Algebra 2: strutture cicliche in Sn
Ciao ragazzi,
sono disperata..
non riesco proprio a capire come si facciano gli esercizi sulle strutture cicliche delle permutazioni in Sn!
ad esempio..
un esercizio mi chiede: "Quali sono le strutture cicliche delle permutazioni di S14 con periodo 20?"
oppure: "Si determini la cardinilità di ogni classe coniugata di S5.."
Grazie mille a chi mi illuminerà!
sono disperata..
non riesco proprio a capire come si facciano gli esercizi sulle strutture cicliche delle permutazioni in Sn!
ad esempio..
un esercizio mi chiede: "Quali sono le strutture cicliche delle permutazioni di S14 con periodo 20?"
oppure: "Si determini la cardinilità di ogni classe coniugata di S5.."
Grazie mille a chi mi illuminerà!
Risposte
Vediamo un po'.
Provo a risponderti alla seconda domanda.
Prima di tutto penso che con classe coniugata tu intendi classe di coniugio, cioè, dato un elemento $x\in S_n$, si dice classe di coniugio di x l'insieme degli $gxg^(-1) \ t.c. \ g\in S_n$.
Ora per tutti i gruppi simmetrici è facile trovare le classi di coniugio.
Le classi di coniugio sono infatti i k-cicli.
Spiego meglio cosa intendo.
Prendiamo $S_3$ gruppo delle permutazioni di 1,2,3.
Gli elementi di tale gruppo sono 6 (cioè 3!):
1, (12), (23), (13), (123), (132).
Ora 1 è un 1-ciclo
(12) è un 2-ciclo
(123) è un 3-ciclo.
Perciò ho 3 classi di coniugio:
1-ciclo formata dal solo elemento 1
2-ciclo formata dagli elementi (12),(23),(13)
3-ciclo formata dagli elementi (123), (132)
Quindi la prima classe di coniugio ha cardinalità 1, la seconda 3, la terza 2.
Se ora prendo $S_4$ invece di $S_3$ ho:
1-cicli (elemento 1)
2-cicli (ad esempio l'elemento (12))
3-cicli (ad esempio l'elemento (123))
4-cicli (ad esempio l'elemento (1234))
2,2-cicli (ad esempio l'elemento (13)(24))
Ho perciò 5 classi di coniugio
Allo stesso modo in $S_5$ (prova a pensarci tu) hai 7 classi di coniugio.
Ora per determinare la cardinalità di ogni classe non è il caso di scrivere tutti gli elementi (anche perchè in $S_5$ ce ne sono 5!=120).
Si può però ragionare utilizzando la probabilità.
Ad esempio se voglio contare tutti i 2-cicli in $S_5$ posso notare che posso mettere al primo posto del 2-ciclo 5 elementi (1,2,3,4,5) e nel 2° posto del 2-ciclo 4 elementi (cioè tutti tranne quello che ho messo al primo posto). Avrei quindi 5*4=20 possibilità. Noto però che (12)=(21) e quindi devo dividere per 2.
Perciò i 2-cicli sono 20:2=10.
Allo stesso modo conti gli altri k-cicli
Provo a risponderti alla seconda domanda.
Prima di tutto penso che con classe coniugata tu intendi classe di coniugio, cioè, dato un elemento $x\in S_n$, si dice classe di coniugio di x l'insieme degli $gxg^(-1) \ t.c. \ g\in S_n$.
Ora per tutti i gruppi simmetrici è facile trovare le classi di coniugio.
Le classi di coniugio sono infatti i k-cicli.
Spiego meglio cosa intendo.
Prendiamo $S_3$ gruppo delle permutazioni di 1,2,3.
Gli elementi di tale gruppo sono 6 (cioè 3!):
1, (12), (23), (13), (123), (132).
Ora 1 è un 1-ciclo
(12) è un 2-ciclo
(123) è un 3-ciclo.
Perciò ho 3 classi di coniugio:
1-ciclo formata dal solo elemento 1
2-ciclo formata dagli elementi (12),(23),(13)
3-ciclo formata dagli elementi (123), (132)
Quindi la prima classe di coniugio ha cardinalità 1, la seconda 3, la terza 2.
Se ora prendo $S_4$ invece di $S_3$ ho:
1-cicli (elemento 1)
2-cicli (ad esempio l'elemento (12))
3-cicli (ad esempio l'elemento (123))
4-cicli (ad esempio l'elemento (1234))
2,2-cicli (ad esempio l'elemento (13)(24))
Ho perciò 5 classi di coniugio
Allo stesso modo in $S_5$ (prova a pensarci tu) hai 7 classi di coniugio.
Ora per determinare la cardinalità di ogni classe non è il caso di scrivere tutti gli elementi (anche perchè in $S_5$ ce ne sono 5!=120).
Si può però ragionare utilizzando la probabilità.
Ad esempio se voglio contare tutti i 2-cicli in $S_5$ posso notare che posso mettere al primo posto del 2-ciclo 5 elementi (1,2,3,4,5) e nel 2° posto del 2-ciclo 4 elementi (cioè tutti tranne quello che ho messo al primo posto). Avrei quindi 5*4=20 possibilità. Noto però che (12)=(21) e quindi devo dividere per 2.
Perciò i 2-cicli sono 20:2=10.
Allo stesso modo conti gli altri k-cicli
perfetto!!!
grazie finalmente ho capito come calcolarli..
ho solo un ultimo piccolo dubbio..
in S4, come hai scritto tu, ho
1-ciclo, 2-ciclo, 3-ciclo, 4-ciclio, e (2+2) ciclo..
quindi in S5 avrò:
1-ciclo, 2-cicli, 3-cicli, 4-cicli, 5-cicli, (2+2) cicli, (3+2) cicli??
e in S6 ad esempio tutti questi piu: 6-ciclo (3+3) cicli e (4+2) cicli??
cioè, non so se riesco a fare capire il mio dubbio...
=(
grazie finalmente ho capito come calcolarli..
ho solo un ultimo piccolo dubbio..
in S4, come hai scritto tu, ho
1-ciclo, 2-ciclo, 3-ciclo, 4-ciclio, e (2+2) ciclo..
quindi in S5 avrò:
1-ciclo, 2-cicli, 3-cicli, 4-cicli, 5-cicli, (2+2) cicli, (3+2) cicli??
e in S6 ad esempio tutti questi piu: 6-ciclo (3+3) cicli e (4+2) cicli??
cioè, non so se riesco a fare capire il mio dubbio...
=(
Direi che è perfetto!!!
Ora prova a calcolare le cardinalità e se hai problemi chiedi pure.
Ciao
Ora prova a calcolare le cardinalità e se hai problemi chiedi pure.
Ciao
..penso di aver capito! grazie mille!!!!!!
l'ultima cosa..... ma quando devo calcolare la cardinalità dei (2+2) cicli o dei (3+2) non riesco bene ad applicare la probabilità=(
l'ultima cosa..... ma quando devo calcolare la cardinalità dei (2+2) cicli o dei (3+2) non riesco bene ad applicare la probabilità=(
Consideriamo i 2,2-cicli in $S_5$. Si possono utilizzare delle apposite formule di probabilità, ma direi che possiamo arrivarci con il solito metodo base e col ragionamento.
Dunque ho due 2-cicli attaccati.
Nel primo 2 cicli ho 5 scelte per il 1° elemento e 4 per il 2° elemento, quindi ho $5*4=20$ possibilità e divido per 2 perchè (12)=(21). Ho quindi 10 possibilità.
Per il secondo 2 ciclo mi rimangono 3 scelte per il 1° elemento e 2 scelte per il 2° e quindi $3*2=6$ e devo dividere per 2 per lo stesso motivo di prima e quindi ho $6:2=3$ possibiltà per il 2° 2-ciclo. Quindi a prima vista ho $10*3=30$ possibilità.
Attenzione però! Infatti (12)(34)=(34)(12) e quindi devo dividere ancora tutto per 2. Perciò i 2,2-cicli in $S_5$ sono $30:2=15$.
prova tu a fare i 3,2-cicli e dimmi se riesci, altrimenti ti aiuto io.
Ciao
Dunque ho due 2-cicli attaccati.
Nel primo 2 cicli ho 5 scelte per il 1° elemento e 4 per il 2° elemento, quindi ho $5*4=20$ possibilità e divido per 2 perchè (12)=(21). Ho quindi 10 possibilità.
Per il secondo 2 ciclo mi rimangono 3 scelte per il 1° elemento e 2 scelte per il 2° e quindi $3*2=6$ e devo dividere per 2 per lo stesso motivo di prima e quindi ho $6:2=3$ possibiltà per il 2° 2-ciclo. Quindi a prima vista ho $10*3=30$ possibilità.
Attenzione però! Infatti (12)(34)=(34)(12) e quindi devo dividere ancora tutto per 2. Perciò i 2,2-cicli in $S_5$ sono $30:2=15$.
prova tu a fare i 3,2-cicli e dimmi se riesci, altrimenti ti aiuto io.
Ciao
grande! quindi provo a fare i 3,2-cicli...
considero il 3-ciclo..al primo posto ho 5 possibilità, al secondo 4, al terzo 3..(5*4*3)/3=20
nel 2 ciclo invece ho 2 possibilità per il primo posto e 1 possibilità nel secondo..in totale quindi ho (2*1)/2=1
quindi i 3,2-cicli in S5 sono 20!
giusto!!!
grazieeeeeeeeee!!!!!!
ho un'ultimissima curiosità, a sto punto mi levo tutti i dubbi.. sui miei appunti c'è scritto che le classi di coniugio di Sn sono pai alle partizioni di n... ma quindi se ho S5 non dovrei avere anche (1+4)-cicli o (2+2+1)cicli?
grazie mille, mi hai illuminato!
considero il 3-ciclo..al primo posto ho 5 possibilità, al secondo 4, al terzo 3..(5*4*3)/3=20
nel 2 ciclo invece ho 2 possibilità per il primo posto e 1 possibilità nel secondo..in totale quindi ho (2*1)/2=1
quindi i 3,2-cicli in S5 sono 20!
giusto!!!
grazieeeeeeeeee!!!!!!
ho un'ultimissima curiosità, a sto punto mi levo tutti i dubbi.. sui miei appunti c'è scritto che le classi di coniugio di Sn sono pai alle partizioni di n... ma quindi se ho S5 non dovrei avere anche (1+4)-cicli o (2+2+1)cicli?
grazie mille, mi hai illuminato!
Per quanto riguarda i 3,2-cicli direi perfetto!!
Per quanto riguarda la tua seconda domanda ti dico che:
queli che io ho chiamato 4-cicli sono esattamente quelli che tu chiami 1,4-cicli
e così quelli che io ho chiamato 2,2-cicli sono esattamente quelli che tu chiami 2,2,1-cicli.
Infatti l'elemento (ad esempio) (1234) non è altro che l'elemento (5)(1234) cioè l'elemento che lascia fisso 5 (manda 5 in 5 ) e manada 1 in 2, 2 in 3, 3 in 4, 4 in 1.
Ti è più chiaro ora?
Ciao
Per quanto riguarda la tua seconda domanda ti dico che:
queli che io ho chiamato 4-cicli sono esattamente quelli che tu chiami 1,4-cicli
e così quelli che io ho chiamato 2,2-cicli sono esattamente quelli che tu chiami 2,2,1-cicli.
Infatti l'elemento (ad esempio) (1234) non è altro che l'elemento (5)(1234) cioè l'elemento che lascia fisso 5 (manda 5 in 5 ) e manada 1 in 2, 2 in 3, 3 in 4, 4 in 1.
Ti è più chiaro ora?
Ciao
si, mi è molto piu chiaro!!!!
grazie mille!!!!!!!!!!
grazie per la disponibilità e scusa se sono un pò tonta=)
grazie!
grazie mille!!!!!!!!!!
grazie per la disponibilità e scusa se sono un pò tonta=)
grazie!
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