Algebra: campo di spezzamento

[V.C5]

Ciao a tutti,

ho un dubbio che spero qualcuno di voi potrà aiutarmi a risolvere.

In un esercizio mi viene richiesto di trovare il campo di spezzamento del polinomio

$p(x)=x^4 +x^3 -x^2 -2x -2$ su $ZZ_5$

ovviamente con annessa base e fattorizzazione.
Noto che il polinomio può essere scomposto come prodotto di due polinomi di grado 2:

$p(x)=(x^2+x+1)(x^2-2)$

Al ché la soluzione dice che, chiamando $\alpha$ la radice di $x^2-2$, $F=ZZ_5(\alpha)$ è il campo cercato, questo sfruttando il teorema che dice che se H è un campo e K è una sua estensione, prendendo un polinomio p(x) a coefficienti in H irriducibile su H e tale che esiste a in K t.c. p(a)=0, allora tale K contiene tutte le radici di p(x).

Tuttavia io ero abituata a fare esercizi in modo diverso, ovvero che so, prendiamo il campo $QQ$ e consideriamo il polinomio a coefficienti in $QQ$ irriducibile:

$p(x)=(x^2-2)(x^2-3)$

$sqrt(3)$ è una radice di p(x), quindi secondo il teorema che ho enunciato il campo di spezzamento di p(x) dovrebbe essere $QQ(sqrt(3))$, ma non è vero che $sqrt(2) in QQ(sqrt(3))$, eppure è radice di p(x) e senza $sqrt(2)$ il polinomio non si fattorizza in fattori lineari!

Dove sbaglio?
Grazie in anticipo

[SaraSueEss]

Per avere il campo di spezzamento devi aggungere tutte le radici del tuo polinomio e non soltanto una. È peró ovvio che se si verifica che una o più radici appartengono al campo generato da un'altra radice esse non vanno aggiunte perchè già presenti.

Prova a calcolarle, capire quali sono linearmente dipendenti dalle altre per poi aggiungerle una ad una creando una torre di estensioni.

[V.C5]

Sì certo! Questo mi è chiaro! Tuttavia non riesco a capire perché sia così anche in questo caso! Voglio dire: il polinomio iniziale può essere scritto come prodotto dei due polinomi, perché quindi la radice di uno dei due dovrebbe automaticamente portare con sé anche la radice dell'altro?

[SaraSueEss]

Se le due radici sono $sqrt2$ e $sqrt3$ allora il campo di spezzamento è $QQ(sqrt2, sqrt3)$ per svariati motivi.
Ad esempio $sqrt2$ $notin$ $QQ(sqrt3)$ e $sqrt3$ $notin$ $QQ(sqrt2)$, ovvero esse non generano lo stesso campo.
In generale $QQ(\alpha) = QQ(\beta)$ $hArr$ $\alpha^2*\beta^2$ è un quadrato in $QQ(\alpha)$.

Se devi trovare anche il grado del campo di spezzamento puoi sfruttare la concatenazione che hai creato aggiungendo le radici una ad una:

$QQ sube QQ(\alpha) sube QQ(\alpha)(\beta) = QQ(\alpha, \beta)$ $=>$ $[QQ(\alpha, \beta):QQ] = [QQ(\alpha)(\beta):QQ(\alpha)]*[QQ(\alpha):QQ]$

[Stickelberger]

Per ogni potenza $q$ di un numero primo $p$ esiste un campo finito di $q$ elementi.
E questo campo e’ unico a meno di isomorfismi.

In particolare, il campi di spezzamento dei polinomi irriducibili di grado $2$ in $ZZ_5[X]$
sono tutti isomorfi.

Infatti, l’elemento $\zeta=2+2\sqrt{2}$ del campo $ZZ_5(\sqrt 2)$ soddisfa $\zeta^2+\zeta+1=0$.