Algebra

[assoluti]

determinare tutti sottogruppi isomorfi al gruppo di klein nel gruppo simmetrico S5; sia H il sottogruppo di ordine 3 di G=Z18. scrivere le classi laterali di H in G.
grazie

[Sk_Anonymous]

"Ivano":determinare tutti sottogruppi isomorfi al gruppo di klein nel gruppo simmetrico S5 [...]

Il gruppo di Klein $V$ è isomorfo a $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, so you should find un sottogruppo $G \subseteq S_5$ tale che $|G| = 4$. Senonché $|G| = 1$ oppure $|G| = 5$, while $G$ è un sottogruppo di $S_5$ (Lagrange). Then non può esistere alcun isomorfismo di $S_5$ in $V$.

[Sk_Anonymous]

"Ivano":[...] sia H il sottogruppo di ordine 3 di G=Z18. scrivere le classi laterali di H in G.

Vale $|G| = \varphi(18) = 6$, e in particolare $G = \{1, 5, 7, 11, 13, 17\}$. Inoltre $G$ è ciclico, siccome $18$ è della forma $2p^n$, con $n \in \mathbb{N}$ e $p$ primo naturale $> 2$ (Gauss). In particolare, i generatori di $G$ sono in numero pari a $\varphi(6) = 2$. Pertanto esiste un unico sottogruppo $S$ d'ordine 3 di $G$. In particolare, qualche conto è sufficiente per stabilire che $o(7) = 3$, cosicché $S = \{1, 7, 7^2\} = \{1, 7, 13\}$. Siccome $G$ è abeliano, le classi laterali destre e sinistre coincido, e risulta $1S = 7S = 13S = S$; $5S = \{5, 17, 11\} = 11S = 17S$ (si ricordi in proposito che due classi laterali destre/sinistre sono uguali sse hanno un elemento in comune).

[Woody1]

"HiTLeuLeR": Il gruppo di Klein $V$ è isomorfo a $ZZ/{4ZZ}$

Scusa una cosa, HiTLeuLeR, ma il guppo di Klein:
$V_4 = {1,(12)(34),(14)(23),(13)(24)} ~~ <(12)(34)> ox <(14)(23)>$ non è ciclico perchè isomorfo ad un prodotto diretto di gruppi ciclici di uguale ordine, mentre $ZZ/{4ZZ}$ è ciclico.

"HiTLeuLeR": $|G|=1$ oppure $|G|=5$, while $G$ è un sottogruppo di $S_5$ (Lagrange).

Chi l'ha detto? L'ordine di $S_5$ è $5! = 120$. Inoltre il gruppo di Klein è un sottogruppo di $S_5$ di ordine 4.

"HiTLeuLeR": Then non può esistere alcun isomorfismo di $S_5$ in $V_4$

Guarda che la domanda era: trovare tutti i sottogruppi di $S_5$ isomorfi a $V_4$.