Aiuto su permutazioni
Ciao a tutti!
sto studiando il gruppo simmetrico, ma non riesco a chiarirmi le idee sui cicli disgiunti.
Allora, data la successione $(1, 2, 3, 4,... n)$ un ciclo dovrebbe essere una permutazione che, scelto un insieme di indici $(i_1,...,i_k)$ trasforma l'elemento $i_1$ nell'elemento $i_2$, $i_2$ in $i_3$ fino a trasformare $i_k$ in $i_1$. esempio: $(1, 2, 3, 4, 5)->(3, 2, 5, 4, 1)$ è il ciclo di lunghezza 3 che agisce su $i_1, i_3, i_5$. Giusto fin qui?
Due cicli sono disgiunti se i sottoinsiemi che coinvolgono non hanno elementi in comune..
Ora, da qualunque permutazione si dovrebbe poter ottenere la permutazione identica attraverso il prodotto di cicli disgiunti..
e già in un caso come questo non riesco a trovarla (almeno, i cicli non mi sembrano disgiunti):
$(1, 2, 3, 4)->(3, 1, 4, 2)$
Dove sbaglio, o cosa non ho capito??
Grazie a tutti..
sto studiando il gruppo simmetrico, ma non riesco a chiarirmi le idee sui cicli disgiunti.
Allora, data la successione $(1, 2, 3, 4,... n)$ un ciclo dovrebbe essere una permutazione che, scelto un insieme di indici $(i_1,...,i_k)$ trasforma l'elemento $i_1$ nell'elemento $i_2$, $i_2$ in $i_3$ fino a trasformare $i_k$ in $i_1$. esempio: $(1, 2, 3, 4, 5)->(3, 2, 5, 4, 1)$ è il ciclo di lunghezza 3 che agisce su $i_1, i_3, i_5$. Giusto fin qui?
Due cicli sono disgiunti se i sottoinsiemi che coinvolgono non hanno elementi in comune..
Ora, da qualunque permutazione si dovrebbe poter ottenere la permutazione identica attraverso il prodotto di cicli disgiunti..
e già in un caso come questo non riesco a trovarla (almeno, i cicli non mi sembrano disgiunti):
$(1, 2, 3, 4)->(3, 1, 4, 2)$
Dove sbaglio, o cosa non ho capito??
Grazie a tutti..
Risposte
Ciao 
La permutazione che hai scritto è già di per sé un ciclo: la puoi scrivere come $(1\ 3\ 4\ 2)$ (questa notazione significa: "1 va in 3, 3 va in 4, 4 va in 2, 2 va in 1").
La permutazione che hai scritto è già di per sé un ciclo: la puoi scrivere come $(1\ 3\ 4\ 2)$ (questa notazione significa: "1 va in 3, 3 va in 4, 4 va in 2, 2 va in 1").
ok, ti ringrazio tantissimo, è già un bel passo in avanti.
Sai anche dirmi se esiste un modo, in generale, per riordinare l'espressione in maniera tale da vedere se la nostra permutazione sia o meno un ciclo?
Sai anche dirmi se esiste un modo, in generale, per riordinare l'espressione in maniera tale da vedere se la nostra permutazione sia o meno un ciclo?
Beh, parti da un numero e prosegui finché non torni a quello stesso numero. Se in tale momento hai toccato tutti i numeri allora la permutazione è un ciclo.
Mi spiego con un esempio: prendiamo la permutazione (chiamiamola $sigma$)
123456789
947182536
(ovvero $1 to 9$, $2 to 4$ ecc.). Per vedere se è un ciclo seguiamo il percorso di (per esempio) 1:
$1 to 9 to 6 to 2 to 4 to 1$
Siamo tornati a 1 prima di toccare tutte le cifre, quindi $sigma$ non è un ciclo. D'altra parte quello che abbiamo trovato è un ciclo della decomposizione di $sigma$. Per trovarne un altro scegliamo un numero non toccato dal ciclo trovato, per esempio 3, e seguiamo il suo percorso:
$3 to 7 to 5 to 8 to 3$
Coi due cicli trovati abbiamo toccato tutte le cifre. Ne segue che possiamo scrivere la nostra permutazione come il prodotto di tali due cicli:
$sigma = (1\ 9\ 6\ 2\ 4)(3\ 7\ 5\ 8)$
E questa è la decomposizione di $sigma$ in cicli disgiunti.
Invece se hai
123456789
719638452
e provi a seguire il percorso per esempio di 7, trovi
$7 to 4 to 6 to 8 to 5 to 3 to 9 to 2 to 1 to 7$
Sei tornato al numero di partenza avendo toccato tutti i numeri. Quindi quest'altra permutazione è un ciclo, e la puoi scrivere così:
$(7\ 4\ 6\ 8\ 5\ 3\ 9\ 2\ 1)$
Naturalmente tale è anche la sua decomposizione in cicli disgiunti.
Nel caso in cui un numero sia mandato in se stesso, non lo si considera un ciclo. Per dire, la permutazione
123456
324165
si scrive semplicemente $(1\ 3\ 4)(5\ 6)$ (e non $(1\ 3\ 4)(2)(5\ 6)$).
Ricorda inoltre che cicli disgiunti commutano. Quindi non importa l'ordine con cui li moltiplichi.
Mi spiego con un esempio: prendiamo la permutazione (chiamiamola $sigma$)
123456789
947182536
(ovvero $1 to 9$, $2 to 4$ ecc.). Per vedere se è un ciclo seguiamo il percorso di (per esempio) 1:
$1 to 9 to 6 to 2 to 4 to 1$
Siamo tornati a 1 prima di toccare tutte le cifre, quindi $sigma$ non è un ciclo. D'altra parte quello che abbiamo trovato è un ciclo della decomposizione di $sigma$. Per trovarne un altro scegliamo un numero non toccato dal ciclo trovato, per esempio 3, e seguiamo il suo percorso:
$3 to 7 to 5 to 8 to 3$
Coi due cicli trovati abbiamo toccato tutte le cifre. Ne segue che possiamo scrivere la nostra permutazione come il prodotto di tali due cicli:
$sigma = (1\ 9\ 6\ 2\ 4)(3\ 7\ 5\ 8)$
E questa è la decomposizione di $sigma$ in cicli disgiunti.
Invece se hai
123456789
719638452
e provi a seguire il percorso per esempio di 7, trovi
$7 to 4 to 6 to 8 to 5 to 3 to 9 to 2 to 1 to 7$
Sei tornato al numero di partenza avendo toccato tutti i numeri. Quindi quest'altra permutazione è un ciclo, e la puoi scrivere così:
$(7\ 4\ 6\ 8\ 5\ 3\ 9\ 2\ 1)$
Naturalmente tale è anche la sua decomposizione in cicli disgiunti.
Nel caso in cui un numero sia mandato in se stesso, non lo si considera un ciclo. Per dire, la permutazione
123456
324165
si scrive semplicemente $(1\ 3\ 4)(5\ 6)$ (e non $(1\ 3\ 4)(2)(5\ 6)$).
Ricorda inoltre che cicli disgiunti commutano. Quindi non importa l'ordine con cui li moltiplichi.
Grazie mille Martino!!
Ora devo dimostrare il teorema di scomposizione in cicli disgiunti (mi si chiede di farlo per induzione..), se troverò difficoltà tornerò a disturbarvi..
Ora devo dimostrare il teorema di scomposizione in cicli disgiunti (mi si chiede di farlo per induzione..), se troverò difficoltà tornerò a disturbarvi..
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