Aiuto su esercizio : funzione con insiemi

[artandrea]

Buongiorno, avrei bisogno di un aiuto sul seguente esercizio:
Sia A = {a,b,c} e sia f:P(A) -> P(A) la funzione definita dalla legge f(X) = A - X , per ogni X € P(A) (insieme delle parti di A).
Si deve dimostrare la iniettività e la suriettività. Non riesco a capire perchè sia suriettiva, il domino è P(A), ok, il codominio pure P(A) ma con l'operazione di sottrazione il codominio non risulta insieme vuoto? Inoltre gli elementi in corrispondenza biunivoca per me (in base alle nozioni teoriche che ho appreso) sono a,b,c.

Il risultato dell'esercizio è : f è sia iniettiva che suriettiva.
Grazie per l'aiuto

[Pappappero1]

Il tuo dominio è proprio $\mathcal{P}(A)$, quindi $a,b,c$ non sono suoi elementi. Infatti $\mathcal{P}(A)$ ha $8$ elementi, corrispondenti agli $8$ sottoinsiemi di $A$. La tua funzione è semplicemente il passaggio al complementare, che manda, ad esempio, l'insieme vuoto in $A$, l'insieme $\{ a \}$, nell'insieme $\{ b,c\}$ e così via...

Nota a margine: Quando si ha a che fare con insiemi finiti, è sempre bene tenere a mente il principio del portalettere (che ha un sacco di altri nomi): se $X,Y$ sono entrambi finiti e con la stessa cardinalità, allora $f: X \to Y$ è iniettiva se e solo se è suriettiva.

[artandrea]

ok.. grazie!