Algebra: ancora sul campo di spezzamento
Ciao a tutti,
ho un problema con il seguente esercizio:
sia K il campo di spezzamento del polinomio
$p(x)=x^4+2x^3+x+1$ su $ZZ_3$
Si calcoli $[K:ZZ_3]$, una base di K su $ZZ_3$ e si dia la fattorizzazione in fattori lineari del polinomio su K.
Prima cosa che faccio: verifico che effettivamente p(x) è irriducibile su $ZZ_3$: fino a qui siamo d'accordo.
Controllo se il polinomio è il prodotto di due polinomi di secondo grado a coefficienti in $ZZ_3$, e scopro che non lo è.
Chiamo $\alpha$ una radice di p(x). Quindi $p(\alpha)=0$, e p(x) è il polinomio minimo di $\alpha$. Dunque risulta che $[K:ZZ_3]=4$.A questo punto io, ingenua, credo che la base sia ${1,\alpha, \alpha^2, \alpha^3}$, ma ovviamente non è così, dunque, com'è questa base? Com'è la fattorizzazione?
Grazie mille in anticipo
ho un problema con il seguente esercizio:
sia K il campo di spezzamento del polinomio
$p(x)=x^4+2x^3+x+1$ su $ZZ_3$
Si calcoli $[K:ZZ_3]$, una base di K su $ZZ_3$ e si dia la fattorizzazione in fattori lineari del polinomio su K.
Prima cosa che faccio: verifico che effettivamente p(x) è irriducibile su $ZZ_3$: fino a qui siamo d'accordo.
Controllo se il polinomio è il prodotto di due polinomi di secondo grado a coefficienti in $ZZ_3$, e scopro che non lo è.
Chiamo $\alpha$ una radice di p(x). Quindi $p(\alpha)=0$, e p(x) è il polinomio minimo di $\alpha$. Dunque risulta che $[K:ZZ_3]=4$.A questo punto io, ingenua, credo che la base sia ${1,\alpha, \alpha^2, \alpha^3}$, ma ovviamente non è così, dunque, com'è questa base? Com'è la fattorizzazione?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Infatti, $\{1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3\}$ e' una base. Perche' non sarebbe cosi'?
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