Algebra degli insiemi
Ciao a tutti,
mi aiutereste a capire come applicare le proprietà giuste per risolvere questi due esercizi?
(\(\displaystyle A \cap B) \cup (B \cap C) \cup B^{c} \)
\(\displaystyle B \cup (A \cap B^{c})\cup ( A\cup B)^{c} \)
Grazie
mi aiutereste a capire come applicare le proprietà giuste per risolvere questi due esercizi?
(\(\displaystyle A \cap B) \cup (B \cap C) \cup B^{c} \)
\(\displaystyle B \cup (A \cap B^{c})\cup ( A\cup B)^{c} \)
Grazie
Risposte
@Sara82,
cosa devi provare di preciso?
Saluti
"Sara82":
Ciao a tutti,
mi aiutereste a capire come applicare le proprietà giuste per risolvere questi due esercizi?
(\(\displaystyle A \cap B) \cup (B \cap C) \cup B^{c} \)
\(\displaystyle B \cup (A \cap B^{c})\cup ( A\cup B)^{c} \)
Grazie
cosa devi provare di preciso?
Saluti
devo semplificarle il più possibile 
applicando le proprietà (commutativa,distributiva,associativa etc..)
applicando le proprietà (commutativa,distributiva,associativa etc..)
dalla richiesta non si capisce se devi usare solo le tre operazioni citate, se ti potresti anche aiutare con un grafico, se conosci la forma finale a cui dovresti arrivare, se devi, appunto, arrivare alla forma finale come richiede la maggior parte degli utenti in un forum universitario mediante gli elementi che appartengono ai vari insiemi.
in base a quanto hai scritto finora, posso solo provare a dirti poche cose: spero ti siano utili, ma francamente attendo un tuo intervento chiarificatore.
nella prima, $(BnnA)uu(BnnC)=Bnn(AuuC)$, e visto che dovresti unire a tale insieme il complementare di B, il risultato finale, con l'aiuto dei "sottoinsiemi elementari" e del grafico, dovrebbe essere $(A^CnnBnnC^C)^C$,
nella seconda, tenendo conto che $AnnB^C=A-B$, che quindi $Buu(AnnB^C)=AuuB$, se unisci anche il complementare dell'unione ottieni tutto l'insieme ambiente.
però sono solo osservazioni, non sapendo che cosa dovresti ottenere né come dovresti dimostrarlo...
Sei studente delle superiori o dell'università?
in base a quanto hai scritto finora, posso solo provare a dirti poche cose: spero ti siano utili, ma francamente attendo un tuo intervento chiarificatore.
nella prima, $(BnnA)uu(BnnC)=Bnn(AuuC)$, e visto che dovresti unire a tale insieme il complementare di B, il risultato finale, con l'aiuto dei "sottoinsiemi elementari" e del grafico, dovrebbe essere $(A^CnnBnnC^C)^C$,
nella seconda, tenendo conto che $AnnB^C=A-B$, che quindi $Buu(AnnB^C)=AuuB$, se unisci anche il complementare dell'unione ottieni tutto l'insieme ambiente.
però sono solo osservazioni, non sapendo che cosa dovresti ottenere né come dovresti dimostrarlo...
Sei studente delle superiori o dell'università?
mi spiego con un esempio 
data la seguente espressione
\(\displaystyle (A \cup B^{c}) \cap B \)
semplificare il più possibile
ottenendo
\(\displaystyle (B \cap A) \cup (B \cap B^{c}) \)
\(\displaystyle B \cap A \)
data la seguente espressione
\(\displaystyle (A \cup B^{c}) \cap B \)
semplificare il più possibile
ottenendo
\(\displaystyle (B \cap A) \cup (B \cap B^{c}) \)
\(\displaystyle B \cap A \)
Allora, considera anche il mio intervento precedente, provo a fare qualche passaggio in base a come penso di aver capito:
(\(\displaystyle A \cap B) \cup (B \cap C) \cup B^{c} \)
$=[(BnnA)uu(BnnC)]uuB^C=[Bnn(AuuC)]uuB^C=$
$=(BuuB^C)nn[(AuuC)uuB^C]=$
$=U nn [(AuuC)uuB^C]=AuuB^CuuC $
\(\displaystyle B \cup (A \cap B^{c})\cup ( A\cup B)^{c} \)
$=[(BuuA)nn(BuuB^C)]uu(A^C nn B^C)=[(BuuA)nnU)]uu(A^C nn B^C)=$
$=(BuuA)uu(A^C nn B^C)=$
$=(BuuAuuA^C)nn(BuuAuuB^C)=UnnU=U$
ho indicato con $U$ l'insieme ambiente.
spero di non avere sbagliato e di essere stata d'aiuto. fammi sapere. ciao.
(\(\displaystyle A \cap B) \cup (B \cap C) \cup B^{c} \)
$=[(BnnA)uu(BnnC)]uuB^C=[Bnn(AuuC)]uuB^C=$
$=(BuuB^C)nn[(AuuC)uuB^C]=$
$=U nn [(AuuC)uuB^C]=AuuB^CuuC $
\(\displaystyle B \cup (A \cap B^{c})\cup ( A\cup B)^{c} \)
$=[(BuuA)nn(BuuB^C)]uu(A^C nn B^C)=[(BuuA)nnU)]uu(A^C nn B^C)=$
$=(BuuA)uu(A^C nn B^C)=$
$=(BuuAuuA^C)nn(BuuAuuB^C)=UnnU=U$
ho indicato con $U$ l'insieme ambiente.
spero di non avere sbagliato e di essere stata d'aiuto. fammi sapere. ciao.
Io il secondo lo farei così: \begin{align} B \cup (A \cap B^{c})\cup ( A\cup B)^{c} &= B \cup (A \cap B^{c})\cup ( A^c\cap B^c) \\
&= B \cup B^c \\
&= U
\end{align} usando de Morgan seguito dal fatto che \(\displaystyle B^c = (A\cap B^c)\cup (A^c\cap B^c) \).
Per il primo seguirei la strada di ada.
&= B \cup B^c \\
&= U
\end{align} usando de Morgan seguito dal fatto che \(\displaystyle B^c = (A\cap B^c)\cup (A^c\cap B^c) \).
Per il primo seguirei la strada di ada.
Grazie ad entrambi, vi invidio per come riuscite con disinvoltura ad applicare tutte le proprietà 
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