Algebra associata a gruppo di Lie
Come faccio a sapere qual è l'algebra di Lie associata a un gruppo di Lie?
Io so che l'algebra di Lie è "uguale" ai campi vettoriali invarianti a sinistra con l'operazione $[*,*]$ o equivalentemente allo spazio tangente all'identità con la stessa operazione.
Ecco i miei problemi:
_i campi invarianti a sinistra non me li visualizzo un granchè bene
_perchè tra tutti i campi invarianti a sinistra posso prendere quello tangente all'identità?
_l'operazione $[*,*]$ corrisponde al commutatore, cioè $[X,Y]=X*Y-Y*X$, solo in alcuni casi, anzi, quando si costruisce l'algebra a partire da un gruppo dato di solito l'operazione non è quella, giusto?
Riguardo la funzione esponenziale:
Ecco quello che ho capito: è la funzione (unica) che mi collega l'algebre con il gruppo, soddisfa tutta una serie di proprietà e la posso sostiuire esplicitamente con l'esponenziale conosciuto solo nel caso in cui ho a che fare con matrici per cui definisco $exp(X*t)=sum_n((X*t)^n/(n!))$, negli altri casi rimane una funziona non nota, giusto?
_come faccio a dire che se $G=RR-{0}$ allora $Lie G=RR$?
_come faccio a trovare l'algebra associata a $G=O(n)$?
Io so che l'algebra di Lie è "uguale" ai campi vettoriali invarianti a sinistra con l'operazione $[*,*]$ o equivalentemente allo spazio tangente all'identità con la stessa operazione.
Ecco i miei problemi:
_i campi invarianti a sinistra non me li visualizzo un granchè bene
_perchè tra tutti i campi invarianti a sinistra posso prendere quello tangente all'identità?
_l'operazione $[*,*]$ corrisponde al commutatore, cioè $[X,Y]=X*Y-Y*X$, solo in alcuni casi, anzi, quando si costruisce l'algebra a partire da un gruppo dato di solito l'operazione non è quella, giusto?
Riguardo la funzione esponenziale:
Ecco quello che ho capito: è la funzione (unica) che mi collega l'algebre con il gruppo, soddisfa tutta una serie di proprietà e la posso sostiuire esplicitamente con l'esponenziale conosciuto solo nel caso in cui ho a che fare con matrici per cui definisco $exp(X*t)=sum_n((X*t)^n/(n!))$, negli altri casi rimane una funziona non nota, giusto?
_come faccio a dire che se $G=RR-{0}$ allora $Lie G=RR$?
_come faccio a trovare l'algebra associata a $G=O(n)$?
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