Algebra di base

[paolo.papadia]

ho scoperto da poco questo forum,e l'ho trovato molto utile e affascinante.
vorrei ricambiare proponendo anche io un paio di questiti, ricordo che questi due mi avevano affascinato molto quando me li ero posti(mi hanno aperto gli occhi sulla rigidità che impone la proprietà distributiva)
premetto che non servono conoscenze avanzate,anzi sono consigliati per chi è alle prime armi con le nozioni di isomorfismi e anelli.

1) sia X un anello unitario tale che,se $(X,+,0)$ è il gruppo relativo alla prima operazione di $X$ allora esiste $f(X,+,0)=(ZZ,+,0)$ dove f è un'isomorfismo di gruppi. ($ZZ$ è l'insieme dei relativi con la somma usuale)
dimostrare che esiste un'isomorfismo di anelli tra $X$ e $ZZ$($ZZ$ è sempre da interdersi con le operazioni usuali)

in altre parole:togliamo il prodotto a Z e gliene mettiamo un'altro,che lo renda sempre un'anello unitario(almeno). dimostrare che il nuovo anello è isomorfo a Z.

$(X,+,0)$ è isormorfo a $(ZZ,+,0)$, quindi possiamo denotare tutti i suoi elementi come quelli di $ZZ$ senza subire variazioni di somma.
quindi si tratta di rendere $(ZZ,+,0)$ anello unitario; aggiungiamo quindi una operazione $*$.
vogliamo innanzitutto che sia distributiva.
consideriamo ora $a$,$b$, elementi di $ZZ+$;li possiamo scrivere come $a=(1+1+1+..$a volte) e $b=(1+1+1+....$ b volte)
se $*$ è distributiva su $ZZ$,lo deve essere anche per il suo sottoinsieme $ZZ+$;pertanto deve valere $a*b =a *(1+1+1...$b volte$)= (a*1+a*1+a*1+... $ b volte)
ma $a*1=(1+1+1+...$a volte$)*1 = (1*1+1*1+1*1....$a volte)
sostituiamo in quella di prima,otteniamo $a*b=ab(1*1)$ ($ab$ è da intendersi con il prodotto usuale di $ZZ$)

ora,sia $1*1=k$,abbiamo che per l'ipotesi di distributività $a*b=kab$,cioè in ogni caso a*b è "simile" al prodotto usuale.)
ora,cerchiamo l'elemento neutro;è ovvio che debba esser 1/k;ma esso è contenuto in Z solo se k=1 o k=-1
se k=1 otteniamo a*b=ab,il prodotto coicide con l'usuale di Z.
se k=-1,trovare l'isomorfismo è banale ($f(a)=-a$)

2) sia ($+$) un'operazione binaria definita su $NN$, e sia ($*$) un'operazione binaria su $NN$ .
valga la seguente relazione: $m*n = m + m + m + m....$(n volte)
(il $+$ è da intendersi quello appena definito e non quello usuale).
dimostrare o confutare:
a)se ($+$) è commutativo,allora ($*$) è commutativo

controesempio:
$a + b= ab &
$a*b=a^b$

b)se ($*$) è distributivo(a destra e a sinistra) rispetto al ($+$) e vale la legge di cancellazione secondo ($*$) (cioè $a*b=a*c$ implica $b=c$),
allora ($+$) e ($*$) coincidono con l'usuale somma e prodotto di $NN$.

sia $°$ una generica somma e $*$ un generico prodotto(con le proprieta rispetto a $°$ richieste dalle ipotesi), mentre la solita somma e il solito prodotto sono denotati al solito come $a+b$ e $ab$

$a*(b°c) = (a*b) °(a*c) = (a°a°a°a...$b volte$) ° (a°a°a°a...$c volte$) = (a°a°a°a...$(b+c) volte$) = a*(b+c)$
vale la legge di cancellazione,quindi da $a*(b°c)=a*(b+c)$ ricaviamo $b°c=b+c$.
segue automaticamente che $a*b=ab$.

[vict85]

"paolo.papadia":ho scoperto da poco questo forum,e l'ho trovato molto utile e affascinante.
vorrei ricambiare proponendo anche io un paio di questiti, ricordo che questi due mi avevano affascinato molto quando me li ero posti(mi hanno aperto gli occhi sulla rigidità che impone la proprietà distributiva)
premetto che non servono conoscenze avanzate,anzi sono consigliati per chi è alle prime armi con le nozioni di isomorfismi e anelli.

1) sia X un anello unitario. sia $(X,+,0)$ il gruppo relativo alla prima operazione di $X$
sia $f(X,+,0)=(Z,+,0)$ un'isomorfismo di gruppi. ($Z$ è l'insieme dei relativi con la somma usuale)
dimostrare che esiste un'isomorfismo di anelli tra $X$ e $Z$($Z$ è sempre da interdersi con le operazioni usuali)

in altre parole:togliamo il prodotto a Z e gliene mettiamo un'altro,che lo renda sempre un'anello unitario(almeno). dimostrare che il nuovo anello è isomorfo a Z.

E' falso. Prendi per esempio un anello di caratteristica finita e non esisterà allora neanche un omomorfismo non banale tra i due. Inoltre già $QQ$ con la somma non è isomorfo a $ZZ$.

Tanto per capirci se quell'isomorfismo di gruppi esistesse davvero allora praticamente tutti i gruppi abeliani sarebbero isomorfi a $ZZ$.

D'altra parte esiste ed è unico un omomorfismo da $ZZ$ a $X$ per ogni elemento di $X$. E questo in realtà vale per qualsiasi gruppo $X$.

Forse hai sbagliato qualche termine o dimenticato delle ipotesi...

"paolo.papadia":2) sia ($+$) un'operazione binaria definita su $N$, e sia ($*$) un'operazione binaria su $N$ .
valga la seguente relazione: $m*n = m + m + m + m....$(n volte)
(il $+$ è da intendersi quello appena definito e non quello usuale).
dimostrare o confutare:
a)se ($+$) è commutativo,allora ($*$) è commutativo
b)se ($+$) è commutativo e ($*$) è distributivo rispetto al ($+$),allora ($+$) e ($*$) coincidono con l'usuale somma e prodotto di N.

a) banalmente falso: basta considerare $+ = *$, inftti l'elevamento a potenza non è commutativo.
b) si ha $(a*b)^c = a^c*b^c$ anche se non vale $a^{c*d} \ne a^c*a^d = a^{c+d}$ quindi se supponi che sia distributivo a destra allora la condizione non basta. Per il caso più generale c'è in realtà un caso ancora più banale e cioè prendere come $+$ la funzione che manda ogni coppia in $1$, in questo caso $+$ e $*$ coincidono e sono banalmente distributive ma non coincidono con l'usuale somma e prodotto in $NN$.

Immagino che la seconda non fosse la risposta che ti aspettavi ma è una operazione che soddisfa le richieste.

[paolo.papadia]

"vict85":
Forse hai sbagliato qualche termine o dimenticato delle ipotesi...

non le ho dimenticate,le ho scritte male;intendevo dire che X deve essere preso isomorfo a Z,non va bene un X qualsiasi.

"vict85":
b) si ha $(a*b)^c = a^c*b^c$ anche se non vale $a^{c*d} \ne a^c*a^d = a^{c+d}$ quindi se supponi che sia distributivo a destra allora la condizione non basta. Per il caso più generale c'è in realtà un caso ancora più banale e cioè prendere come $+$ la funzione che manda ogni coppia in $1$, in questo caso $+$ e $*$ coincidono e sono banalmente distributive ma non coincidono con l'usuale somma e prodotto in $NN$.

Immagino che la seconda non fosse la risposta che ti aspettavi ma è una operazione che soddisfa le richieste.

eggia,non era affatto la risposta che mi aspettavo,nel mio ragionamento avevo implicitamente ammesso la legge di cancellazione(un terribile erroraccio per un'aspirante algebrista).
correggo subito le ipotesi,grazie dell'accorgimento.

[vict85]

ok, ora hanno più senso. Appena ho tempo ci penso.

[paolo.papadia]

metto in spoiler le soluzioni