Alcuni dubbi sulla Noetherianità di un anello $R$
Ciao a tutti ragazzi,
avrei alcuni dubbi sulla seguente proposizione.
Sia $S$ un sottoanello Noetheriano di un anello $R$. Supponiamo che $R$ sia finitamente generato come $S$-modulo; allora $R$ è un anello Noetheriano.
Banalmente si verifica che $R$ è effettivamente Noetheriano come $S$-modulo. Ma come posso concludere che $R$ è noetheriano come $R$-modulo? Seguendo la definizione, dovrei mostrare che gli ideali di $R$ coincidono con i sottomoduli di $R$ (come $S$-modulo). Se la mia osservazione è corretta, come la giustifico?
Grazie a tutti.
avrei alcuni dubbi sulla seguente proposizione.
Sia $S$ un sottoanello Noetheriano di un anello $R$. Supponiamo che $R$ sia finitamente generato come $S$-modulo; allora $R$ è un anello Noetheriano.
Banalmente si verifica che $R$ è effettivamente Noetheriano come $S$-modulo. Ma come posso concludere che $R$ è noetheriano come $R$-modulo? Seguendo la definizione, dovrei mostrare che gli ideali di $R$ coincidono con i sottomoduli di $R$ (come $S$-modulo). Se la mia osservazione è corretta, come la giustifico?
Grazie a tutti.
Risposte
Un ideale di $R$ è per definizione chiuso rispetto alla moltiplicazione per elementi di $R$, in particolare è chiuso rispetto alla moltiplicazione per elementi di $S$, dunque è anche un sottomodulo di $R$ (visto come modulo su $S$). Ciò risponde alla tua domanda?
Osserva che gl'ideali sono sottomoduli ma il viceversa non è vero, basta considerare l'anello $R$ dei polinomi a coefficienti in un campo $S$. Non tutti i sottospazi vettoriali di $R$ sono ideali.
Osserva che gl'ideali sono sottomoduli ma il viceversa non è vero, basta considerare l'anello $R$ dei polinomi a coefficienti in un campo $S$. Non tutti i sottospazi vettoriali di $R$ sono ideali.
Avevo fatto il tuo stesso ragionamento 
. Se hai letto il messaggio precedente, non farci caso; momenti di sbandamento. Comunque, so che ogni catena ascendente di sottomoduli è stazionaria. Se prendo una catena di ideali (che sono anche sottomoduli), allora lei sarà stazionaria. Pertanto $R$ è Noetheriano.
Correggimi se sbaglio. Grazie mille!
. Se hai letto il messaggio precedente, non farci caso; momenti di sbandamento. Comunque, so che ogni catena ascendente di sottomoduli è stazionaria. Se prendo una catena di ideali (che sono anche sottomoduli), allora lei sarà stazionaria. Pertanto $R$ è Noetheriano.Correggimi se sbaglio
. Grazie mille!
Mi sembra che l'ipotesi che [tex]R[/tex] è finitamente generato come [tex]S[/tex]-modulo sia un po' forte, basta che sia finitamente generato come [tex]S[/tex]-algebra. Allora rimane vero che [tex]R[/tex] è Noetheriano, questo segue facilmente dal teorema della base di Hilbert (che dice che se [tex]S[/tex] è Noetheriano allora [tex]S[X][/tex] è Noetheriano).
Senza utilizzare Algebre e Teorema della base di Hilbert (il MacDonald non fa uso di tali strumenti), il mio ragionamento fila?
Se $R$ è Noetheriano come $S$-modulo allora banalmente è Noetheriano anche come $R$-modulo (cioè come anello), mi pare meno banale dimostrare quello che tu hai detto che è banale, cioè che dalle tue ipotesi segue che $R$ è Noetheriano come $S$-modulo. Il succo sta tutto lì.
PS. Non sto dicendo di usare il teorema della base di Hilbert, sto dicendo che il risultato che dici vale sotto ipotesi più deboli, nella fattispecie, sotto l'ipotesi che $R$ sia finitamente generato come $S$-algebra.
PS. Non sto dicendo di usare il teorema della base di Hilbert, sto dicendo che il risultato che dici vale sotto ipotesi più deboli, nella fattispecie, sotto l'ipotesi che $R$ sia finitamente generato come $S$-algebra.
Perfetto, grazie mille!
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