totale.

Allora noi sappiamo che $\rho$ è un ordine totale se $\forall a,b \in X$ o $a\rhob$ o $b\rhoa$ quindi è un ordine totale o no?

e quindi a mio avviso è un ordine totale, perchè per ogni elemento posso metterli in relazione.

[Studente Anonimo]

"whiterabbit":æ proviamo con questo, ma parto già dal presupposto che sia errato.. eheheh
$X=Z$
$a\rhob: \{(a^2< b^2),(a^2=b^2 a\geqb):}$

Transitiva:

$a\rhob$ e $b\rhoc$ allora $a\rhoc$

$a^2=b^2$ e $a\geqb$
$b^2=c^2$ e $b\geqc$

quindi $a^2=c^2$ e $a\geqc$

Un'osservazione: mi pare che tu abbia completamente ignorato la parte "$a^2 Invece riflessività e antisimmetria le hai dimostrate come si deve.

Calcoliamo gli elementi massimali:

$x\inX$ tale che $\forall a \in A$ $a\nex$ e $(x,a)\notin\rho$

Sono giunto alla conclusione che non ci sono elementi Massimali. Devo verificare che un $n$ quando diverso da sè stesso non è in relazione con niente giusto?

allora ad esempio $0$ è in relazione con tutti gli elementi in quanto $0^2 prendiamo $-1$ è in relazione ad esempio con $1$ ma anche con tutti gli altri positivi, quindi non è massimale.
prendiamo $1$ stessa cosa, anzi qualsiasi numero positivo è in relazione con il numero strettamente più grande.

Quindi per me non ci sono massimali...

Le tue considerazioni sono essenzialmente giuste (a parte per il fatto che $-1$ non è in relazione con $1$), ma perché non fai una dimostrazione più formale?
Basta dire: non ci sono elementi massimali perché se $x in ZZ$ allora $x rho (|x|+1)$ e $x ne |x|+1$ (ho scelto $|x|+1$ ma potevo scegliere un qualunque elemento maggiore di $x$ in modulo). Fine. No?

Calcoliamo gli elementi minimali:

$x\inX$ tale che $\forall a \in A$ $x\nea$ e $((a,x)\notin\rho$

Qua invece ho trovato qualche minimale.. (dopo alla fine verrà fuori che non ci sono minimali ma c'erano i massimali lo sò)

Prendiamo ad esempio $0$ allora $0$ non è in relazione a destra con nessun elemento se non con sè stesso. perchè $0^2$ non sarà mai maggiore di qualsiasi intero $^2$ giusto?
Altri elementi minimali non c'è ne sono..

Anche qui, hai ragione ma la dimostrazione lascia a desiderare. Non è una vera dimostrazione in realtà, è un auto-convincimento intuitivo.
Basta dire: $0$ è minimale in quanto se $a rho 0$ allora non è possibile che $a^2<0^2$ e quindi $a^2=0^2$ da cui $a=0$. Non ci sono altri minimali perché se $x in ZZ$ e $x ne 0$ allora $0 rho x$. (in particolare $0$ è pure il minimo della relazione).

Ora l'esercizio dice anche - così per completezza lo facciamo completo - si dica in oltre se $\rho$ è un ordine totale.

Allora noi sappiamo che $\rho$ è un ordine totale se $\forall a,b \in X$ o $a\rhob$ o $b\rhoa$ quindi è un ordine totale o no?

e quindi a mio avviso è un ordine totale, perchè per ogni elemento posso metterli in relazione.

Qui non hai fatto dimostrazioni, hai detto "è totale perché è totale".
Basta dire: dati $a,b in X$ con $a ne pm b$, se $ab$ allora $b^2
Capito cosa intendo per dimostrazioni formali?
Hai intuizioni azzeccate e impari in fretta, però dovresti anche imparare a dimostrare le cose rigorosamente.

Spesso può aiutare molto un disegno: in $ZZ^2$ succede questo:



La relazione da te proposta è la parte colorata.
Vedendo il disegno puoi convincerti facilmente che la relazione è:

riflessiva (contiene la diagonale!)
antisimmetrica (non ci sono due punti distinti simmetrici rispetto alla diagonale!)
totale (dato un punto qualunque, lui o il suo simmetrico rispetto alla diagonale appartiene alla relazione!)

Invece la transitività è più difficile da descrivere, comunque con un po' di riflessione ti puoi convincere anche di quella.

Come vedi la semidiagonale in alto a sinistra non appartiene alla relazione mentre le altre sì. Infatti se anche tale semidiagonale appartenesse alla relazione non avremmo l'antisimmetria!

Ora vorremmo capire dal disegno quali sono gli elementi massimali e quali i minimali. Osservo che:

Un elemento massimale $x$ è tale che la retta verticale passante per $(x,x)$ non interseca la relazione se non in $(x,x)$.
Un elemento minimale $y$ è tale che la retta orizzontale passante per $(y,y)$ non interseca la relazione se non in $(y,y)$.

Quindi come vedi è immediato dal disegno che $0$ è minimale e non ci sono elementi massimali.

Magari puoi provare per esercizio a disegnare anche le altre relazioni da te proposte finora.

Comunque gli esercizi che proponi sono interessanti! Dove li prendi?
Ciao.

[whiterabbit1]

"Martino":

Un'osservazione: mi pare che tu abbia completamente ignorato la parte "$a^2 Invece riflessività e antisimmetria le hai dimostrate come si deve.

a dire il vero l'avevo presa in considerazione all'inizio con la riflessività e ho visto che qualcosa non mi quadrava, quindi l'ho eliminata definitivamente ehehe in realtà si con la transitività si può usare.. però perchè non la dovrei usare anche con riflessività e antisimmetria? io con la seconda equazione prendo già in considerazione sia elementi positivi che negativi che zero no?

Le tue considerazioni sono essenzialmente giuste (a parte per il fatto che $-1$ non è in relazione con $1$), ma perché non fai una dimostrazione più formale?
Basta dire: non ci sono elementi massimali perché se $x in ZZ$ allora $x rho (|x|+1)$ e $x ne |x|+1$ (ho scelto $|x|+1$ ma potevo scegliere un qualunque elemento maggiore di $x$ in modulo). Fine. No?

Ok, più precisione nelle dimostrazioni.

Anche qui, hai ragione ma la dimostrazione lascia a desiderare. Non è una vera dimostrazione in realtà, è un auto-convincimento intuitivo.
Basta dire: $0$ è minimale in quanto se $a rho 0$ allora non è possibile che $a^2<0^2$ e quindi $a^2=0^2$ da cui $a=0$. Non ci sono altri minimali perché se $x in ZZ$ e $x ne 0$ allora $0 rho x$. (in particolare $0$ è pure il minimo della relazione).

Qui non hai fatto dimostrazioni, hai detto "è totale perché è totale".
Basta dire: dati $a,b in X$ con $a ne pm b$, se $ab$ allora $b^2
Capito cosa intendo per dimostrazioni formali?
Hai intuizioni azzeccate e impari in fretta, però dovresti anche imparare a dimostrare le cose rigorosamente.

Capito..

Spesso può aiutare molto un disegno: in $ZZ^2$ succede questo:



La relazione da te proposta è la parte colorata.
Vedendo il disegno puoi convincerti facilmente che la relazione è:

riflessiva (contiene la diagonale!)
antisimmetrica (non ci sono due punti distinti simmetrici rispetto alla diagonale!)
totale (dato un punto qualunque, lui o il suo simmetrico rispetto alla diagonale appartiene alla relazione!)

Invece la transitività è più difficile da descrivere, comunque con un po' di riflessione ti puoi convincere anche di quella.

Come vedi la semidiagonale in alto a sinistra non appartiene alla relazione mentre le altre sì. Infatti se anche tale semidiagonale appartenesse alla relazione non avremmo l'antisimmetria!

Ora vorremmo capire dal disegno quali sono gli elementi massimali e quali i minimali. Osservo che:

Un elemento massimale $x$ è tale che la retta verticale passante per $(x,x)$ non interseca la relazione se non in $(x,x)$.
Un elemento minimale $y$ è tale che la retta orizzontale passante per $(y,y)$ non interseca la relazione se non in $(y,y)$.

Quindi come vedi è immediato dal disegno che $0$ è minimale e non ci sono elementi massimali.

Magari puoi provare per esercizio a disegnare anche le altre relazioni da te proposte finora.

Il disegno mè completamente nuovo ma vedo che può essere molto utile anche per capire se si è fatto giusto o meno..

Comunque gli esercizi che proponi sono interessanti! Dove li prendi?
Ciao.

Stò facendo gli esercizi proposti nei vari testi d'esame di algebra, univr..

Piccola precisazione personale, causa lavoro non posso frequentare le lezioni e non avendo nessun esercizio d'esempio svolto mi son buttato un pò a caso per cercare di risolverli seguendo la teoria spiegata nelle dispense. Ma è molto difficile, quindi Grazie per l'aiuto.


Un altra cosa, prima di provare un nuovo esercizio.. se ho:

$X=NxN$ e ci sono $(a,b)\rho(c,d)$ gli elementi massimali come sono? cioè sono $(a,b)\ne(c,d)$ e $(a,b)(c,d)\notinX$ ?

[Studente Anonimo]

$X=ZZ$
$a rho b:\ \{(a^2 < b^2),(a ge b\ a^2=b^2):}$

"whiterabbit":[quote="Martino"]

Un'osservazione: mi pare che tu abbia completamente ignorato la parte "$a^2 Invece riflessività e antisimmetria le hai dimostrate come si deve.

a dire il vero l'avevo presa in considerazione all'inizio con la riflessività e ho visto che qualcosa non mi quadrava, quindi l'ho eliminata definitivamente ehehe in realtà si con la transitività si può usare.. però perchè non la dovrei usare anche con riflessività e antisimmetria? io con la seconda equazione prendo già in considerazione sia elementi positivi che negativi che zero no?[/quote]

Quando dimostri riflessività e antisimmetria puoi "procedere senza commenti" come hai fatto, ma ora che me l'hai detto, ti faccio vedere come farei io:

E' riflessiva perché se $a in ZZ$ allora $a ge a$ e $a^2=a^2$, quindi $a rho a$.
E' antisimmetrica perché se $a,b in ZZ$ e $a rho b$ e $b rho a$ allora non è possibile che $a^2 < b^2$ perché in tal caso non si potrebbe avere $b rho a$ (in quanto questo implica $a^2=b^2$ oppure $b^2 La transitività è un po' più lunga, bisogna distinguere tutti i casi.

$X=NxN$ e ci sono $(a,b)\rho(c,d)$ gli elementi massimali come sono? cioè sono $(a,b)\ne(c,d)$ e $(a,b)(c,d)\notinX$ ?

In generale se hai $X$ con una relazione d'ordine $rho$, un elemento massimale (come abbiamo già detto) è un $x in X$ tale che non esiste nessun $x ne y in X$ tale che $x rho y$.