Aiuto Relazioni di equivalenza e classi di equivalenza!
Ciao ragazzi sono nuovo nel forum e ovviamente in preda a crisi di panico dovute al mio primo mese di università! Sono alle prese con Matematica Discreta e fino ad ora sono riuscito a capire la teoria ma quando si tratta di esercizi mi blocco spesso in particolare quando sono diversi dagli esercizi guida che la prof ha svolto in aula.
L'esercizio è questo:
Sia X = Z; si consideri in X la relazione R definita ponendo
per ogni a, b ∈ X
(a, b) ∈ R ⇔ 3|(2a + b).
Si dimostri che R `e una relazione di equivalenza. Si determinino
le classi di equivalenza di 1, 0, −5.
Per dimostrare che sia una relazione di equivalenza devo ovviamente dimostrare che sia riflessiva, simmetrica e transitiva.
Riflessiva: 3|(2a + a) $=>$ 3|(3a) dunque R è riflessiva in quanto 3a è sicuramente un multiplo di 3.
Transitiva: 3|(2a + b) $^^$ 3|(2b + c) $=>$ 3|(2a + b)+(2b+c) . Adesso sapendo 3|3b e' una cosa vera posso sottrarlo alla somma e ottengo 3|2a + b+2b+c-3b e quindi semplificando la b ottengo 3|(2a + c).
Fin qui credo di aver fatto giusto in quanto e' la modalita' usata dalla prof. il problema e' che non riesco a dimostrare che sia simmetrica, ovvero arrivare a 3|(2b + a). Sono sicuro sia una stupidata che ora non mi viene in mente.
per quanto riguarda le classi di equivalenza ho fatto cosi:
[0] = 3|b dunque ottengo l'insieme di tutte le b che sono multiplo di 3. Giusto?
[-5] = 3|2(-5) +b e dunque -10+b = 3h e quindi b= 3h+10. Con h appartenente ai numeri Z.
[1]= 3|2+b e quindi 2+b = 3h e quindi b=3h-2. Con h appartenente ai numeri Z.
Chiedo dunque come dimostrare simmetria e se le classi di equivalenza sono giuste (e ovviamente altri errori di cui non mi sono accorto).
Grazie mille in anticipo a chi mi risponderà sono disperato i miei colleghi non mi sono di aiuto in quanto veniamo tutti da istituti tecnici dove la matematica non si fa molto bene.
L'esercizio è questo:
Sia X = Z; si consideri in X la relazione R definita ponendo
per ogni a, b ∈ X
(a, b) ∈ R ⇔ 3|(2a + b).
Si dimostri che R `e una relazione di equivalenza. Si determinino
le classi di equivalenza di 1, 0, −5.
Per dimostrare che sia una relazione di equivalenza devo ovviamente dimostrare che sia riflessiva, simmetrica e transitiva.
Riflessiva: 3|(2a + a) $=>$ 3|(3a) dunque R è riflessiva in quanto 3a è sicuramente un multiplo di 3.
Transitiva: 3|(2a + b) $^^$ 3|(2b + c) $=>$ 3|(2a + b)+(2b+c) . Adesso sapendo 3|3b e' una cosa vera posso sottrarlo alla somma e ottengo 3|2a + b+2b+c-3b e quindi semplificando la b ottengo 3|(2a + c).
Fin qui credo di aver fatto giusto in quanto e' la modalita' usata dalla prof. il problema e' che non riesco a dimostrare che sia simmetrica, ovvero arrivare a 3|(2b + a). Sono sicuro sia una stupidata che ora non mi viene in mente.
per quanto riguarda le classi di equivalenza ho fatto cosi:
[0] = 3|b dunque ottengo l'insieme di tutte le b che sono multiplo di 3. Giusto?
[-5] = 3|2(-5) +b e dunque -10+b = 3h e quindi b= 3h+10. Con h appartenente ai numeri Z.
[1]= 3|2+b e quindi 2+b = 3h e quindi b=3h-2. Con h appartenente ai numeri Z.
Chiedo dunque come dimostrare simmetria e se le classi di equivalenza sono giuste (e ovviamente altri errori di cui non mi sono accorto).
Grazie mille in anticipo a chi mi risponderà sono disperato i miei colleghi non mi sono di aiuto in quanto veniamo tutti da istituti tecnici dove la matematica non si fa molto bene.
Risposte
Se $2a + b$ è multiplo di $3$, lo è anche $(2a + b)-3(a+b)$, dunque…
Ragazzi ho completato cosi: 3|(2a+b) .. ma sappiamo anche che 3|3a+3b e quindi posso sottrarlo.. e diventa 3|(2a+b)-(3a+3b) => 3| (-a -2b) => 3|- (-a -2b) =>3| (2b + a)
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