Aiuto su traduzione (...della dimostrazione di un teorema riguardante curve ellittiche)

[P40L01]

Salve ragazzi!
Come tradurreste l'enunciato e la dimostrazione del seguente teorema?

Let E be an elliptic curve defined by $y^2=x^3+Ax+B$ over su $\mathbb{F}_q$. Then $#E(\mathbb{F}_q)=q+1+\sum _{x\in \mathbb{F}_q}(\frac{x^3+Ax+B}{\mathbb{F}_q})$

Proof. For a given $x_0$, there are two points $(x,y)$ with $x$-coordinate $x_0$ se $x_0^3+Ax_0+B$ is a nonzero square in $\mathbb{F}_q$, one such point if it is zero, and no points if it is not square. Therefore, the number of points with $x$-coordinate $x_0$ equals $1+(\frac{x_0^3+Ax_0+B}{\mathbb{F}_q})$. Summing over all $x_0\in \mathbb{F}_q$, and including $1$ for the point $\infty$, yields $#E(\mathbb{F}_q)=1+\sum_{x\in\mathbb{F}_q}(1+(\frac{x^3+Ax+B}{\mathbb{F}_q}))$.

La mia traduzione, che riporto, non mi garba molto...

Sia $E$ una curva ellittica definita dall'equazione $y^2=x^3+Ax+B$ su $\mathbb{F}_q$, allora $#E(\mathbb{F}_q)=q+1+\sum _{x\in \mathbb{F}_q}(\frac{x^3+Ax+B}{\mathbb{F}_q})$

Dimostrazione. Per $x_0\in\mathbb{F}_q$, esistono due punti con ascissa $x_0$ se $x_0^3+Ax_0+B$ è un quadrato diverso da zero in $\mathbb{F}_q$. Nel caso in cui $x_0^3+Ax_0+B$ è un quadrato nullo si ha un solo punto, non si ha invece alcun punto se $x_0^3+Ax_0+B$ non è un quadrato. Perciò, il numero di punti con ascissa $x_0$ eguaglia $1+(\frac{x_0^3+Ax_0+B}{\mathbb{F}_q})$. Sommando tutti gli $x_0\in\mathbb{F}_q$, e considerando il punto all'infinito (e perciò sommando $1$) si ottiene $#E(\mathbb{F}_q)=1+\sum_{x\in\mathbb{F}_q}(1+(\frac{x^3+Ax+B}{\mathbb{F}_q}))$

Si accettano traduzioni migliori della mia

[5mrkv]

Non pretendo che la mia sia migliore ma hai detto che la tua non ti piace quindi te ne offro una un pochettino diversa:

Sia E la curva ellittica definita da ... Fissato \(x_{0}\in F_{q}\), esistono due punti \((x,y)\) con prima coordinata \(x_{0}\) ... uno se il quadrato è nullo e nessun punto se non è un quadrato. Segue che il numero di punti con prima coordinata \(x_{0}\) è uguale a ... Eseguendo la sommatoria su tutti i punti \(x_{0}\in F_{q}\) ed includendo \(1\) per il punto \(\infty\) si ricava ...

[P40L01]

Grazie... Sicuramente mi è d'aiuto confrontare la mia traduzione con quella di un altro utente