Alcuni esercizi su omomorfismi di anelli.

[Kashaman]

Ragazzi, ho il seguente quesito.
Tema d'esame
Siano $a,n$ interi . $n>1$
Sia $A={x+iy| x,y in ZZ}$ , il quale è un sotto anello unitario di $CC$.
Si consideri $f_(a,n) : A-> ZZ_n$ tale che $AA x,y in ZZ$
$f_(a,n) (x+iy)= [a(x^2+y^2)]_n$

a) dire se $f_(7129,4)$ è suriettiva
b) Dimostrare che $f_(1,2)$ è un omomorfismo di anelli unitari.
c) Dimostrare che $Kerf_(1,2)$ non è un gruppo ciclico.
d) Dire per quali interi dispari $a$ e quali $n>1$ , $f_(a,n)$ è un omomorfismo di anelli.

per il punto $a)$

Allora, il punto $a$ ho dubbi. sicuramente $Imf_(7129,4) = {[x^2+y^2]_4| x,y in ZZ}$. Sicuramente $f$ non è suriettiva, Ho pensato di vedere un po quali valori assume $f$ al variare di $x,y in ZZ$
Ho fatto queste considerazioni, se sia $x,y$ sono coprimi con quattro allora $x^2-=y^2-=1(mod4)$ allora la loro somma è $[2]_4$
Se entrambi hanno un fattor comune con quattro, allora , sono sicuramente entrambi pari e quindi $[x^2+y^2]_4=[0]_4$
Se uno di loro è multiplo di quattro e l'altro non lo è allora $[x^2+y^2]_4=[1]_4$ (lo so dovrei formalizzare meglio)
Quindi $Imf_(7129,4) = {[x^2+y^2]_4| x,y in ZZ} = {[0]_4,[1]_4,[2]_4}!=ZZ_4$ Quindi $f$ non è suriettiva.

che ne dite? Va bene ragionare cosi?
Per il punto $b$ non ho avuto grossi problemi, è di semplice verifica, lo si può far manualmente.
Per il punto c)
ho ragionato cosi

Prima di tutto mi determino il nucleo di $f_(1,2)$
Considero $x=a+bi in A$
$x in Kerf_(1,2) <=> f(x)=[0]_2 => [a^2+b^2]_2=[a^2-b^2]_2=[0]_2 <=>$
$ 2| a^2-b^2=(a-b)(a+b) => 2|(a-b) vv 2|a+b$
Quindi in entrambi i casi $a-=b(mod2)$
ne segue che $Kerf_(1,2)={a +ib in A | a-=b(mod2)}$
Per mostrare che $f$ non è ciclico mi basta trovarne un controesempio.
Siano $1+i , 2i in Kerf_(1,2)$
Se $Kerf_(1,2)$ è ciclico allora $EE n in ZZ | n(2i)=(1+i) vv n(1+i)=2i$ ma ciò non è possibile.
Segue allora che $Kerf_(1,2)$ non è ciclico

Per il punto $d$ devo ancora pensarci un pochetto
Come vi sembra?
Grazie mille...

[Kashaman]

Sia $n in {5,6}$ e si consideri $f_n : ZZ-> ZZ_n$ definita per ogni $a in ZZ : f(a)=[a^4-a^2]_n$
a) Dire se $f_6$ è un omomorfismo di anelli
b) determinare $f_5(ZZ)$
c)dire se $f_5$ è un omomorfismo di gruppi additivi.

Ho ragionato così
a)
Considero l'isomorfismo $ZZ_6$ con $ZZ_2\timesZZ_3$. allora $f'_6$ è equivalente a considerare
$f'_6(a)=([a^4-a^2]_2,[a^4-a^2]_3)$
ora noto che $f'_6(0) = ([0]_2,[0]_3)$ (1)
e che per ogni $a in ZZ\\{0} : a-=1(mod2) ^^ a^2-=1(mod2)$
e che quindi $AA a in ZZ\\{0} : f'_6(a) =([0]_2,[0]_3) $(2)
dunque da uno e due segue che per ogni $x in ZZ$ la funzione è identicamente nulla, quindi $f'_6$ e dato l'isomorfismo,$f_6$ è l'omomorfismo banale.
b) Per definizione di immagine e di classe di congruenza ho che
$f_5(ZZ)={[a^4-a^2]_5| a in ZZ ^^ 0<=a<5}={[0]_5,[2]_5}$ giusto?
c) se $f_5$ è un omomorfismo di gruppi additivi segue che in particolare $f_5(ZZ)$ è un sottogruppo additivo di $ZZ_5$.
Ma ciò non è vero.
infatti $[2]_5+[2]_5=[4]_5$ ma questa non appartiene a $f_5(ZZ)$ quindi, tale insieme non è chiuso rispetto alla somma, ne segue che $f_5(ZZ)$ non è un sottogruppo e quindi $f_5$ non è un omomorfismo.

che ne dite? grazie


PS thanks perplesso

[perplesso1]

Tutto giusto, solo non ho capito questo passaggio

"Kashaman":e che per ogni a∈Z⋅:a≡1(mod2)∧a2≡1(mod2)

In che senso dici che $a = 1 (mod 2)$ per ogni $a \in ZZ$? e se $a$ è pari?

Cmq per il primo punto potevi fare semplicemente una scomposizione $a ^4-a^2 = a^2 (a-1)(a+1)$ è evidente che almeno uno dei fattori $a,(a+1),(a-1)$ è pari ed almeno uno è multiplo di 3

[Kashaman]

ciao perplesso , c'era uno star su $ZZ$ che non si riusciva a vedere evidentemente!
ho corretto, ora dovrebbe andare.
tutta via penso tu abbia ragione. era molto più semplice . si poteva notare che $(a-1)a(a+1)$ sono disposti in ordine "crescente". Nel senso che il successivo di $a-1$ è $a$ e il successivo di $a$ è $a+1$,
e tenendo conto che i pari saltano di "due posti" e i multipli di tre di "3" posti possiamo dire che almeno uno dei fattori $a,(a+1),(a-1)$ èmultiplo di 3 e 2. e quindi il prodotto di questi fattori è un multiplo di $6$ e quindi l'immagine di $f_6$ è identicamente nulla $AA a in ZZ$ , giusto perplesso?
grazie

[perplesso1]

Giusto Kashaman!

[Kashaman]

Grazie mille degli aiuti perplesso!

[Kashaman]

eccone un'altro.
Siano $a,b $ interi ed $n,m$ interi maggiori di 1.
Si consideri l'applicazione $f_(n,m)^(a,b): Z_(nm)-> ZZ_n\timesZZ_m$ tale che $AA x in ZZ : f_(n,m)^(a,b)([x]_(nm))=([ax]_n,[bx]_m)$
a) determinare per quali valori di $a,b$ $f_(14,15)^(a,b)(ZZ_210)$ ha cardinalità 10.
b) determinare per quali valori di $a,b$ $f_(2,3)^(a,b)$ è un omomorfismo di anelli.
svolgimento.

ho notato che $AA x,y in ZZ_(210) : f(x+y)=f(x)+f(y)$ pertanto $f_(14,15)^(a,b)(ZZ_210)$ è un sottogruppo di $ZZ_14\timesZZ_15$, ove quest'ultimo è un gruppo ciclico. Considero l'elemento $([a]_14,_15)$ , voglio che genera un sottogruppo di ordine 10. Pertanto l'ordine di tale elemento deve essere 10 e quindi
$([10a]_14,[10b]_15)=([0]_14,[0]_15) <=> a-=0(mod7) ^^ b-=0(mod5)$
quindi
ho le seguenti coppie di $a,b$ per le quali ciò avviene
$(7,5)$
$(5,10)$.
b) notando che $f_(2,3)^(a,b)$ è un omomorfismo di gruppi per ogni $a,b$
mi resta da provare quando $f_(2,3)^(a,b)(xy)=f_(2,3)^(a,b)(x)f_(2,3)^(a,b)(y)$
deve valere che $f_(2,3)^(a,b)(1)=([a]_2,_3)=([a^2]_2,[b^3])=f_(2,3)^(a,b)(x)f_(2,3)^(a,b)(y)$ e ciò avviene se e solo se $2|a^2-a$(1) e $3|b^2-b=b(b-1)$
la prima è vera per ogni $a in ZZ$ la seconda è vera se e solo se $3|b$ oppure $3|b-1$.
Quindi, data la compatibilità delle congruenze rispetto al prodotto ne segue che
$f_(2,3)^(a,b)$ è un omomorfismo di anelli $AA a in ZZ ^^ AA b in ZZ : 3|b vv 3|b-1$

che ne dite?
grazie

[Kashaman]

uppino!
ne approfitto per porre in esame un'altro.

Sia $A=ZZ_707$
sia $B={[7a]_707|a in ZZ}$
dimostrare che $B$ è un sottoanello di $ZZ_707$ . e dire se è provvisto di identità moltiplicativa.

confido che mi ha inseminato non molti dubbi.
tuttavia la parte prima è semplice, risolta senza non troppi problemi. E' quasi evidente che sia un sottoanello di $ZZ_707$
tuttavia, per l'unità, ho dubbi sulla risoluzione.
$B$ è unitario $<=> EE [7b]_707 in B | AA [7a]_707 in B : [7a]_707*[7b]_707=[7a]_707 $
poiché deve valere per ogni $[7a]_707 in B$ considero
$[7]_707*[7b]_7=[7]_707 <=> 49b-=7(mod707)<=>7b-=1(mod101)<=>b-=29(mod101)$
posto $[7b]_707=[7(29)]_707=[203]_207$ verifico se $1_B=[203]_707$
preso un elemento generale di $B$ , $[7a]_707$
ho che $[7a]_707*[203]_707=[1421a]_707=[203]_707[7a]_707=[7a]_707$ .
ciò prova che $B$ è unitario e la sua unità è $[203]_707$

ragazzi va bene? o dico fesserie?
grazie