[Algebra] Dim. differenza simmetrica

[jacopo35]

Devo dimostrare che:

$(A \setminus B) \cup (B \setminus A) \subseteq (A \cup B) \setminus (B \cap A)$

Secondo voi è giusta la seguente dim. ?

$x \in ((A \setminus B) \cup (B \setminus A))$ -> $x \in (A\setminus B) \vee x \in (B\setminus A) $
$x \in A\setminus B$ -> $x \in A \wedge x \notin B$ -> $x \notin (A \cap B)$ (*)
$x \in B\setminus A$ -> $x \in B \wedge x \notin A$ -> $x \in (A \cup B)$ (**)
Da ciò consegue $x \in (A \cup B) \setminus (A \cap B)$

(*) $x \notin (A \cap B)$ se si verifica una delle seguenti: $(x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \notin A) \vee (x \notin A \wedge x \notin B)$
(**) $x \in (A \cup B)$ se si verifica una delle seguenti: $(x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x\notin A) \vee (x \in A \wedge x \in B)$

[luluemicia]

si, è corretta.
Ciao

[zorn1]

Giusta, però vale l'uguaglianza non solo l'inclusione.

[jacopo35]

"zorn":Giusta, però vale l'uguaglianza non solo l'inclusione.

Vero, infatti è quello che mi rimane da dimostrare.

$(A \cup B) \setminus (B \cap A) \subseteq (A \setminus B) \cup (B \setminus A) $

$x \in ((A \cup B) \setminus (B \cap A))$ -> $x \in (A \cup B) \wedge x \notin (B \cap A)$

Per (*): $x \in (A \cup B) \wedge (x \in A \wedge x \notin B)$
oppure
Per (*): $x \in (A \cup B) \wedge (x \in B \wedge x \notin A)$

Per (**): $x \in A \wedge (x \in A \wedge x \notin B)$ -> $x \in A \wedge x \notin B$ -> $x \in (A \setminus B)$
oppure
Per (**): $x \in B \wedge (x \in B \wedge x \notin A)$ -> $x \in B \wedge x \notin A$ -> $x \in (B \setminus A)$

Da ciò consegue $x \in (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$


Dovrebbe essere giusto, che dite?
Grazie comunque.

[luluemicia]

Ciao,
si è corretta anche la dim. dell'inclusione opposta.