Aiuto su dimostrazione teorema con variante princ induzione.
Ciao a tutti,
prima avevo dimenticato di scrivere un po' di cose nel procedimento, perciò, ho rivisto un po' meglio l'argomento, anche se con poco successo
, scusate, correggo e riformulo le domande.
Questo è un esercizio svolto ma non mi sono chiare alcune faccende e non riesco ad andare avanti con l'argomento.
Pongo le seguenti domande, riguardo al teorema più avanti, e spero possiate per favore darmi un aiuto:
domanda 1) Perchè nel primo caso non è possibile dedurre dalla verità di \(\displaystyle P\left(m\right) \) quella di \(\displaystyle P\left(m+1\right) \) , e invece, è possibile nel secondo caso? In entrambi i casi non si ha solamente che \(\displaystyle P\left(1\right),P\left(2\right) \) sono certamente vere?
domanda 2) Perchè nel primo caso si ha che \(\displaystyle u_{m-1}<\alpha^{m} \)e invece nel secondo caso \(\displaystyle u_{m-1}<\alpha^{m-1} \) ? Se consideriamo per esempio \(\displaystyle m=2 \) la seconda diseguaglianza non potrebbe essere valida anche nel primo caso?
domanda 3) Con quali calcoli si ottiene \(\displaystyle \frac{8}{7}\alpha^{m+1} \) ? (ma questa domanda è meno importante, perchè voglio capire il procedimento induttivo che si è seguito).
Considerando la sequenza di Fibonacci in cui
E sulla base della seguente variazione del principio di induzione:
Si consideri il seguente teorema:
Consideriamo \(\displaystyle P\left(n\right):\, u_{n}<\left(\frac{7}{4}\right)^{n} \) , e per brevità poniamo \(\displaystyle \alpha=\frac{7}{4} \).
Allora abbiamo che \(\displaystyle P\left(1\right) \) e \(\displaystyle P\left(2\right) \) sono proposizioni certamente vere: \(\displaystyle u_{1}<\alpha \) e \(\displaystyle u_{2}<\alpha^{2} \).
Ma dalla verità di \(\displaystyle P\left(m\right) \) non possiamo dedurre quella di \(\displaystyle P\left(m+1\right) \) in modo diretto dal momento che
da \(\displaystyle u_{m}<\alpha^{m} \) segue solamente che anche \(\displaystyle u_{m-1}<\alpha^{m} \) e quindi che
\(\displaystyle u_{m+1}=u_{m}+u_{m-1}<\alpha^{m}+\alpha^{m}=2\alpha^{m}=\frac{8}{7}\alpha^{m+1} \)
che non è la disuguaglianza di cui abbiamo bisogno.
D'altra parte se supponiamo che \(\displaystyle P\left(1\right),P\left(2\right),...,P\left(m\right) \) siano tutte vere, allora per \(\displaystyle m\geq2 \) abbiamo che:
\(\displaystyle u_{m+1}=u_{m}+u_{m-1}<\alpha^{m}+\alpha^{m-1}=\alpha^{m-1}\left(1+\alpha\right)<\alpha^{m-1}\cdot\alpha^{2}=\alpha^{m+1} \)
poichè \(\displaystyle 1+\alpha=\frac{11}{4}<3<\frac{49}{16}=\alpha^{2} \).
grazie mille.
prima avevo dimenticato di scrivere un po' di cose nel procedimento, perciò, ho rivisto un po' meglio l'argomento, anche se con poco successo
, scusate, correggo e riformulo le domande.Questo è un esercizio svolto ma non mi sono chiare alcune faccende e non riesco ad andare avanti con l'argomento.
Pongo le seguenti domande, riguardo al teorema più avanti, e spero possiate per favore darmi un aiuto:
domanda 1) Perchè nel primo caso non è possibile dedurre dalla verità di \(\displaystyle P\left(m\right) \) quella di \(\displaystyle P\left(m+1\right) \) , e invece, è possibile nel secondo caso? In entrambi i casi non si ha solamente che \(\displaystyle P\left(1\right),P\left(2\right) \) sono certamente vere?
domanda 2) Perchè nel primo caso si ha che \(\displaystyle u_{m-1}<\alpha^{m} \)e invece nel secondo caso \(\displaystyle u_{m-1}<\alpha^{m-1} \) ? Se consideriamo per esempio \(\displaystyle m=2 \) la seconda diseguaglianza non potrebbe essere valida anche nel primo caso?
domanda 3) Con quali calcoli si ottiene \(\displaystyle \frac{8}{7}\alpha^{m+1} \) ? (ma questa domanda è meno importante, perchè voglio capire il procedimento induttivo che si è seguito).
Considerando la sequenza di Fibonacci in cui
ogni elemento dopo il secondo è la somma dei due numeri che immediatamente lo precedono,
denotiamo con \(\displaystyle u_{n} \) l'elemento n-esimo di questa sequenza. La sequenza viene definita con le condizioni:
\(\displaystyle u_{1}=1 , \)
\(\displaystyle u_{2}=1 , \)
\(\displaystyle u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2},\, n\geq3. \)
E sulla base della seguente variazione del principio di induzione:
Se \(\displaystyle P\left(1\right) \) è vera,
e se \(\displaystyle P\left(m+1\right) \) è vera per ogni \(\displaystyle m\geq1 \) per cui tutte le \(\displaystyle P\left(1\right),P\left(2\right),...,P\left(m\right) \) sono vere,
allora \(\displaystyle P\left(n\right) \) è vera per ogni \(\displaystyle n\geq1 \) .
Si consideri il seguente teorema:
Per ogni intero positivo \(\displaystyle n \) , \(\displaystyle u_{n}<\left(\frac{7}{4}\right){}^{^{n}} \) .
Consideriamo \(\displaystyle P\left(n\right):\, u_{n}<\left(\frac{7}{4}\right)^{n} \) , e per brevità poniamo \(\displaystyle \alpha=\frac{7}{4} \).
Allora abbiamo che \(\displaystyle P\left(1\right) \) e \(\displaystyle P\left(2\right) \) sono proposizioni certamente vere: \(\displaystyle u_{1}<\alpha \) e \(\displaystyle u_{2}<\alpha^{2} \).
Ma dalla verità di \(\displaystyle P\left(m\right) \) non possiamo dedurre quella di \(\displaystyle P\left(m+1\right) \) in modo diretto dal momento che
da \(\displaystyle u_{m}<\alpha^{m} \) segue solamente che anche \(\displaystyle u_{m-1}<\alpha^{m} \) e quindi che
\(\displaystyle u_{m+1}=u_{m}+u_{m-1}<\alpha^{m}+\alpha^{m}=2\alpha^{m}=\frac{8}{7}\alpha^{m+1} \)
che non è la disuguaglianza di cui abbiamo bisogno.
D'altra parte se supponiamo che \(\displaystyle P\left(1\right),P\left(2\right),...,P\left(m\right) \) siano tutte vere, allora per \(\displaystyle m\geq2 \) abbiamo che:
\(\displaystyle u_{m+1}=u_{m}+u_{m-1}<\alpha^{m}+\alpha^{m-1}=\alpha^{m-1}\left(1+\alpha\right)<\alpha^{m-1}\cdot\alpha^{2}=\alpha^{m+1} \)
poichè \(\displaystyle 1+\alpha=\frac{11}{4}<3<\frac{49}{16}=\alpha^{2} \).
grazie mille.
Risposte
scusate, per chiarezza mi permetto di precisare che ho modificato il post di prima, aggiungengo e modificando alcune cose che prima ho dimenticato di scrivere.
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