[Algebra 2] trisecare gli angoli

[dan952]

Esercizio. Stabilire se è possibile trisecare $2\pi/20$ e $2\pi/7$ con riga e compasso.

$2\pi/20$ si vede facilmente che non è possibile trisecare con riga e compasso poiché $\cos(2\pi/60)$ annulla un polinomio irriducibile di $QQ[x]$ di 12° grado. Ma l'altro angolo non riesco a trovare un polinomio nemmeno con wolfram.

[vict85]

[xdom="vict85"]Ho eliminato i doppioni. Immagino ci fosse stato qualche bug del sito nell'invio della discussione.[/xdom]

[Studente Anonimo]

Osserva che detto $a = e^{i 2 pi//7}$ hai che $a$ ha grado $\varphi(7)=6$ su $QQ$ e detto $u=cos(2 pi//7)$ si ha $u = (a+1/a)/2$ quindi $2ua=a^2+1$ per cui $a$ ha grado $2$ su $QQ(u)$. Per la formula dei gradi $u$ ha grado $3$ su $QQ$. Ora se mi chiedi di trovare il polinomio irriducibile di grado 3 che ha $u$ come zero ci devo pensare

[Studente Anonimo]

Forse non ho risposto alla tua domanda, comunque analogamente si vede che $cos(2 pi//21)$ ha grado $\varphi(21)//2 = 6$. E più in generale $cos(2 pi//n)$ ha grado $varphi(n)//2$ se $n > 2$.

[dan952]

Eh sì bisognava vedere il grado del polinomio minimo che si annullava in $\cos(2\pi/21)$ ma tanto il procedimento è analogo. Ci sono rimasto un pò male che non mi è venuto in mente di ragionare con i gradi dell'estensione invece di fissarmi a trovare il polinomio minimo.