Algebra e i Sylow p-Sottogruppi

[Ghezzabanda]

Salve! Qualcuno mi sa dare una mano? Devo risolvere questo esercizio, ma...non ci riesco

Sia P un p- Sylow sottogruppo di un gruppo finito G

a) Sei Q un qualunque p-Sottogruppo di G. Mostra (senza usare i teoremi di sylow) che $Q nn N(P)=Q nn P$
b) Mostra che vale che $N(N(P))=N(P)$, dove $N(H)$ è in normalizzatore di H in G

[Chevtchenko]

"Ghezzabanda":Salve! Qualcuno mi sa dare una mano? Devo risolvere questo esercizio, ma...non ci riesco

Sia P un p- Sylow sottogruppo di un gruppo finito G

a) Sei Q un qualunque p-Sottogruppo di G. Mostra (senza usare i teoremi di sylow) che $Q nn N(P)=Q nn P$
b) Mostra che vale che $N(N(P))=N(P)$, dove $N(H)$ è in normalizzatore di H in G

Sono risultati classici... Ti dimostro il secondo.

Allora, poniamo $H = N_G(P)$ ed osserviamo che ovviamente $P$ è un $p$-sottogruppo di Sylow di $H$. Se $x in N_G(H)$, si ha $H = H^x \ge P^x$, sicché $P^x$ è anche lui $p$-sottogruppo di Sylow di $H$. Per il teorema di Sylow esiste allora $y \in H$ tale che $P = P^{xy}$; ne segue $xy \in N_G(P) = H$ e quindi $x \in H$. Pertanto $N_G(H) = H$, come volevasi.

[Ghezzabanda]

"Sandokan.":[quote="Ghezzabanda"]Salve! Qualcuno mi sa dare una mano? Devo risolvere questo esercizio, ma...non ci riesco

Sia P un p- Sylow sottogruppo di un gruppo finito G

a) Sei Q un qualunque p-Sottogruppo di G. Mostra (senza usare i teoremi di sylow) che $Q nn N(P)=Q nn P$
b) Mostra che vale che $N(N(P))=N(P)$, dove $N(H)$ è in normalizzatore di H in G

Sono risultati classici... Ti dimostro il secondo.

Allora, poniamo $H = N_G(P)$ ed osserviamo che ovviamente $P$ è un $p$-sottogruppo di Sylow di $H$. Se $x in N_G(H)$, si ha $H = H^x \ge P^x$, sicché $P^x$ è anche lui $p$-sottogruppo di Sylow di $H$. Per il teorema di Sylow esiste allora $y \in H$ tale che $P = P^{xy}$; ne segue $xy \in N_G(P) = H$ e quindi $x \in H$. Pertanto $N_G(H) = H$, come volevasi.[/quote]

Grazie mille! una sola domanda non mi è chiaro qui "Se $x in N_G(H)$, si ha $H = H^x \ge P^x$, sicché $P^x$ è anche lui $p$-sottogruppo di Sylow di $H$." che intendi con elevar $P$ con un elemento del normalizzatore?

[Chevtchenko]

"Ghezzabanda":Grazie mille! una sola domanda non mi è chiaro qui "Se $x in N_G(H)$, si ha $H = H^x \ge P^x$, sicché $P^x$ è anche lui $p$-sottogruppo di Sylow di $H$." che intendi con elevar $P$ con un elemento del normalizzatore?

Se $G$ è un gruppo, $S$ è un sottoinsieme di $G$ e $x \in G$, con $S^x$ indico l'insieme ${ y^x | y \in S }$. Ovviamente, se $H \le G$, si ha che $H$ è normale in $G$ se e solo se $H = H^x$ per ogni $x \in G$.

Spero di esserti stato utile, se vuoi posso svolgere anke l'altro esercizio.

[Ghezzabanda]

"Sandokan.":[quote="Ghezzabanda"]Grazie mille! una sola domanda non mi è chiaro qui "Se $x in N_G(H)$, si ha $H = H^x \ge P^x$, sicché $P^x$ è anche lui $p$-sottogruppo di Sylow di $H$." che intendi con elevar $P$ con un elemento del normalizzatore?

Se $G$ è un gruppo, $S$ è un sottoinsieme di $G$ e $x \in G$, con $S^x$ indico l'insieme ${ y^x | y \in S }$. Ovviamente, se $H \le G$, si ha che $H$ è normale in $G$ se e solo se $H = H^x$ per ogni $x \in G$.

Spero di esserti stato utile, se vuoi posso svolgere anke l'altro esercizio. [/quote]

Mi sei stato veramente utile!

Se vuoi fare anche l'akltroi....ti irngrazio cosi dopo cena tebnto di capire anche quello!