Alcune domande di algebra.. richiesta grande pazienza.. :)

[John_Nash11]

Ciao a tutti.
Essendomi avvicinato allo studio di gruppi, morfismi, isomorfismi e tutta questa robina simpatica del mio corso di Aritmetica, sorgono spontanee diverse domandine.. che mi appresto ad esporvi.
Nota: numererò le domande, e spero che colui in quale avrà la pazienza di rispondere, mi dia almeno una risposta minima a tutte le domande, in modo tale che io non debba poi uppare il post ogni volta per reclamare la risposta ad un solo punto che non mi è chiaro... Intanto comunque grazie mille!!

1)Riguardo l'Ordine, se ho un gruppo moltiplicativo $(G, *)$, composto da $10$ elementi per esempio, allora posso dire che l'ordine del gruppo è $10$, cioè il numero di elementi, e l'ordine di ogni singolo $g in G$ è uguale al numero di volte per cui $g$ và operato con se stesso tramite l'operazione $*$ per ottenere l'elemento neutro all'interno gruppo, giusto? Se poi non si ottiene mai l'elemento neutro allora l'elemento $g$ in questione si dice che ha ordine infinito. E se per caso l'insieme del gruppo fosse infinito tipo gli interi o i reali allora l'ordine del gruppo di dice infinito. Questo è corretto?

2)Se ho un gruppo $(G, *)$, allora dico che $G$ è ciclico se $EE g in G : G = $ di elementi ${g^k: k in ZZ}$, cioè in pratica se esiste un elemento del gruppo tale che tutto il gruppo è generato da un elemento elevato per se stesso un certo numero di volte $k$, o se $G$ fosse stato un gruppo con la somma allora il gruppo sarebbe stato generato da un elemento sommato $k$ volte per se stesso.
Per esempio il gruppo $({4, 10, 12}, +)$ posso dire che è generato da tutto $RR$, perchè affinchè il gruppo sia chiuso per la somma ci devono essere tutti i numeri $4+10, 4+12, 10+12, 4+14$ e via dicendo insomma all'infinito, anche in negativo. Ma è anche generato da tutto $ZZ$, non essendoci di certo valori irrazionali o fratti, ma anche da $2ZZ$ cioè solo i pari in $ZZ$, non essendoci valori dispari in tutto l'insieme. Quindi formalmente io devo dire che $({4, 10, 12}, +) = <2ZZ>$, che mi sembra essere il minimo insieme che genera quel gruppo? E' corretto? Su questi punti ho un pò di confusione per quanto riguarda anche la teminologia, se riuscite a farmi anche qualche esempio semplice vi ringrazio.

3)Se ho il gruppo moltiplicativo $(ZZ_(5)^** , *) = {1,2,3,4}$ posso dire che i suoi elementi hanno ordine 1, 2 o 4, cioè i divisori di 4, giusto? E infatti 1 ha ordine 1 perchè è già l'elemento neutro, il 2 ha ordine 4 perchè le sue potenze sono $2, 2^2=4, 2^3=8=3, 2^4=16=1$ , e quindi dico anche che 2 è un generatore del gruppo, giusto? Poi le potenze di 3 sono $3, 3^2=9=4, 3^3=27=2, 3^4=81=1$, quindi anche 3 ha ordine 4. E poi 4 ha ordine 2 perchè $4^2=16=1$. Posso dire che $<2>$ genera il gruppo? E posso dire che lo genera anche $<3>$? C'è distinzione tra i due elementi? Cioè nel senso per scegliere un generatore del gruppo è indifferente uno dei 2? Che implicazioni può avere il fatto che 2 e 3 generano il gruppo? Mi sapreste fare un'altro esempio di questo tipo con un gruppo diverso magari?

4)Ho alcuni esecizi (credo piuttosto semplici) che non ho idea di come si risolvano.. ne scrivo qualcuno, se magari riusciste a spiegarmi prima a parole cosa vogliono sapere di preciso sarebbe il massimo:

- 1)Provare che non è vero che $ZZ_(4)~=ZZ_(2)xZZ_(2)$ come gruppi.
- 2)Provare che non è vero che $ZZ_(25)~=ZZ_(5)xZZ_(5)$ come gruppi.
- 3)Dire se l'applicazione $\psi: ZZ_(9)rarrZZ_(3)$ definita da $\psi(1)=1$ è ben definita, ed è anche morfismo di gruppi. (P.S.: che vuol dire quando si definisce un'applicazione elemento per elemento? Cioè a che serve e come si usa questo concetto? L'abbiamo visto molto in classe, tipo mandando un elemento di un insieme nell'elemento di un'altro insieme, ma non capisco... )
- 4)Contare tutte le applicazioni da $ZZ_(5) a ZZ_(7)$.
- 5)Contare tutti i morfismi da $ZZ_(9) a ZZ_(3)$.
- 6)Trovare l'ordine $(o(*))$ degli elementi $2,3,4,5,6$ di $ZZ_(15)$.


Ho perso esattamente un'ora e mezzo per scrivere tutte queste cose, spero ne sia valsa la pena e che qualcuno mi risponderà.. Intanto io vi ringrazio infinitamente anche solo per la pazienza di aver letto il post se siete arrivati fin qua. Grazie davvero ragazzi.
Ciao!

[rubik2]

1) mi sembra che sei a posto sottolinerei solo il fatto che se $G$ ha ordine finito allora lo ha ogni suo elemento.

2) Qui c'è qualcosa che non va $({4,10,12},+)$ non è un gruppo non c'è elemento neutro ed inversi a meno che non definisci una qualche strana operazione. Non ho esempi particolari da portarti, noto solo che se $G=< g >$ allora $G=< g^(-1) >$

3) Nel caso di gruppi finiti un qualunque elemento che ha come ordine esattamente la cardinalità del gruppo lo genera, quindi 2 e 3 generano il tuo $(ZZ_5^*,*)$. Un esempio possono essere le rotazioni di $kpi/4$ centrare nell'origine del piano, formano un gruppo ciclico che può essere generato dalla rotazione di $pi/4$ oppure dalla rotazione di $(3pi)/4$ (magari anche da qualcun'altra).

4) in $ZZ_4$ hai almeno un elemento di ordine 4 invece in $ZZ_2xxZZ_2$ non c'è quindi non possono essere isomorfi (se non ti è chiaro perchè dimmi), il secondo si fa uguale.
per il punto 3 sarebbe da vedere bene il testo dell'esercizio, chiaramente una funzione va definita su ogni elemento di un insieme (che sia o meno un gruppo), ora diversamente però può succedere con gli omomorfismi perchè se vuoi che $psi$ sia un omomorfismo essa deve conservare l'operazione del gruppo quindi $psi(n)=psi(1+...+1) "[n volte]"=npsi(1)$ quindi nel caso di gruppi ciclici ti basta definire una funzione su un generatore per conoscere l'immagine di ogni elemento. Bisogna capire bene cosa chiede l'esercizio, spero di non averti confuso maggiormente. Un'applicazione si definisce "sempre" elemento per elemento spesso si usa una scrittura "sintetica" tipo $f(x)=x^2$ questo però quando è possibile fare una cosa del genere se io avessi come insiemi ${a,b,c}$ e ${1,2,3}$ e volessi una funzione dovrei per forza esplicitarla elemento per elemento
contare le funzioni da $ZZ_5$ a $ZZ_7$ è una questione combinatoria: prendi un elemento in $ZZ_5$ devi mandarlo in un unico elemento di $ZZ_7$ hai quindi 7 possibilità e così per ogni elemento di $ZZ_5$ quindi le applicazioni sono $7^5$
per contare gli omomorfismi possiamo usare quello detto sopra: posso definire un omomorfismo dicendo solo qual'è l'immagine di un generatore, prendo 1 come generatore in $ZZ_9$ e trovo tre possibili omomorfismi $phi_1(1)=0$, $phi_2(1)=1$ e $phi_3(2)=2$ gli omomorfismi quindi sono 3. Ci sarebbero da fare le verifiche ma dovrebbero funzionare
l'ultimo è una questione di conti, non mi va di farli

non ho risposto a tutto, se hai qualche altro dubbio chiedi pure, ciao

[fu^2]

per il punto 2): non capisco perchè dici che $G=({4,10,12},+)$ è generato da tutto $ZZ$. la definizione dice, come hai scritto te, di prendere, se esiste, un elemento in G in modo che g^k generi tutto l'insieme. Non capisco bene quello che dici però... cioè per essere un gruppo devi definire una somma nell'insieme in modo che gli elementi dell'insieme siano chiusi rispetto alla somma. In questo caso $4+4=8!={4,10,12}$ quindi con questa operazione G non è un gruppo. Forse intendo male io...

un'altro esempio banale è $G=({-1,1},*)$ in questo caso $<-1<$ è il generatore in quanto $(-1)^(2k+1)=-1$ e $(-1)^(2k)=1$, quindi questo elemento genera tutto il gruppo.

[John_Nash11]

"rubik":1) mi sembra che sei a posto sottolinerei solo il fatto che se $G$ ha ordine finito allora lo ha ogni suo elemento.

2) Qui c'è qualcosa che non va $({4,10,12},+)$ non è un gruppo non c'è elemento neutro ed inversi a meno che non definisci una qualche strana operazione. Non ho esempi particolari da portarti, noto solo che se $G=< g >$ allora $G=< g^(-1) >$

3) Nel caso di gruppi finiti un qualunque elemento che ha come ordine esattamente la cardinalità del gruppo lo genera, quindi 2 e 3 generano il tuo $(ZZ_5^*,*)$. Un esempio possono essere le rotazioni di $kpi/4$ centrare nell'origine del piano, formano un gruppo ciclico che può essere generato dalla rotazione di $pi/4$ oppure dalla rotazione di $(3pi)/4$ (magari anche da qualcun'altra).

4) in $ZZ_4$ hai almeno un elemento di ordine 4 invece in $ZZ_2xxZZ_2$ non c'è quindi non possono essere isomorfi (se non ti è chiaro perchè dimmi), il secondo si fa uguale.
per il punto 3 sarebbe da vedere bene il testo dell'esercizio, chiaramente una funzione va definita su ogni elemento di un insieme (che sia o meno un gruppo), ora diversamente però può succedere con gli omomorfismi perchè se vuoi che $psi$ sia un omomorfismo essa deve conservare l'operazione del gruppo quindi $psi(n)=psi(1+...+1) "[n volte]"=npsi(1)$ quindi nel caso di gruppi ciclici ti basta definire una funzione su un generatore per conoscere l'immagine di ogni elemento. Bisogna capire bene cosa chiede l'esercizio, spero di non averti confuso maggiormente. Un'applicazione si definisce "sempre" elemento per elemento spesso si usa una scrittura "sintetica" tipo $f(x)=x^2$ questo però quando è possibile fare una cosa del genere se io avessi come insiemi ${a,b,c}$ e ${1,2,3}$ e volessi una funzione dovrei per forza esplicitarla elemento per elemento
contare le funzioni da $ZZ_5$ a $ZZ_7$ è una questione combinatoria: prendi un elemento in $ZZ_5$ devi mandarlo in un unico elemento di $ZZ_7$ hai quindi 7 possibilità e così per ogni elemento di $ZZ_5$ quindi le applicazioni sono $7^5$
per contare gli omomorfismi possiamo usare quello detto sopra: posso definire un omomorfismo dicendo solo qual'è l'immagine di un generatore, prendo 1 come generatore in $ZZ_9$ e trovo tre possibili omomorfismi $phi_1(1)=0$, $phi_2(1)=1$ e $phi_3(2)=2$ gli omomorfismi quindi sono 3. Ci sarebbero da fare le verifiche ma dovrebbero funzionare
l'ultimo è una questione di conti, non mi va di farli

non ho risposto a tutto, se hai qualche altro dubbio chiedi pure, ciao

Ciao rubik, intanto grazie infinitamente per aver risposto.
Allora ririspondo a quello che hai scritto :

1) Ok

2) Si è vero è un esempio del tutto sbagliato. Ho cercato di riportare un esempio che avevo segnato con degli esercizi fatti con altra gente ma non avendo capito bene tutta la questione mi sono confuso ancora di più. Quindi diciamo che un gruppo è ciclico se esiste un elemento che lo genera tutto, fin qui và bene? Non sapresti farmi un esempio anche stupido di un gruppo ciclico?

3) Le rotazioni di $kpi/4$ centrare nell'origine del piano non mi è molto chiaro come esempio... qualcosa in $ZZ_(n)$ ce l'avresti per farmi capire meglio?

4) Segno i numeri degli esercizi:

-1) In $ZZ_4$ c'è almeno un elemento di ordine 4 per il fatto che ho detto io prima? Cioè perchè l'ordine degli elementi di $ZZ_n$ per esempio è uguale a un $k$ che varia tra i divisori di n? Ma se $ZZ_4 rarr ZZ_2xZZ_2$ non conta niente visto che 2x2=4??
-2) uguale
-3) Quindi le applicazioni di questo tipo vanno sempre definite elemento per elemento, ma se nell'esercizio mi definisce solo l'elemento 1 come faccio a risolvere la questione? Forse posso dire per esempio che:
$\psi (1)=1, \psi (2)=\psi (1+1)=\psi (1) + \psi (1)= 1 + 1=2$ e via dicendo su tutti gli elementi? In questo modo dò una "buona definizione"? O riesco a dimostrare che è un morfismo di gruppi?
-4) Quindi tutte le volte che mi dice "Contare gli elementi da un insieme ad un altro" devo solo vedere tutte le scelte possibili che posso fare in questo modo? Ma in questo caso non avrei 7 scelte per il primo elemento, 6 scelte per il secondo elemento, 5 scelte per il terzo elemento e via dicendo.. quindi alla fine avrei 7*6*5*4*3 scelte in totale?? O questo è solo per quanto riguarda le funzioni iniettive? Perchè come hai scritto tu $7^5$ non è ne iniettiva ne suriettiva giusto? Non importa se non è nessuna delle 2? Importa solo il numero totale di applicazioni?
-5) Non ho proprio capito quello che hai detto; come fai a prendere 1 come generatore in $ZZ_9$? Lo puoi fare perchè 1,1+1,1+1+1..... ti dà tutti gli elementi di $ZZ_9$? E cosa vuol dire quando scrivi "trovo tre possibili omomorfismi $phi_1(1)=0$, $phi_2(1)=1$ e $phi_3(2)=2$ gli omomorfismi quindi sono 3." ??
-6) Che vuol dire che è una questione di conti? Se me lo spieghi a parole cosa c'è da fare lo posso anche fare io, basta che mi dici cosa vuole sapere l'esercizio.

Grazie davvero!

[John_Nash11]

"fu^2":per il punto 2): non capisco perchè dici che $G=({4,10,12},+)$ è generato da tutto $ZZ$. la definizione dice, come hai scritto te, di prendere, se esiste, un elemento in G in modo che g^k generi tutto l'insieme. Non capisco bene quello che dici però... cioè per essere un gruppo devi definire una somma nell'insieme in modo che gli elementi dell'insieme siano chiusi rispetto alla somma. In questo caso $4+4=8!={4,10,12}$ quindi con questa operazione G non è un gruppo. Forse intendo male io...

un'altro esempio banale è $G=({-1,1},*)$ in questo caso $<-1<$ è il generatore in quanto $(-1)^(2k+1)=-1$ e $(-1)^(2k)=1$, quindi questo elemento genera tutto il gruppo.

si fu^2 hai ragione ho scritto una castroneria. Il tuo esempio con -1 e 1 mi è più chiaro. Inizio a capire meglio. Avete qualche altro esempio in proposito? Più ne vedo e meglio è!

[fu^2]

anche il gioco con $({0,1},+$ è un gruppo ciclico, con 1+1=0 (quindi l'inverso di 1 è se stesso). $<1>$ è il generatore, infatti $1+(2k)=1$ e $1+(2k+1)=0$.

il gruppo delle isometrie che manda il quadrato in se stesso anche...

[rubik2]

2) $ZZ$ è ciclico ed è generato da 1 o -1. la definizione di ciclico è quella che hai scritto

3) l'esempio di sopra dovrebbe andare bene, un altro può essere $ZZ_5$ tutti gli elementi diversi da zero lo generano

4) il testo dell'esercizio non è molto chiaro, se la questione è solo se la funzione è ben definita allora no perchè non è definita su tutti gli elementi dell'insieme. invece se $psi(1)=1$ fosse un modo per defiinire un omomorfismo andrebbe bene, sarebbe una buona definizione e dovresti riuscire a provare che $psi$ è un omomorfismo di gruppi. Le funzioni non devono essere iniettive per forza e non possono in questo caso essere suriettive, si parla di funzioni qualsiasi per questo $7^5$

5) 1 (in realtà $[1]$, la classe di 1) genera per il motivo che hai detto te. come ho detto prima se definisco su un generatore un omomorfismo in un gruppo ciclico so l'immagine di ogni elemento perchè $phi(n)=n*phi(1)$ si tratta solo di vedere solo dove posso mandare 1 ed in $ZZ_3$ ho tre elementi 0,1,2 (in realtà le loro classi di equivalenza spero che questo non ti abbia confuso)

6) l'ordine di un elemento lo hai definito al punto 1, in $ZZ_15$ c'è la somma quindi ti devi chiedere quante volte devi sommare 2 con se stesso per ottenere 0 elemento neutro per l'addizione, questo equivale a trovare un $n$ tale che $2n=0mod(15)$ e trovi facilmente (anche facendo le prove) che n=15.
In pratica si tratta di trovare il più piccolo multiplo comune tra 2 e 15 e vedere per cosa devo moltiplicare 2 per ottenerlo.
Per il 3: mcm(3,15)=15 per ottenere 15 moltiplico 3 per 5 quindi l'ordine di 3 è cinque.

spero che ora vada meglio, fammi sapere, ciao

[alvinlee881]

"John_Nash":[quoteAllora ririspondo a quello che hai scritto :

1) Ok

2) Si è vero è un esempio del tutto sbagliato. Ho cercato di riportare un esempio che avevo segnato con degli esercizi fatti con altra gente ma non avendo capito bene tutta la questione mi sono confuso ancora di più. Quindi diciamo che un gruppo è ciclico se esiste un elemento che lo genera tutto, fin qui và bene? Non sapresti farmi un esempio anche stupido di un gruppo ciclico?

3) Le rotazioni di $kpi/4$ centrare nell'origine del piano non mi è molto chiaro come esempio... qualcosa in $ZZ_(n)$ ce l'avresti per farmi capire meglio?

4) Segno i numeri degli esercizi:

-1) In $ZZ_4$ c'è almeno un elemento di ordine 4 per il fatto che ho detto io prima? Cioè perchè l'ordine degli elementi di $ZZ_n$ per esempio è uguale a un $k$ che varia tra i divisori di n? Ma se $ZZ_4 rarr ZZ_2xZZ_2$ non conta niente visto che 2x2=4??
-2) uguale
-3) Quindi le applicazioni di questo tipo vanno sempre definite elemento per elemento, ma se nell'esercizio mi definisce solo l'elemento 1 come faccio a risolvere la questione? Forse posso dire per esempio che:
$\psi (1)=1, \psi (2)=\psi (1+1)=\psi (1) + \psi (1)= 1 + 1=2$ e via dicendo su tutti gli elementi? In questo modo dò una "buona definizione"? O riesco a dimostrare che è un morfismo di gruppi?
-4) Quindi tutte le volte che mi dice "Contare gli elementi da un insieme ad un altro" devo solo vedere tutte le scelte possibili che posso fare in questo modo? Ma in questo caso non avrei 7 scelte per il primo elemento, 6 scelte per il secondo elemento, 5 scelte per il terzo elemento e via dicendo.. quindi alla fine avrei 7*6*5*4*3 scelte in totale?? O questo è solo per quanto riguarda le funzioni iniettive? Perchè come hai scritto tu $7^5$ non è ne iniettiva ne suriettiva giusto? Non importa se non è nessuna delle 2? Importa solo il numero totale di applicazioni?
-5) Non ho proprio capito quello che hai detto; come fai a prendere 1 come generatore in $ZZ_9$? Lo puoi fare perchè 1,1+1,1+1+1..... ti dà tutti gli elementi di $ZZ_9$? E cosa vuol dire quando scrivi "trovo tre possibili omomorfismi $phi_1(1)=0$, $phi_2(1)=1$ e $phi_3(2)=2$ gli omomorfismi quindi sono 3." ??
-6) Che vuol dire che è una questione di conti? Se me lo spieghi a parole cosa c'è da fare lo posso anche fare io, basta che mi dici cosa vuole sapere l'esercizio.

Grazie davvero!

Ciao marco. Ma è vero come mi ha detto un tuo compagno di corso ceh non avete ancora studiato i gruppi?
Sarà una didattiva alternativa, chessò. Comunque provo ad aiutarti.
2) esempi di gruppi ciclici:
$(Z,+)$ è u gruppo ciclico di ordine infinito: è ciclico perchè è generato da $1$.
$(Z_n,+)$ è un gruppo ciclico di ordine $n$. E' infatti generato da $[1]_n$.
Si dimostra che questi, a meno di isomorfismi, sono tutti e soli i gruppi ciclici. Ciò significa che ogni gruppo ciclico è isomorfo a $Z$ (se è infinito) oppure a $Z_n$ se è finito.
4) Allora:
1)$Z_4$, per quanto detto al punto 2), è ciclico. Qualunque sia il gruppo a cui è isomorfo, anche quest'ultimo deve essere ciclico. Ma $Z_2 X Z_2$ non è ciclico, infatti ognuno dei suoi elementi ha ordine al massimo $2$, mentre per essere ciclico deve esistere un generatore, ossia un elemento di ordine $4$, l'ordine del gruppo. Questo puoi vederlo per verifica a mano (gli elementi sono $(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)$ ognuno di questi lo sommi a se stesso finchè non ottieni $(0,0)$ e vedi che per il primo l'ordine è 1, per gli altri 3 l'ordine è 2), oppure sapendo che l'ordine di un elemento del tipo $(a,b)$ è uguale al minimo comune multiplo degli ordini di $a$ e $b$. Dato che $a$ e $b$ stanno in $Z_2$, avranno ordine $1$ o $2$, e comunque tu scelga $a$ e $b$ il minimo comune multiplo di due numeri che sono al minimo 1 e al massimo 2 è 1 0 2, e mai 4. E' vero che $4=2*2$, ma questo ti dice solo che i due gruppi hanno lo stesso ordine, ma non per questo sono isomoforfi.
2) uguale
3) hai centrato la questione. In un gruppo ciclico, un omomorfismo è noto (ovvero è nota l'immagine di ogni elemento) una volta nota l'immagine del generatore. E infatti è come hai detto te. Prendiamo appunto $Z_n$, che è generato da $[1]_n$, che dopo chiamo $bar1$ per semplicità di notazione. Se fissi $f(bar1)$, allora conosci $f(bark)$ per ogni $barkin Z_n$. Infatti $f(bark)=f(1+1+...1)$ ($k$ volte), e questo perchè appunto $bar1$ è un generatore. Ma dato che $f$ è omomorfismo, $f(bar1+bar1+..bar1)=f(bar1)+f(bar1)+..f(bar1)$ k volte, e quindi è uguale a $kf(bar1)$. Quindi ti basta conoscere $f(bar1)$ per conoscere il modo in cui $f$ agisce su ogni altro elemento. E' per questo che in un gruppo ciclico si definisce un omorfismo definendo solo l'immagine del generatore.
4) Continui ad avere $7$ scelte per ognuno dei $5$ elementi del gruppo di partenza. Non è richiesto che la funzione sia iniettiva e/o suriettiva, solo che sia una funzione.
5) In generle gli omomorfismi fra $Z_n$ e $Z_m$ (come gruppi additivi) sono in numero di $(m,n)$, ovvero il massimo comun divisore fra $m$ e $n$. Infatti come si è detto sopra basta conoscere l'immagine del generatore per conscere tutto l'omomorfismo. L'immagine di un generatore deve sottostare a due condizioni: il suo ordine deve dividere l'ordine dell'elemento di partenza, ossia $n$ ( $[1]_n$ ha ordine n), e questo perchè si parla di omomorfismi e per ogni omomorfismo l'ordine dell'immagine di un elemento dividie l'ordine dell'elemento. Inoltre $f([1]_n)$ è un elemento di $Z_m$, e dunque il suo ordine dovrà dividere $m$. Allora l'ordine di $f([1]_n)$ deve dividere $(m,n)$. Ma quanti sono gli elementi di $Z_m$ il cuo ordine divide $d$, con $d$ generico divisore di $m$? Sono (si dimostra) tutti e soli gli elementi del sottgruppo generato da $[m/d]_m$, che consta appunto di $d$ elementi. Quindi gli elementi il cui ordine divide $d$ sono proprio $d$.
6) Si parla di ordine moltiplicativo giusto? Per esempio, per $2$, fai così:
$2=2$
$2^2=4$
$2^3=8$
$2^4=16=1$, quindi l'ordine moltiplicativo di $2$ è $4$.
Ok?

[John_Nash11]

Ok. Grazie ancora a rubik e a tommy! Con una lettura veloce mi sembra di aver capito meglio alcune cose. Più tardi mi metto seriamente a rispondere ad entrambi e se ho altre questioni le pongo di seguito. Intanto grazie 1000 davvero.. ce ne vuole di pazienza per rispondere a tutte queste cose.. grazie!!

P.S. @tommy: mah guarda, di gruppi si è parlato tanto è vero che appunto questi esercizi ce li ha consigliati il nostro prof da fare a casa e nell'ultimo compitino c'era roba simile.. quindi ora non sò cosa intendi tu per gruppi, cioè a che livelli, ma quello che vedi qua è tutta roba che stiamo facendo in questi giorni in classe (di cui tra l'altro nessuno sta capendo niente.. non è che siano lezioni chiarissime).
Invece una cosa che ancora non abbiamo fatto e che l'anno scorso Dvornicich aveva già fatto è calcolo combinatorio, ancora non s'è fatto niente... mah.. Vabbè... Poco male.. tanto ci son già ste cose ad occuparci le giornate...

[rubik2]

"alvinlee88":
6) Si parla di ordine moltiplicativo giusto? Per esempio, per $2$, fai così:
$2=2$
$2^2=4$
$2^3=8$
$2^4=16=1$, quindi l'ordine moltiplicativo di $2$ è $4$.
Ok?

$ZZ_15$ è un gruppo solo rispetto all'addizione e non alla moltiplicazione quindi credo si parli di ordine additivo

[John_Nash11]

"rubik":[quote="alvinlee88"]
6) Si parla di ordine moltiplicativo giusto? Per esempio, per $2$, fai così:
$2=2$
$2^2=4$
$2^3=8$
$2^4=16=1$, quindi l'ordine moltiplicativo di $2$ è $4$.
Ok?

$ZZ_15$ è un gruppo solo rispetto all'addizione e non alla moltiplicazione quindi credo si parli di ordine additivo[/quote]
per quale motivo è un gruppo solo rispetto all'addizione??

[alvinlee881]

"rubik":
$ZZ_15$ è un gruppo solo rispetto all'addizione e non alla moltiplicazione quindi credo si parli di ordine additivo

John Nash aveva scritto
"Trovare l'ordine $o(*)$ degli elementi di $Z_15$." Quindi ho capito si trattasse di oridne moltiplicativo (per via del puntino) e dato che io non uso la notazione $Z_15$ per indicare il gruppo additivo $Z//15Z$ (l'ho usata per la prima volta in questo topic), ho pensato che fosse un modo abbreviato per indicare il gruppo
$(Z//15Z)^(star)$ (il puntino sarebbe una star, ovvero è il gruppo i cui elementi sono le classi invertibili modulo $15$).
Per rispondere a john, $(Z//15Z,*)$ non è un gruppo perchè l'inverso è ammesso solo per gli elementi coprimi con $15$. Per esempio non esiste nessuna classe $k$ tale che $[5]k=1 (mod 15)$.