Alcuni quesiti pseudofilosofici sulla Matematica.
Fortunatamente quest'area da respiro anche alla Logica, dunque espongo, dopo un anno di studi nel Corso di laurea in Matematica, alcune riflessioni e dubbi a capo dei quali non sono riusciti a venire. Temo si tratti di questioni al confine della Filosofia, o forse, molto ingenuamente, di semplici errori di prospettiva. In ogni caso:
1) Concetto e oggetto
Posso guardare la Matematica come un insieme di simboli scritti su foglio? Come si fa a immaginarsi due concetti uguali, come, per fare un esempio, due insiemi uguali in relazione tra loro tramite una funzione? Voi non vi immaginate forse una rappresentazione euleriana dei due insiemi, che non é altro che una rappresentazione grafica? I numeri di certo non ve li potete immaginare, quindi immagino che pensiate a un tre scritto su un foglio nella vostra testa. Comunque, anche ammettendo che quel tre si riferisca a un concetto, come si puó pretendere di separarli in due insiemi e dire lo stesso che sono la stessa cosa? Non sarebbero comunque due concetti diversi? Di certo non esistono cose uguali nell'Universo. Nella testa, i matematici, ammettono che ci sia una quantità superiore a uno di cose uguali? Ritornando alla domanda iniziale, posso allora manipolare gli oggetti nella mia testa come se fossero solo simboli privi di significato legati tra loro tramite regole ben precise (gli assiomi, le regole di inferenza ecc) per sciogliere questi dubbi? Anche il concetto di coppia ordinata di oggetti uguali presenta la stessa problematica, facilmente risolvibili se togliessi il significato concettuale ai simboli che manipolo.
2) Reductio ad absurdum
Per me la reductio ad absurdum non ha alcun senso. Potrebbe far ridere la cosa, ma ne sono davvero convinto in base a due considerazioni: la prima é che si presuppone l'esistenza di qualcosa che non solo non c'é ma é anche logicamente impossibile che ci sia. La seconda é che si ragiona con la logica dopo aver presupposto l'esistenza di qualcosa di logicamente impossibile! É un controsenso! Prima mi dici che la logica non vale piú, e poi fai deduzioni con la logica? Essendo uno studente di Matematica, ho cercato naturalmente di risolvere questo dubbio da solo, non ce l'ho fatta, allora ho lasciato perdere tutto quanto e ho pensato alla Matematica, anche in questo caso, come a un gioco in cui ci sono delle regole senza alcun fondamento (le tabelle di verità) dalle quali si deduce la reductio ad absurdurm.
Qualcuno di voi si é posto i miei stessi problemi? Sarebbe davvero importante per la mia pace mentale dare risposta a queste domande.
1) Concetto e oggetto
Posso guardare la Matematica come un insieme di simboli scritti su foglio? Come si fa a immaginarsi due concetti uguali, come, per fare un esempio, due insiemi uguali in relazione tra loro tramite una funzione? Voi non vi immaginate forse una rappresentazione euleriana dei due insiemi, che non é altro che una rappresentazione grafica? I numeri di certo non ve li potete immaginare, quindi immagino che pensiate a un tre scritto su un foglio nella vostra testa. Comunque, anche ammettendo che quel tre si riferisca a un concetto, come si puó pretendere di separarli in due insiemi e dire lo stesso che sono la stessa cosa? Non sarebbero comunque due concetti diversi? Di certo non esistono cose uguali nell'Universo. Nella testa, i matematici, ammettono che ci sia una quantità superiore a uno di cose uguali? Ritornando alla domanda iniziale, posso allora manipolare gli oggetti nella mia testa come se fossero solo simboli privi di significato legati tra loro tramite regole ben precise (gli assiomi, le regole di inferenza ecc) per sciogliere questi dubbi? Anche il concetto di coppia ordinata di oggetti uguali presenta la stessa problematica, facilmente risolvibili se togliessi il significato concettuale ai simboli che manipolo.
2) Reductio ad absurdum
Per me la reductio ad absurdum non ha alcun senso. Potrebbe far ridere la cosa, ma ne sono davvero convinto in base a due considerazioni: la prima é che si presuppone l'esistenza di qualcosa che non solo non c'é ma é anche logicamente impossibile che ci sia. La seconda é che si ragiona con la logica dopo aver presupposto l'esistenza di qualcosa di logicamente impossibile! É un controsenso! Prima mi dici che la logica non vale piú, e poi fai deduzioni con la logica? Essendo uno studente di Matematica, ho cercato naturalmente di risolvere questo dubbio da solo, non ce l'ho fatta, allora ho lasciato perdere tutto quanto e ho pensato alla Matematica, anche in questo caso, come a un gioco in cui ci sono delle regole senza alcun fondamento (le tabelle di verità) dalle quali si deduce la reductio ad absurdurm.
Qualcuno di voi si é posto i miei stessi problemi? Sarebbe davvero importante per la mia pace mentale dare risposta a queste domande.
Risposte
Sul punto 2, non hai capito ancora come funziona la reduction ad absurdum... Faresti meglio a rileggere tutte le dimostrazioni che hai fatto con tale tecnica e/o un buon manuale di logica.
Per quanto riguarda la questione 1, sinceramente non la capisco.
Per quanto riguarda la questione 1, sinceramente non la capisco.
sinceramente, non ho letto tutto. Ma per uguaglianza tra insiemi che intendi?
per caso un particolare fenomeno che si chiama isomorfismo?
per il secondo punto :
cosa non ti convince delle dimostrazioni per assurdo? a me sembrano chiare.
Per dimostrare la verità di
$P=>A$ si nega $A$ e si mantiene $P$ , cosa c'è di strano?
per caso un particolare fenomeno che si chiama isomorfismo?
per il secondo punto :
cosa non ti convince delle dimostrazioni per assurdo? a me sembrano chiare.
Per dimostrare la verità di
$P=>A$ si nega $A$ e si mantiene $P$ , cosa c'è di strano?
"gugo82":
Sul punto 2, non hai capito ancora come funziona la reduction ad absurdum... Faresti meglio a rileggere tutte le dimostrazioni che hai fatto con tale tecnica e/o un buon manuale di logica.
Per quanto riguarda la questione 1, sinceramente non la capisco.
So benissimo, o almeno credo di saperlo, come funziona. Si nega la tesi, ossia si suppone vera la sua negazione, si fanno una serie di ragionamenti e si raggiunge un assurdo. Questo dovrebbe provare la tesi originaria. Ora, si dice 'mettiamo che valga la negazione della tesi' ma, anche se inizialmente non lo so, é logicamente impossibile che valga, quindi ragioni su qualcosa che é impensabile e insensato come se ci fosse usando la logica come se valesse se ci fosse veramente! Se ci fosse veramente la logica sarebbe alla frutta. Sul punto 1), non saprei spiegarlo meglio cosí.
"Kashaman":
sinceramente, non ho letto tutto. Ma per uguaglianza tra insiemi che intendi?
per caso un particolare fenomeno che si chiama isomorfismo?
per il secondo punto :
cosa non ti convince delle dimostrazioni per assurdo? a me sembrano chiare.
Per dimostrare la verità di
$P=>A$ si nega $A$ e si mantiene $P$ , cosa c'è di strano?
No, intendo proprio l'uguaglianza tra insiemi.
Appunto, non hai capito le basi del ragionamento.
Non si tratta semplicemente di "negare la tesi", ma di assumere tra le ipotesi che il teorema non sia di fatto vero.
In altre parole, si assume che esista qualche istanza in cui si verificano le ipotesi \(H\) e non la tesi \(T\), i.e. che esista qualche oggetto che soddisfi contemporaneamente \(H\) e \(\lnot T\) (per il principio del terzo escluso, questa è l'unica alternativa possible).
Si fa poi vedere che ciò conduce ad un assurdo (e.g., si mostra che il valere contemporaneamente \(H\) e \(\lnot T\) equivale a violare un assioma o un teorema già dimostrato) e quindi, sempre per il principio del terzo escluso, da ciò si conclude che non esistono istanze in cui sia soddisfatta \(H\) ma non \(T\).
Da ciò si deduce che \(H\Rightarrow T\) (che è il "teorema"), cioè che tutti gli oggetti che soddisfano la \(H\) soddisfano necessariamente anche la \(T\).
Ovviamente, non essendo un logico non saprei come scendere più nei dettagli.
Posso però consigliarti Lolli, QED - Fenomenologia della dimostrazione, Bollati Bornighieri, oltre ad un buon libro di Logica (ad esempio, il Mendelson, Introduzione alla Logica Matematica, Bollati Boringhieri).
Non si tratta semplicemente di "negare la tesi", ma di assumere tra le ipotesi che il teorema non sia di fatto vero.
In altre parole, si assume che esista qualche istanza in cui si verificano le ipotesi \(H\) e non la tesi \(T\), i.e. che esista qualche oggetto che soddisfi contemporaneamente \(H\) e \(\lnot T\) (per il principio del terzo escluso, questa è l'unica alternativa possible).
Si fa poi vedere che ciò conduce ad un assurdo (e.g., si mostra che il valere contemporaneamente \(H\) e \(\lnot T\) equivale a violare un assioma o un teorema già dimostrato) e quindi, sempre per il principio del terzo escluso, da ciò si conclude che non esistono istanze in cui sia soddisfatta \(H\) ma non \(T\).
Da ciò si deduce che \(H\Rightarrow T\) (che è il "teorema"), cioè che tutti gli oggetti che soddisfano la \(H\) soddisfano necessariamente anche la \(T\).
Ovviamente, non essendo un logico non saprei come scendere più nei dettagli.
Posso però consigliarti Lolli, QED - Fenomenologia della dimostrazione, Bollati Bornighieri, oltre ad un buon libro di Logica (ad esempio, il Mendelson, Introduzione alla Logica Matematica, Bollati Boringhieri).
"Dreamphiro":
1) Concetto e oggetto
Posso guardare la Matematica come un insieme di simboli scritti su foglio?
se la matematica fosse solo un'insieme di formule sciatte sì.
qui non si capisce nulla, confondi una funizione con la sua rappresentazione grafica. Ma non è sempre vero che una funzione può esser espressa sempre tramite un grafico (se per grafico intendi "linee" continue. Prendi ad esempio $f:ZZ_2->ZZ_4$ definita per $AAx in Z f([x]_2)=[2x]_4$.
Come si fa a immaginarsi due concetti uguali, come, per fare un esempio, due insiemi uguali in relazione tra loro tramite una funzione? Voi non vi immaginate forse una rappresentazione euleriana dei due insiemi, che non é altro che una rappresentazione grafica?
tale $f$ manda elementi di $ZZ_2$ in un sottoanello di $ZZ_4$. Ma non esiste un grafico che la rappresenti
semmai i matematici ammettono l'esistenza di cose equivalenti. E se si parla di uguaglianza , forse, la si usa in "termini " un pocodiversi rispetto all'uguaglianza tra numeri. Dire che $A=B$ con $A$ e $B$ sono insiemi, significa che uno è contenuto nell'altro, e viceversa.
I numeri di certo non ve li potete immaginare, quindi immagino che pensiate a un tre scritto su un foglio nella vostra testa. Comunque, anche ammettendo che quel tre si riferisca a un concetto, come si puó pretendere di separarli in due insiemi e dire lo stesso che sono la stessa cosa? Non sarebbero comunque due concetti diversi? Di certo non esistono cose uguali nell'Universo. Nella testa, i matematici, ammettono che ci sia una quantità superiore a uno di cose uguali?
prendiamo un caso concreto $A={2,4,6,8,10,12,14,...}$ e $B={2k | k in NN}$ chiaramente questi due insiemi sono uguali, ma in cosa si differenziano?
semplicemente nel modo di rappresentare gli elementi.
Ritornando alla domanda iniziale, posso allora manipolare gli oggetti nella mia testa come se fossero solo simboli privi di significato legati tra loro tramite regole ben precise (gli assiomi, le regole di inferenza ecc) per sciogliere questi dubbi? Anche il concetto di coppia ordinata di oggetti uguali presenta la stessa problematica, facilmente risolvibili se togliessi il significato concettuale ai simboli che manipolo.
il fatto è che sei giovane (lo sono anche io, pure io sto per cominciare il secondo anno), capire è difficile e lo si fa con l'esperienze.
Ciò che manipoli non è privo di significato, usi i simboli per astrarre concetti ben precisi. Ti aiutano a non essere ambiguo, ciò che il linguaggio naturale ti porterebbe ad essere.
Ti porto un controesempio alla tua tesi :
sicuramente un poco di algebra l'hai studiata (o algebra lineare..) e sei incappato nel termine di isomorfismo. ti è stato detto che sotto determinate condizioni
due anelli possono considerarsi uguali. si ma in che senso?
possono essere la stessa cosa, sotto il punto di vista strutturale, cioè godono delle stesse proprietà , sono uguali di cardinalità, si differenziano solo per il nome che dai ai loro oggetti.
Non esistono cose del genere in natura?
ti sbagli.
Prova a fotografare una persona in diverse angolazioni, stampa le foto e guardala ad una ad una.
Ogni foto è diversa, ma rappresenta sostanzialmente la stessa persona. E' precisamente questo, uno tra gli esempi, il concetto di isomorfismo.
Per Kashaman: no, allora, due oggetti isomorfi NON sono uguali, hanno le stesse proprietà algebriche, ossia se volessi dimostrare una cosa in uno, posso dimostrata nell'altro e viceversa, perché le proprietà algebriche si mantengono. Ho studiato Algebra, anzi, al primo anno c'é un intero corso di algebra.
Poi, non sto confondendo la funzione con il suo grafico, sto dicendo:'Quando lavori con una funzione, dovresti in teoria immaginarti gli oggetti con cui operi no? Ecco, come fai a immaginarti due concetti uguali legati tra loro da una funzione come per esempio, due insiemi uguali? É impossibile no? O meglio puoi farlo ma in quel caso non sarebbero due concetti diversi? É proprio a livello mentale che me lo chiedevo. Lo so, é un pó strano, ma é questa la questione. Io, personalmente, mi limito a immaginarmi quello che vedo sul foglio, per semplicità, ma non sto confondendo la funzione con il suo grafico. É che quando dici tipo 'mando 3 in se stesso' é un pó paradossale perché consideri diversi (altrimenti non sarebbero due elementi, ma uno) due concetti che poi consideri uguali (sono il tre, appunto).
Per gugo82:
So benissimo il ragionamento, fidati, ma quando dici: 'si assume qualche istanza in cui si verificano le ipotesi H e non la tesi T' stai a piacimento 'fantasticando' su qualcosa di logicamente impossibile ragionadoci sopra con la logica ordinaria per poi concludere che é logicamente impossibile.
Poi, non sto confondendo la funzione con il suo grafico, sto dicendo:'Quando lavori con una funzione, dovresti in teoria immaginarti gli oggetti con cui operi no? Ecco, come fai a immaginarti due concetti uguali legati tra loro da una funzione come per esempio, due insiemi uguali? É impossibile no? O meglio puoi farlo ma in quel caso non sarebbero due concetti diversi? É proprio a livello mentale che me lo chiedevo. Lo so, é un pó strano, ma é questa la questione. Io, personalmente, mi limito a immaginarmi quello che vedo sul foglio, per semplicità, ma non sto confondendo la funzione con il suo grafico. É che quando dici tipo 'mando 3 in se stesso' é un pó paradossale perché consideri diversi (altrimenti non sarebbero due elementi, ma uno) due concetti che poi consideri uguali (sono il tre, appunto).
Per gugo82:
So benissimo il ragionamento, fidati, ma quando dici: 'si assume qualche istanza in cui si verificano le ipotesi H e non la tesi T' stai a piacimento 'fantasticando' su qualcosa di logicamente impossibile ragionadoci sopra con la logica ordinaria per poi concludere che é logicamente impossibile.
appunto, io non ho detto che due oggetti isomorfi sono uguali, ho semplicemente detto che sono la stessa cosa,a meno di chiamare gli elementi del supporto in altro modo. in questo modo dico che sono equivalenti.
Ad esempio prendi $CC$. Ci sono una serie di modi per rappresentarlo.
Un modo è fissare opportune operazioni su $RR\timesRR$.
un'altro è immaginarselo in termini di matrici, considerando l'anello $A={((a,b),(-b,a))|a,b in RR}$
ovviamente gli elementi di $CC$, $RR\timesRR$ e $A$ sono diversi. Ma suddetti anelli hanno le medesime caratteristiche e quindi operare su uno, sull'altro oppure sull'altro ancora è equivalente. In questo senso rappresentano la stessa struttura.
Per quanto riguarda le funzioni, hai ragione,non puoi ragionare astrattamente per visualizzarti qualcosa di concreto.
Ti consiglio di ragionare su insiemi finiti.
Prendi ad esempio le permutazioni
dire che $3$ manda in $3$ significa dire che $3$ viene lasciato fisso.
Mi spiego .
Considera una parola del tipo $abcd$. Questa parola è formata da quattro lettere e inizialmente ha questo stato.
e considera la permutazione $(a,c,d)(b)$
questa vuol dire che al posto di $a$ ci metto $c$ , al posto di $c$ ci metto $d$ e al posto di $d$ ci metto $a$
mentre $b$ rimane al suo posto.
Ottengo così una nuova parola del tipo
$cbda$
Ad esempio prendi $CC$. Ci sono una serie di modi per rappresentarlo.
Un modo è fissare opportune operazioni su $RR\timesRR$.
un'altro è immaginarselo in termini di matrici, considerando l'anello $A={((a,b),(-b,a))|a,b in RR}$
ovviamente gli elementi di $CC$, $RR\timesRR$ e $A$ sono diversi. Ma suddetti anelli hanno le medesime caratteristiche e quindi operare su uno, sull'altro oppure sull'altro ancora è equivalente. In questo senso rappresentano la stessa struttura.
Per quanto riguarda le funzioni, hai ragione,non puoi ragionare astrattamente per visualizzarti qualcosa di concreto.
Ti consiglio di ragionare su insiemi finiti.
Prendi ad esempio le permutazioni
dire che $3$ manda in $3$ significa dire che $3$ viene lasciato fisso.
Mi spiego .
Considera una parola del tipo $abcd$. Questa parola è formata da quattro lettere e inizialmente ha questo stato.
e considera la permutazione $(a,c,d)(b)$
questa vuol dire che al posto di $a$ ci metto $c$ , al posto di $c$ ci metto $d$ e al posto di $d$ ci metto $a$
mentre $b$ rimane al suo posto.
Ottengo così una nuova parola del tipo
$cbda$
"Dreamphiro":
So benissimo il ragionamento, fidati, ma quando dici: 'si assume qualche istanza in cui si verificano le ipotesi H e non la tesi T' stai a piacimento 'fantasticando' su qualcosa di logicamente impossibile ragionadoci sopra con la logica ordinaria per poi concludere che é logicamente impossibile.
E chi te lo dice, a priori, che \(\lnot T\) non si possa verificare quando si verifica \(H\)?
Avere la certezza di ciò equivale all'aver già dimostrato \(H\Rightarrow T\), cosa che non hai ancora fatto.
@Dreamphiro: Se ci sei batti un colpo...
1.
Proprio perche' la totalita' degli enti da studiare e' "troppo grande" si sente il bisogno, spesso, di partizionare in classi di equivalenza tale totalita'; l'isomorfismo di strutture (ossia la trasportabilita' di certe operazioni n-arie da un supporto all'altro) e' un esempio, in geometria ce ne sono molti altri (l'equivalenza omotopica per spazi topologici sufficientemente buoni, l'equivalenza birazionale per varieta' algebriche, l'equipotenza per gli insiemi, ...). Quanti insiemi con un unico elemento esistono? E di quanti insiemi con un solo elemento hai bisogno, nella vita? Il concetto di uguaglianza, spesso e' "diabolico" in Matematica.
2.
Vuoi dimostrare che $p\Rightarrow q$, ovvero che $q\vee \not p$ e' vera. D'altra parte questo equivale a dimostrare che $\not(q\vee\not p)$ e' falsa, ovvero che $p\wedge \not q$ e' falsa. Percio' neghi la tesi, assumendo l'ipotesi, e ti riconduci a una fallacia. Nota che questo e' possibile solo perche' stiamo assumendo che $\not\not a=a$.
Proprio perche' la totalita' degli enti da studiare e' "troppo grande" si sente il bisogno, spesso, di partizionare in classi di equivalenza tale totalita'; l'isomorfismo di strutture (ossia la trasportabilita' di certe operazioni n-arie da un supporto all'altro) e' un esempio, in geometria ce ne sono molti altri (l'equivalenza omotopica per spazi topologici sufficientemente buoni, l'equivalenza birazionale per varieta' algebriche, l'equipotenza per gli insiemi, ...). Quanti insiemi con un unico elemento esistono? E di quanti insiemi con un solo elemento hai bisogno, nella vita? Il concetto di uguaglianza, spesso e' "diabolico" in Matematica.
2.
Vuoi dimostrare che $p\Rightarrow q$, ovvero che $q\vee \not p$ e' vera. D'altra parte questo equivale a dimostrare che $\not(q\vee\not p)$ e' falsa, ovvero che $p\wedge \not q$ e' falsa. Percio' neghi la tesi, assumendo l'ipotesi, e ti riconduci a una fallacia. Nota che questo e' possibile solo perche' stiamo assumendo che $\not\not a=a$.
"gugo82":
@Dreamphiro: Se ci sei batti un colpo...
Piccolo offtopic: non c'è niente da fare, il principio di induzione e la dimostrazione per assurdo sono statisticamente "difficili da digerire".
"Rggb":
non c'è niente da fare, il principio di induzione e la dimostrazione per assurdo sono statisticamente "difficili da digerire".
Certo... Anche per questo gradirei sapere dall'OP com'è andata a finire la questione.
Scusate, scusate, scusate! Allora, sul principio d'induzione e sulla dimostrazione per assurdo non ho piú alcun dubbio. Ho scoperto di avere un'idea sbagliata di che cosa significa la parola 'ipotesi' 
Sul problema del concetto di uguale ehhhhhh, no. Non so ancora come risolverlo.
Sul problema del concetto di uguale ehhhhhh, no. Non so ancora come risolverlo.
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