Alcune dimostrazioni su insiemi
Ciao 
Vorrei porvi alcune domande riguardo alcune dimostrazioni che sto cercando di capire.
Parto con una prima domanda sulla dimostrazione della cardinalità del prodotto cartesiano.
La dimostrazione procede dando sottointese alcune cose, ad esempio: $I_(a+1)xxI_b=(I_axI_b)∪({a+1}xxI_b)$[nota]$I_n={1,2,...,n}}$[/nota]
Mi chiedevo se fosse giustificabile così: essendo $(I_a∪{a+1})xxI_b$ pensavo di sfruttare la definizione di unione e prodotto cartesiano: $(x in I_a x or x in I_b)∧ y in I_b$ e per distributività $(x in I_a ∧ y in I_b) or ((x in {a+1} ∧ y in I_b))$ cioè da definizione $(x in I_a xx y in I_b) ∪ ((x in {a+1} xx y in I_b))$
E' un ragionamento valido secondo voi? grazie. però non capisco come far a dire che è una unione disgiunta, cioè lo vedo ma non capisco come DIMOSTRARLO davvero, lo vedo solo intuitivamente.
Per non rendere troppo pesante il primo post di apertura, lascio le seguenti domande per i seguenti..
Vorrei porvi alcune domande riguardo alcune dimostrazioni che sto cercando di capire.
Parto con una prima domanda sulla dimostrazione della cardinalità del prodotto cartesiano.
La dimostrazione procede dando sottointese alcune cose, ad esempio: $I_(a+1)xxI_b=(I_axI_b)∪({a+1}xxI_b)$[nota]$I_n={1,2,...,n}}$[/nota]
Mi chiedevo se fosse giustificabile così: essendo $(I_a∪{a+1})xxI_b$ pensavo di sfruttare la definizione di unione e prodotto cartesiano: $(x in I_a x or x in I_b)∧ y in I_b$ e per distributività $(x in I_a ∧ y in I_b) or ((x in {a+1} ∧ y in I_b))$ cioè da definizione $(x in I_a xx y in I_b) ∪ ((x in {a+1} xx y in I_b))$
E' un ragionamento valido secondo voi? grazie. però non capisco come far a dire che è una unione disgiunta, cioè lo vedo ma non capisco come DIMOSTRARLO davvero, lo vedo solo intuitivamente.
Per non rendere troppo pesante il primo post di apertura, lascio le seguenti domande per i seguenti..
Risposte
"rackinblu":
La dimostrazione procede dando sottointese alcune cose, ad esempio: $I_(a+1)xxI_b=(I_axxI_b)xx({a+1}xxI_b)$
Non mi torna.
Se prendo \(a = 1\) e \(b = 2\), ho
\[I_{a+1} \times I_{b} = I_{2} \times I_{2} = \{ (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) \}\]
mentre
\[\begin{align*}&(I_{a} \times I_{b}) \times (\{a+1\} \times I_{b}) =\\ &=(I_{1} \times I_{2}) \times (\{2\} \times I_{2})=\\ &= \{(1,1),(1,2)\} \times \{(2,1),(2,2)\}=\\ &= \{((1,1),(2,1)),((1,1),(2,2)),((1,2),(2,1)),((1,2),(2,2))\}\end{align*}\]
E' ovviamente un errore di scrittura con le formule del sito che mi hanno incasinato XD, scusatemi.
Se noti infatti ho dimostrato l'unione in ultima riga (che era la vera tesi) ho corretto!
Resta ora la domanda invariata con la correzione
Se noti infatti ho dimostrato l'unione in ultima riga (che era la vera tesi) ho corretto!
Resta ora la domanda invariata con la correzione
--
La cosa si giustifica osservando che \(I_{a+1} = I_{a} \cup \{a+1\}\), sicché \(I_{a+1} \times I_{b} = (I_{a} \cup \{a+1\}) \times I_{b}\) e a questo punto basta applicare la proprietà distributiva a destra del prodotto cartesiano sull'unione. Quindi quello che devi fare è provare le due distributività (a destra e a sinistra) del prodotto cartesiano rispetto all'unione.
Dati tre insiemi \(S, T, V\) vale: \[\begin{align}S \times (T \cup V) = (S \times T) \cup (S \times V)\\ (S \cup T) \times V = (S \times V) \cup (T \times V)\end{align}\]Quello che hai scritto purtroppo significa ben poco.
Però non capisco l'errore perché in realtà è ciò che volevo fare, ossai sfruttare la definizione di prodotto cartesiano che è $XxxY:={(a,b)|a in X e b in B}$
Usando la tua notazione (S∪T)×V avrei scritto (parafrasando dal mio messaggio iniziale, tralasciando una ovvia svista finale che ora nel seguito di questo messaggio correggo)
$(S∪T)xxV$ pensavo di sfruttare la definizione di unione e prodotto cartesiano: $(x in S or x in T)∧ y in V$ e per distributività $(x in S ∧ y in V) or (x in T ∧ y in V)$ cioè da definizione "inversa" di prodotto cartesiano $(S xx V) ∪ (T xx V)$
Non credo di aver capito l'errore, mi aiuteresti per favore
grazie di nuovo!
Usando la tua notazione (S∪T)×V avrei scritto (parafrasando dal mio messaggio iniziale, tralasciando una ovvia svista finale che ora nel seguito di questo messaggio correggo)
$(S∪T)xxV$ pensavo di sfruttare la definizione di unione e prodotto cartesiano: $(x in S or x in T)∧ y in V$ e per distributività $(x in S ∧ y in V) or (x in T ∧ y in V)$ cioè da definizione "inversa" di prodotto cartesiano $(S xx V) ∪ (T xx V)$
Non credo di aver capito l'errore, mi aiuteresti per favore
grazie di nuovo!
Dovendo dimostrare che due insiemi sono uguali, usualmente si procede col dimostrare che il primo è un sottoinsieme del secondo e che il secondo è un sottoinsime del primo. Questo significa che, volendo dimostrare che vale l'uguaglianza \[(S \cup T) \times V = (S \times V) \cup (T \times V)\] si devono dimostrare le due inclusioni \[(S \cup T) \times V \subseteq (S \times V) \cup (T \times V)\\(S \times V) \cup (T \times V) \subseteq (S \cup T) \times V\] Ora: dato che un insieme \(A\) è sottoinsieme di un insieme \(B\) se e soltanto se \(\forall x, x \in A \rightarrow x \in B\), volendo dimostrare per esempio la prima inclusione, si deve prendere un generico elemento di \((S \cup T) \times V\) e si deve mostrare che è un elemento di \((S \times V) \cup (T \times V)\). Quindi per prima cosa bisogna partire da \((x,y) \in (S \cup T) \times V\). Tu invece sei partito direttamente dall'appartenenza delle coordinate. Inoltre non si capisce perché parli di "unione disgiunta" nel tuo primo intervento.
Ok allora provo con la doppia inclusione ora.
Tuttavia:
1) non capisco comunque se il mio sia errato, insomma, sto solo usando le definizioni di base di unione e prodotto cartesiano, mi sembra una dimostrazione e non afferro dove sia non corretta.
Tutti i miei passaggi (dato che sono tutte definizioni sono <=>) e quindi sono legati da un se e solo se. Dimostro così la biimplicazione.
Devo assolutamente capire dove sbaglio, perché se non capisco l'errore sarò sempre portato a farlo siccome lo vedo corretto.
2) Diciamo che quella è una domanda a parte, siccome il prof dice "essendo una unione disgiunta" e poi prosegue e vorrei capire perché è disgiunta. Intuitivamente è vero ma formalmente come faccio?
Tuttavia:
1) non capisco comunque se il mio sia errato, insomma, sto solo usando le definizioni di base di unione e prodotto cartesiano, mi sembra una dimostrazione e non afferro dove sia non corretta.
Tutti i miei passaggi (dato che sono tutte definizioni sono <=>) e quindi sono legati da un se e solo se. Dimostro così la biimplicazione.
Devo assolutamente capire dove sbaglio, perché se non capisco l'errore sarò sempre portato a farlo siccome lo vedo corretto.
2) Diciamo che quella è una domanda a parte, siccome il prof dice "essendo una unione disgiunta" e poi prosegue e vorrei capire perché è disgiunta. Intuitivamente è vero ma formalmente come faccio?
\[
\begin{gather*}
(x,y) \in (S \cup T) \times V \tag{1}\\ \leftrightarrow \notag\\
x \in S \cup T \land y \in V \tag{2}\\
\leftrightarrow \notag\\
(x \in S \lor x \in T) \land y \in V \tag{3}\\
\leftrightarrow \notag\\
(x \in S \land y \in V) \lor (x \in T \land y \in V) \tag{4}\\
\leftrightarrow \notag\\
(x,y) \in S \times V \lor (x,y) \in T \times V \tag{5}\\
\leftrightarrow \notag \\
(x,y) \in (S \times V) \cup (T \times V) \tag{6}
\end{gather*}
\]
Leggendo le frecce \(\rightarrow\):
[list=1]
[*:3gs489iv] Ipotesi[/*:m:3gs489iv]
[*:3gs489iv] Definizione di prodotto cartesiano.[/*:m:3gs489iv]
[*:3gs489iv] Definizione di unione.[/*:m:3gs489iv]
[*:3gs489iv] Proprietà distributiva di \(\land\) su \(\lor\).[/*:m:3gs489iv]
[*:3gs489iv] Definizione di prodotto cartesiano.[/*:m:3gs489iv]
[*:3gs489iv] Definizione di unione. Tesi.[/*:m:3gs489iv][/list:o:3gs489iv]
Leggendo le frecce \(\leftarrow\), abbiamo che \((6)\) diventa l'ipotesi, \((1)\) diventa la tesi.
Nel tuo primo intervento ti sei limitato ai passaggi \((3)\) e \((4)\). Nel tuo ultimo intervento ti sei perso l'appartenenza della coppia \((x,y)\) a \((S \cup T) \times V\) all'inizio e poi a \((S \times V) \cup (T \times V)\) alla fine.
A quale unione fa riferimento il tuo professore quando parla di "unione disgiunta"? A \((I_{a} \times I_{b}) \cup (\{a+1\} \times I_{b})\)? Quale definizione hai di "unione disgiunta"?
\begin{gather*}
(x,y) \in (S \cup T) \times V \tag{1}\\ \leftrightarrow \notag\\
x \in S \cup T \land y \in V \tag{2}\\
\leftrightarrow \notag\\
(x \in S \lor x \in T) \land y \in V \tag{3}\\
\leftrightarrow \notag\\
(x \in S \land y \in V) \lor (x \in T \land y \in V) \tag{4}\\
\leftrightarrow \notag\\
(x,y) \in S \times V \lor (x,y) \in T \times V \tag{5}\\
\leftrightarrow \notag \\
(x,y) \in (S \times V) \cup (T \times V) \tag{6}
\end{gather*}
\]
Leggendo le frecce \(\rightarrow\):
[list=1]
[*:3gs489iv] Ipotesi[/*:m:3gs489iv]
[*:3gs489iv] Definizione di prodotto cartesiano.[/*:m:3gs489iv]
[*:3gs489iv] Definizione di unione.[/*:m:3gs489iv]
[*:3gs489iv] Proprietà distributiva di \(\land\) su \(\lor\).[/*:m:3gs489iv]
[*:3gs489iv] Definizione di prodotto cartesiano.[/*:m:3gs489iv]
[*:3gs489iv] Definizione di unione. Tesi.[/*:m:3gs489iv][/list:o:3gs489iv]
Leggendo le frecce \(\leftarrow\), abbiamo che \((6)\) diventa l'ipotesi, \((1)\) diventa la tesi.
Nel tuo primo intervento ti sei limitato ai passaggi \((3)\) e \((4)\). Nel tuo ultimo intervento ti sei perso l'appartenenza della coppia \((x,y)\) a \((S \cup T) \times V\) all'inizio e poi a \((S \times V) \cup (T \times V)\) alla fine.
A quale unione fa riferimento il tuo professore quando parla di "unione disgiunta"? A \((I_{a} \times I_{b}) \cup (\{a+1\} \times I_{b})\)? Quale definizione hai di "unione disgiunta"?
Ora ho aferrato, avevo in mente questo ma l'ho scritto veramente da asino e veniva uno schifo. grazie
Per la seconda so che è disgiunta se presi due alla volta gli insiemi dannoper intersezione l'insieme vuoto.
Per la seconda so che è disgiunta se presi due alla volta gli insiemi dannoper intersezione l'insieme vuoto.
Due insiemi \(S\) e \(T\) tali che \(S \cup T = \varnothing\) si dicono disgiunti: i due insiemi sono disgiunti.
L'unione disgiunta di due insiemi \(S\) e \(T\) è di solito definita come \(S \sqcup T := (S \times \{1\}) \cup (T \times \{2\})\).
Alcuni identificano impropriamente \(S \sqcup T\) con \(S \cup T\) quando \(S \cap T = \varnothing\).
Infine alcuni chiamano impropriamente "unione disgiunta" la differenza simmetrica di \(S\) e \(T\), definita come \(S \Delta T = (S \cup T) \setminus (S \cap T)\), dove, se \(S \cap T = \varnothing\), risulta \(S \Delta T = S \cup T\).
Tu parli di insiemi che, presi a due a due, hanno intersezione vuota: di solito questa proprietà si usa per definire il concetto di partizione di un insieme, dove una partizione di un insieme \(S\) è un insieme di sottoinsiemi di \(S\) tali che questi siano tutti non vuoti, la loro unione restituisca l'insieme \(S\) e, per l'appunto, presi a due a due la loro intersezione sia vuota.
L'unione disgiunta di due insiemi \(S\) e \(T\) è di solito definita come \(S \sqcup T := (S \times \{1\}) \cup (T \times \{2\})\).
Alcuni identificano impropriamente \(S \sqcup T\) con \(S \cup T\) quando \(S \cap T = \varnothing\).
Infine alcuni chiamano impropriamente "unione disgiunta" la differenza simmetrica di \(S\) e \(T\), definita come \(S \Delta T = (S \cup T) \setminus (S \cap T)\), dove, se \(S \cap T = \varnothing\), risulta \(S \Delta T = S \cup T\).
Tu parli di insiemi che, presi a due a due, hanno intersezione vuota: di solito questa proprietà si usa per definire il concetto di partizione di un insieme, dove una partizione di un insieme \(S\) è un insieme di sottoinsiemi di \(S\) tali che questi siano tutti non vuoti, la loro unione restituisca l'insieme \(S\) e, per l'appunto, presi a due a due la loro intersezione sia vuota.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo