Aiutooooo
Se ho un gruppo G tale che G/Z(G) (ovvero sia G fratto il suo centro) è nilpotente
posso affermare subito che G è nilpotente?(Perche io mi ricordo che la classe dei gruppi nilpotenti non è chiusa per estenzioni questo in generale forse questo è un caso particolare).
Ti do un po di definizioni
Ricordo che G è nilpotente se è dotato di una serie centrale finita contenente i sottogruppi banali cioe il sottogruppo identico e tuttoG
Una serie di G si dice centrale quando ogni fattore della serie è centrale ovvero quando H/K è contenuto nel centro
posso affermare subito che G è nilpotente?(Perche io mi ricordo che la classe dei gruppi nilpotenti non è chiusa per estenzioni questo in generale forse questo è un caso particolare).
Ti do un po di definizioni
Ricordo che G è nilpotente se è dotato di una serie centrale finita contenente i sottogruppi banali cioe il sottogruppo identico e tuttoG
Una serie di G si dice centrale quando ogni fattore della serie è centrale ovvero quando H/K è contenuto nel centro
Risposte
ma perchè non ti fidi? ti ho già detto che è un teorema noto!
dim.
sia $\Gamma_i$ una serie centrale per il quoziente $G/Z$, ricordo che $\Gamma_{i+1}(G/Z)=(\Gamma_iZ)/Z$.
Per ipotesi esiste $n$ tale che $\Gamma_{n+1}(G/Z)=Z$, quindi $\Gamma_nZ=Z$ e quindi $\Gamma_n\subset Z$ e dunque $\Gamma_{n+1}={1}$
dim.
sia $\Gamma_i$ una serie centrale per il quoziente $G/Z$, ricordo che $\Gamma_{i+1}(G/Z)=(\Gamma_iZ)/Z$.
Per ipotesi esiste $n$ tale che $\Gamma_{n+1}(G/Z)=Z$, quindi $\Gamma_nZ=Z$ e quindi $\Gamma_n\subset Z$ e dunque $\Gamma_{n+1}={1}$
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