Aiuto per un banalissimo problema di logica proposizionale
Salve a tutti
non riesco a dimostrare questo banale esercizio di logica
Premesse
A→ B
C→D
leggasi: se A allora B; se C allora D
Conclusione
A V C → B V D
leggasi:Se "A o C" Allora "B o D"
Mi viene richiesto di fornire una "dimostrazione formale" ovvero di esplicitare i vari passaggi che portano dalle premesse alla conclusione
sto impazzendo, non riesco a capire cosa mi sfugge
ringrazio anticipatamente chiunque voglia aiutarmi
PS.Non mi viene richiesto di stilare la tavola di verità
non riesco a dimostrare questo banale esercizio di logica
Premesse
A→ B
C→D
leggasi: se A allora B; se C allora D
Conclusione
A V C → B V D
leggasi:Se "A o C" Allora "B o D"
Mi viene richiesto di fornire una "dimostrazione formale" ovvero di esplicitare i vari passaggi che portano dalle premesse alla conclusione
sto impazzendo, non riesco a capire cosa mi sfugge
ringrazio anticipatamente chiunque voglia aiutarmi
PS.Non mi viene richiesto di stilare la tavola di verità
Risposte
"heifetz":
Salve a tutti
non riesco a dimostrare questo banale esercizio di logica
Premesse
A→ B
C→D
leggasi: se A allora B; se C allora D
Conclusione
A V C → B V D
leggasi:Se "A o C" Allora "B o D"
Si deve dimostrare
$ (A uu C) rArr (B uu D) $
Quando c'è di mezzo l'unione si può fare così:
Sia $ (A uu C) $ vera
ciò significa che A è vera oppure C è vera
1) Se A è vera allora
$ A rArr B rArr (B uu D)$
2) Se A non è vera allora deve essere vera C perciò
$ C rArr D rArr (B uu D)$
In entrambi i casi ho ottenuto la tesi e questo significa che
$ (A uu C) rArr (B uu D) $
Solo un piccolo commento, questo è oggettivamente un problema che segue quasi immediatamente
dalle definizioni, però secondo me tutti i problemi sono utili per comprendere pienamente il
metodo delle dimostrazioni...
Dave lizewski grazie per la risposta,ma sfortunatamente non posso utilizzarla...
Sono uno studente di filosofia e devo sostenere un esame di logica proposizionale a settembre; negli esercizi che dobbiamo risolvere gli unici connettivi utilizzati e da utilizzare sono : Disgiunzione;Congiunzione;Condizionale materiale;Bicondizionale materiale;Negazione
Nell'esercizio in questione i connettivi che figurano sono: "condizionale materiale" nelle premesse e "disgiunzione" e "condizionale materiale nella conclusione"
Un tipico esercizio risolto è il seguente
LEGGENDA
∨ :disgiunzione
→ :condizionale materiale
∧ : congiunzione
↔ :bicondizioanle
¬ : negazione
Premesse
1)A→ ¬B
2)¬(C∧¬A)
Conclusione
C→ ¬B
Dimostrazione
3)¬C∨¬¬A (segue dalla premessa 2 per il teorema di De Morgan)
4)C →¬¬ A (segue dalla 3 per implicazione materiale)
5)C→A (segue dalla 4 per la regola della doppia negazione)
6)C→ ¬B (segue dalla 5 e dalla 1 per sillogismo ipotetico)
le regole che posso utilizzare sono
Modus ponens;Modus tollens;Teoremi di De Morgan;Commutazione;Associazione;Sillogismo ipotetico;Sillogismo disgiuntivo;Distribuzione;Dilemma costruttivo;Doppia negazione;Assorbimento;Trasposizione;Semplificazione;Congiunzione;Addizione;Tautologia;Esportazione;Implicazione materiale;Equivalenza materiale
Ti ringrazio nuovamente per la risposta e mi scuso se sono stato poco chiaro nel primo post e ti ho fatto perdere tempo,
ma sfortunatamente essendo uno studente di filosofia ho poca dimestichezza con i metodi di dimostrazione e il linguaggio simbolico
Sono uno studente di filosofia e devo sostenere un esame di logica proposizionale a settembre; negli esercizi che dobbiamo risolvere gli unici connettivi utilizzati e da utilizzare sono : Disgiunzione;Congiunzione;Condizionale materiale;Bicondizionale materiale;Negazione
Nell'esercizio in questione i connettivi che figurano sono: "condizionale materiale" nelle premesse e "disgiunzione" e "condizionale materiale nella conclusione"
Un tipico esercizio risolto è il seguente
LEGGENDA
∨ :disgiunzione
→ :condizionale materiale
∧ : congiunzione
↔ :bicondizioanle
¬ : negazione
Premesse
1)A→ ¬B
2)¬(C∧¬A)
Conclusione
C→ ¬B
Dimostrazione
3)¬C∨¬¬A (segue dalla premessa 2 per il teorema di De Morgan)
4)C →¬¬ A (segue dalla 3 per implicazione materiale)
5)C→A (segue dalla 4 per la regola della doppia negazione)
6)C→ ¬B (segue dalla 5 e dalla 1 per sillogismo ipotetico)
le regole che posso utilizzare sono
Modus ponens;Modus tollens;Teoremi di De Morgan;Commutazione;Associazione;Sillogismo ipotetico;Sillogismo disgiuntivo;Distribuzione;Dilemma costruttivo;Doppia negazione;Assorbimento;Trasposizione;Semplificazione;Congiunzione;Addizione;Tautologia;Esportazione;Implicazione materiale;Equivalenza materiale
Ti ringrazio nuovamente per la risposta e mi scuso se sono stato poco chiaro nel primo post e ti ho fatto perdere tempo,
ma sfortunatamente essendo uno studente di filosofia ho poca dimestichezza con i metodi di dimostrazione e il linguaggio simbolico
Proviamo in questo modo:
$(A -> B) ^^ (C -> D)$ (le tue ipotesi)
$not(not (A -> B) vv not (C -> D))$ (De Morgan)
$not(not (not A vv B) vv not (not C vv D))$ (tolgo l'implicazione)
Credo possa funzionare, magari prova.
$(A -> B) ^^ (C -> D)$ (le tue ipotesi)
$not(not (A -> B) vv not (C -> D))$ (De Morgan)
$not(not (not A vv B) vv not (not C vv D))$ (tolgo l'implicazione)
Credo possa funzionare, magari prova.
PERFETTO
grazie mille Rggb...sta sera posso ritornare a dormire sogni tranquilli
grazie mille Rggb...sta sera posso ritornare a dormire sogni tranquilli
"heifetz":
grazie mille Rggb...
You're welcome.
Però magari fammi vedere la dimostrazione completa del teorema, io mi sono fermato.
"heifetz":
Ti ringrazio nuovamente per la risposta e mi scuso se sono stato poco chiaro nel primo post e ti ho fatto perdere tempo
Non devi scusarti di nulla, anzi è per me l'occasione di imparare qualcosa di nuovo.
Certo che in un forum di matematica...come si usa dire ho assunto una ipotesi implicita.
Quello che invece è interessante è che quella che tu chiami "logica proposizionale" a me
pare la logica punto e basta solo che tu usi parole per me inconsuete.
Cioè, se ho ben capito, usi l'espressione "condizionale materiale" per dire "implicazione" e converrai con
me che il termine "implicazione" è enormemente più diffuso e chiaro.
A proposito perchè l'aggettivo "materiale" ? che origine e scopo ha ?
Tornando al problema, a differenza di te la risposta di rggb non mi faceva dormire sonni
tranquilli, e dopo rggb ci ha spiegato perchè: infatti la terza espressione alla quale rggb si
è volutamente fermato non corrisponde ancora alla tesi.
Allora per divertimento voglio cimentarmi anch'io nella soluzione completa,
con l'avvertenza che a me piace la notazione dell'apicetto per indicare la negazione:
Sia $(A -> B) ^^ (C -> D)$ (per l' ipotesi)
$rArr$ $(A -> (BvvD)) ^^ (C -> (BvvD))$ (perchè, ad esempio, se $A -> B$ allora $A -> (BvvD)$)
$hArr$ $(A' vv (BvvD)) ^^ (C' vv (BvvD))$ (per definizione di implicazione)
$hArr$ $(A' ^^ C') vv (B vv D)$ (per la distributività della $vv$ sulla $^^$)
$hArr$ $(A vv C)' vv (B vv D)$ (per De Morgan su $(A' ^^ C')$)
$hArr$ $(A vv C) -> (B vv D)$ (per definizione di implicazione)
Spero sia chiaro, forse il passaggio della distributività è il più impegnativo...
La mia esperienza, dopo un certo numero di problemi di logica, è che l'approccio
totalmente formale è il più oneroso ed il più difficile da ricordare.
Personalmente, in assenza di vincoli come nel tuo caso, l'approccio insiemistico è
di certo il mio preferito, alcuni risultati si ottengono con bellissima sintesi e facilità,
a fronte di pagine di formule.
Ad esempio l'implicazione altro non è che l'inclusione insiemistica...
Ciao Dave Lizewski e grazie per la risposta
veniamo al primo quesito, ovvero:perché chiamare "condizioanle materiale" ciò che è più comunemente designato con il nome di "implicazione"?
il termine implicazione ha più di un significato
prendiamo ad esempio i seguenti enunciati:
1)Se tutti gli umani sono mortali e Socrate è umano,allora Socrate è mortale
2)Se Marco è scapolo,allora Marco non è sposato
3)Se questa pietra viene lasciata a se stessa, allora essa cadrà inesorabilmente a terra
4)Se perdiamo la partita di ritorno, allora mi mangerò il cappello
Nel primo enunciato il conseguente segue dall'antecedente logicamente
Nel secondo enunciato il conseguente segue dall'antecedente per definizione
Nel terzo enunciato il conseguente non segue dall'antecente né logicamente né per definizione dei suoi termini;la connessione deve essere scoperta empiricamente,perché in questo caso si tratta di un'implicazione causale
Nel quarto enunciato il conseguente non segue dal suo antecedente nè logicamente, né per definizione, e neppure per una legge causale implicata nell'eccezione comune dell'espressione(la maggior parte delle leggi causali-per esempio quelle scoperte in fisica- descrivono quello che succede nel mondo indipendentemente dalle nostre speranze o dai nostri desideri-ed ovviamente non c'è nessuna legge di questo tipo legata all'enunciato 4;dico la maggior parte perché bisognerebbe fare un discorso a parte per le leggi psicologiche,ma il discorso finirebbe su vertere su questioni di filosofia della mente estremamente complesse e lontane dai nostri scopo)
Il quarto enunciato descrive una decisione della persona che parla di comportarsi in un modo partocolare in circostanze particolari
è quindi evidente che i quattro enunciati sono diversi, in quanto ciascuno asserisce un tipo diverso di impicazione tra il suo antecedente e il suo conseguente;
e tuttavia non sono completamente diversi,giacché è possibile rintracciare un significato PARZIALE e COMUNE a tutti e quattro
Il significato COMUNE e PARZIALE consiste nel fatto che ciascuno dei precedenti enunciati ci dice che: se l'antecende è vero il conseguente deve essere vero
e che ciascuno enunciato è da ritenersi falso nel caso in cui l'antecende sia vero e il conseguente sia falso
Ovvero- utilizzando il linguaggio della logica proposizionale- l'asserto "Se A allora B" (con cui può essere simbolizzato ciascun esempio) è DA RITENERSI FALSO nel caso in cui si sappia che la congiunzione A∧¬B è vera, cioé nel caso che il suo antecedente sia vero e il suo conseguente sia falso.PERCHé IL CONDIZIONALE SIA VERO allora,la congiunzione indicata deve essere falsa(cioé la sua negazione deve essere vera ¬(A∧¬B)
In altre parole quindi perché un qualisiasi condizionale "Se A allora B " sia vero ,¬(A∧¬B) deve anch'essa essere vera.Possiamo quindi considerare ¬(A∧¬B) come una parte del significato di "Se A allora B"
Ogni asserto condizionale intende negare la possibilità che il suo antecedente sia vero e il suo conseguente falso,ma questo non è necessariamente tutto il suo significato.
L'enuciato 1 asserisce una connessione logica;l'enuciato 2 una connessione per definizione,l'enunciato 3 una connessione causale,l'enunciato 4 una connessione decisionale
Ciò che è da sottolineare è che : qualunque sia la connessione asserita da un enunciato condizionale,parte del suo significato è la negazione della congiunzione del suo antecedente con la negazione del suo conseguente
ED ORA ARRIVIAMO AL PUNTO CRUCIALE
Il simbolo "→" non può essere considerato un simbolo chedenota il significato di "se-allora" o rappresenta la relazione di implicazione.
Ciò sarebbe impossibile,giacché non c'è un unico significato di "se-allora" ma ce ne sono diversi.Quindi non c'è un'unica relazione di implicazione da rappresentare;ci sono diverse relazioni d'implicazione
Non si può nemmeno affermare che il simbolo "→" rappresenti in qualche modo tutti i significati di "se-allora" perché questisi sono tutti diversi e qualsiasi tentativo di abbreviarli tutti con un unico simbolo renderebbe ambiguo quel simbolo - altrettanto ambiguo dell'espressione "se-allora" o della parola "implicazione"
Il simbolo → non è affatto ambiguo.Ciòche viene abbreviato dal "A→B" è "¬(A∧¬B)" il cui significato è incluso in ciascuno dei vari tipi d'implicazione considerati,ma che non costiuisce l'intero significato di nessuno di essi.
è corretto considerare il simbolo "→" come denotante un altro tipo d'implicazione che non è uguale agli altri e per cui i logici hanno deciso di scegliere un nome specifico ovvero "condizionale materiale"(ma anche implicazione materiale) riconoscendo che si tratta di una nozione particolare che non deve essere confusa con gli altri(più frequenti) d'implicazione
Purtroppo non ti sò dire il perché dell'aggettivo "materiale";la questione dell'implicazione materiale si perde nel tempo(se ne discute ininterrotamente in altri termini dai tempi di Aristotele)
Inoltre sarebbe da aggiungere che non tutte gli enuciati in italiano asseriscono necessariamente uno dei quattro tipi di implicazione precedentemente considerati.L'implicazione materiale costituisce un quinti tipo che può essere nel discorso ordinario ad esempio da:
"Se Berlusconi è un uomo onesto, allora Io sono una mela"
Come puoi ben notare non esprime né una connessione logica,né per definizione,né causale,né decisionale(dato che non ho alcuna possibilità di diventare una mela)
Un condizionale di questo tipo si usa solitamente come mod enfatico o ironico di negare il suo antecedente.Il conseguente di un condizionale siffatto di solito è un enunciato falso im modo ovvio e ridicolo.E dato che nessun condizionale vero può avere il suo antecedente vero e il suo conseguente falso,affermare un condizionale del genere equivale a negare che il suo antecedente è vero.
Spero di aver risposto alla tua domanda(anche se solo in modo parziale;la questione del perché dell'aggettivo "materiale" per me rimane un mistero.Se avrò modo di parlare con il professore di "storia della logica" gli porrò la domanda e spero mi darà una risposta).
Mi dispiace se sono stato oltre modo prolisso ma avendo come obbiettivo quallo di rendere chiara la questione ho ritenuto di corretto motivarla adeguatamente (e comunque ti assicuro che ci sarebbe molto molto altro da dire a riguardo...)
Per quanto rigaurda il perché parlo di problema di "logica proposizionale" anzicché di problema di "logica punto e basta"
ti chiedo scusa, ma se cerco di essere esauriente anche in questa risposta finisco per esaurirmi io stesso,nonché di non fare altro per tutto il giorno!(e probabilmente anche di esaurire te!)
Brevemente, si tratta ,come puoi notare, di problemi di logica che fanno ricorso ad un linguaggio particolare fatto di variabili proposizionali e connettivi vero-funzioanali estranei al "linguaggio ordinario" (o che dir si voglia al "linguaggio naturale" )con cui si potrebbero tradurre e risolvere in maniera intuitiva gli stessi
Per quanto riguarda la tua dimostrazione del problema ,è assolutamente corretta e ti ringrazio perché è di gran lunga più pulita,più semplice e più breve di quella che mi veniva con il suggerimento di Rggb(che comunque ringrazio nuovamente per il suggerimento e perché mi ha fatto notare le potenzialità del teorema di De Morgan e con cui mi scuso se non gli fornisco la dimostrazione ma non ho imparato a scrivere con la tastiera simbolica, per scrivere le formule ho copiato ed incollato tutto il tempo i vari i simboli,mi riprometto appena ho tempo di riportarla)
veniamo al primo quesito, ovvero:perché chiamare "condizioanle materiale" ciò che è più comunemente designato con il nome di "implicazione"?
il termine implicazione ha più di un significato
prendiamo ad esempio i seguenti enunciati:
1)Se tutti gli umani sono mortali e Socrate è umano,allora Socrate è mortale
2)Se Marco è scapolo,allora Marco non è sposato
3)Se questa pietra viene lasciata a se stessa, allora essa cadrà inesorabilmente a terra
4)Se perdiamo la partita di ritorno, allora mi mangerò il cappello
Nel primo enunciato il conseguente segue dall'antecedente logicamente
Nel secondo enunciato il conseguente segue dall'antecedente per definizione
Nel terzo enunciato il conseguente non segue dall'antecente né logicamente né per definizione dei suoi termini;la connessione deve essere scoperta empiricamente,perché in questo caso si tratta di un'implicazione causale
Nel quarto enunciato il conseguente non segue dal suo antecedente nè logicamente, né per definizione, e neppure per una legge causale implicata nell'eccezione comune dell'espressione(la maggior parte delle leggi causali-per esempio quelle scoperte in fisica- descrivono quello che succede nel mondo indipendentemente dalle nostre speranze o dai nostri desideri-ed ovviamente non c'è nessuna legge di questo tipo legata all'enunciato 4;dico la maggior parte perché bisognerebbe fare un discorso a parte per le leggi psicologiche,ma il discorso finirebbe su vertere su questioni di filosofia della mente estremamente complesse e lontane dai nostri scopo)
Il quarto enunciato descrive una decisione della persona che parla di comportarsi in un modo partocolare in circostanze particolari
è quindi evidente che i quattro enunciati sono diversi, in quanto ciascuno asserisce un tipo diverso di impicazione tra il suo antecedente e il suo conseguente;
e tuttavia non sono completamente diversi,giacché è possibile rintracciare un significato PARZIALE e COMUNE a tutti e quattro
Il significato COMUNE e PARZIALE consiste nel fatto che ciascuno dei precedenti enunciati ci dice che: se l'antecende è vero il conseguente deve essere vero
e che ciascuno enunciato è da ritenersi falso nel caso in cui l'antecende sia vero e il conseguente sia falso
Ovvero- utilizzando il linguaggio della logica proposizionale- l'asserto "Se A allora B" (con cui può essere simbolizzato ciascun esempio) è DA RITENERSI FALSO nel caso in cui si sappia che la congiunzione A∧¬B è vera, cioé nel caso che il suo antecedente sia vero e il suo conseguente sia falso.PERCHé IL CONDIZIONALE SIA VERO allora,la congiunzione indicata deve essere falsa(cioé la sua negazione deve essere vera ¬(A∧¬B)
In altre parole quindi perché un qualisiasi condizionale "Se A allora B " sia vero ,¬(A∧¬B) deve anch'essa essere vera.Possiamo quindi considerare ¬(A∧¬B) come una parte del significato di "Se A allora B"
Ogni asserto condizionale intende negare la possibilità che il suo antecedente sia vero e il suo conseguente falso,ma questo non è necessariamente tutto il suo significato.
L'enuciato 1 asserisce una connessione logica;l'enuciato 2 una connessione per definizione,l'enunciato 3 una connessione causale,l'enunciato 4 una connessione decisionale
Ciò che è da sottolineare è che : qualunque sia la connessione asserita da un enunciato condizionale,parte del suo significato è la negazione della congiunzione del suo antecedente con la negazione del suo conseguente
ED ORA ARRIVIAMO AL PUNTO CRUCIALE
Il simbolo "→" non può essere considerato un simbolo chedenota il significato di "se-allora" o rappresenta la relazione di implicazione.
Ciò sarebbe impossibile,giacché non c'è un unico significato di "se-allora" ma ce ne sono diversi.Quindi non c'è un'unica relazione di implicazione da rappresentare;ci sono diverse relazioni d'implicazione
Non si può nemmeno affermare che il simbolo "→" rappresenti in qualche modo tutti i significati di "se-allora" perché questisi sono tutti diversi e qualsiasi tentativo di abbreviarli tutti con un unico simbolo renderebbe ambiguo quel simbolo - altrettanto ambiguo dell'espressione "se-allora" o della parola "implicazione"
Il simbolo → non è affatto ambiguo.Ciòche viene abbreviato dal "A→B" è "¬(A∧¬B)" il cui significato è incluso in ciascuno dei vari tipi d'implicazione considerati,ma che non costiuisce l'intero significato di nessuno di essi.
è corretto considerare il simbolo "→" come denotante un altro tipo d'implicazione che non è uguale agli altri e per cui i logici hanno deciso di scegliere un nome specifico ovvero "condizionale materiale"(ma anche implicazione materiale) riconoscendo che si tratta di una nozione particolare che non deve essere confusa con gli altri(più frequenti) d'implicazione
Purtroppo non ti sò dire il perché dell'aggettivo "materiale";la questione dell'implicazione materiale si perde nel tempo(se ne discute ininterrotamente in altri termini dai tempi di Aristotele)
Inoltre sarebbe da aggiungere che non tutte gli enuciati in italiano asseriscono necessariamente uno dei quattro tipi di implicazione precedentemente considerati.L'implicazione materiale costituisce un quinti tipo che può essere nel discorso ordinario ad esempio da:
"Se Berlusconi è un uomo onesto, allora Io sono una mela"
Come puoi ben notare non esprime né una connessione logica,né per definizione,né causale,né decisionale(dato che non ho alcuna possibilità di diventare una mela)
Un condizionale di questo tipo si usa solitamente come mod enfatico o ironico di negare il suo antecedente.Il conseguente di un condizionale siffatto di solito è un enunciato falso im modo ovvio e ridicolo.E dato che nessun condizionale vero può avere il suo antecedente vero e il suo conseguente falso,affermare un condizionale del genere equivale a negare che il suo antecedente è vero.
Spero di aver risposto alla tua domanda(anche se solo in modo parziale;la questione del perché dell'aggettivo "materiale" per me rimane un mistero.Se avrò modo di parlare con il professore di "storia della logica" gli porrò la domanda e spero mi darà una risposta).
Mi dispiace se sono stato oltre modo prolisso ma avendo come obbiettivo quallo di rendere chiara la questione ho ritenuto di corretto motivarla adeguatamente (e comunque ti assicuro che ci sarebbe molto molto altro da dire a riguardo...)
Per quanto rigaurda il perché parlo di problema di "logica proposizionale" anzicché di problema di "logica punto e basta"
ti chiedo scusa, ma se cerco di essere esauriente anche in questa risposta finisco per esaurirmi io stesso,nonché di non fare altro per tutto il giorno!(e probabilmente anche di esaurire te!)
Brevemente, si tratta ,come puoi notare, di problemi di logica che fanno ricorso ad un linguaggio particolare fatto di variabili proposizionali e connettivi vero-funzioanali estranei al "linguaggio ordinario" (o che dir si voglia al "linguaggio naturale" )con cui si potrebbero tradurre e risolvere in maniera intuitiva gli stessi
Per quanto riguarda la tua dimostrazione del problema ,è assolutamente corretta e ti ringrazio perché è di gran lunga più pulita,più semplice e più breve di quella che mi veniva con il suggerimento di Rggb(che comunque ringrazio nuovamente per il suggerimento e perché mi ha fatto notare le potenzialità del teorema di De Morgan
e con cui mi scuso se non gli fornisco la dimostrazione ma non ho imparato a scrivere con la tastiera simbolica, per scrivere le formule ho copiato ed incollato tutto il tempo i vari i simboli,mi riprometto appena ho tempo di riportarla)
ps.scusate gli errori grammaticali e la mancaza di virgole,purtroppo non me li fa modificare!
"dave lizewski":
Quello che invece è interessante è che quella che tu chiami "logica proposizionale" a me
pare la logica punto e basta solo che tu usi parole per me inconsuete.
Perché inconsuete? E' così che si chiama.
http://en.wikipedia.org/wiki/Propositional_calculus
"dave lizewski":
Cioè, se ho ben capito, usi l'espressione "condizionale materiale" per dire "implicazione" e converrai con
me che il termine "implicazione" è enormemente più diffuso e chiaro.
A proposito perchè l'aggettivo "materiale" ? che origine e scopo ha ?
Vedi sopra.
"dave lizewski":
,,, a me piace la notazione dell'apicetto per indicare la negazione...
A me piace un po' meno; ancora, vedi sopra.
"dave lizewski":
(perchè, ad esempio, se $A -> B$ allora $A -> (BvvD)$)
"Uhm uhm"...
Se $A$ è vero e $B$ è falso, $A -> B$ è falso.
Viceversa se $A$ è vero e $B$ è falso e $D$ è vero, $A -> (BvvD)$ è vero.
In altre parole, le due formule non sono logicamente equivalenti.
"Uhm uhm"...
Se $A$ è vero e $B$ è falso, $A -> B$ è falso.
Viceversa se $A$ è vero e $B$ è falso e $D$ è vero, $A -> (BvvD)$ è vero.
In altre parole, le due formule non sono logicamente equivalenti.[/quote]
avevo pensato anch'io la stessa cosa...tuttavia -non vorrei sbagliarmi- ma una volta tolta l'implicazione otteniamo
¬A∨B
a cui possiamo aggiungere per addizione D ottenendo (¬A∨B)∨D
e poi per associazione otteniamo ¬A∨(B∨D) che è ciò cui giunge Dave Lizewski per risolvere il problema
fare poi la medesima operazione con la secondo premessa e solo allora congiungerle
Se $A$ è vero e $B$ è falso, $A -> B$ è falso.
Viceversa se $A$ è vero e $B$ è falso e $D$ è vero, $A -> (BvvD)$ è vero.
In altre parole, le due formule non sono logicamente equivalenti.[/quote]
avevo pensato anch'io la stessa cosa...tuttavia -non vorrei sbagliarmi- ma una volta tolta l'implicazione otteniamo
¬A∨B
a cui possiamo aggiungere per addizione D ottenendo (¬A∨B)∨D
e poi per associazione otteniamo ¬A∨(B∨D) che è ciò cui giunge Dave Lizewski per risolvere il problema
fare poi la medesima operazione con la secondo premessa e solo allora congiungerle
grazie Heifetz per la amplissima digressione sull'argomento, anche perchè immagino
che scriverla ti abbia portato via un sacco di tempo...
Ho l'impressione che all'esame andrai alla grandissima...
Evidentemente questo concetto di implicazione è pieno di sfaccettature, che però mi sembra
compaiano tutte quando si lascia il mondo dell'astrazione e ci si addentra nella connessione
delle leggi della logica con il mondo reale.
Nell'ambito che mi appassiona, cioè la matematica, non esistono mortali, scapoli, mele, cappelli...
esistono solo oggetti molto interessanti dalle proprietà perfettamente definite.
Per rispondere a rggb, che ringrazio per i suggerimenti, torno a ripetere che l'espressione
"condizionale materiale" non l'ho mai letta nei pochi libri di matematica che ho studiato e
perciò per me è inconsueta.
Invece per quanto riguarda l'affermazione
Se $A -> B$ allora $A -> (BvvD)$
per me è indubitabilmente vera, spero di non scoprire il contrario durante un esame.
D'altra parte sono d'accordo con te quando dici che
$A -> B$ non è logicamente equivalente a $A -> (BvvD)$
ma questo non l'ho affermato neanch'io (almeno non intezionalmente...)
che scriverla ti abbia portato via un sacco di tempo...
Ho l'impressione che all'esame andrai alla grandissima...
Evidentemente questo concetto di implicazione è pieno di sfaccettature, che però mi sembra
compaiano tutte quando si lascia il mondo dell'astrazione e ci si addentra nella connessione
delle leggi della logica con il mondo reale.
Nell'ambito che mi appassiona, cioè la matematica, non esistono mortali, scapoli, mele, cappelli...
esistono solo oggetti molto interessanti dalle proprietà perfettamente definite.
Per rispondere a rggb, che ringrazio per i suggerimenti, torno a ripetere che l'espressione
"condizionale materiale" non l'ho mai letta nei pochi libri di matematica che ho studiato e
perciò per me è inconsueta.
Invece per quanto riguarda l'affermazione
Se $A -> B$ allora $A -> (BvvD)$
per me è indubitabilmente vera, spero di non scoprire il contrario durante un esame.
D'altra parte sono d'accordo con te quando dici che
$A -> B$ non è logicamente equivalente a $A -> (BvvD)$
ma questo non l'ho affermato neanch'io (almeno non intezionalmente...)
figurati Dave Lizewski,con la scusa mi sono ripassato una parte dell'esame..
alla prossima
alla prossima
"dave lizewski":
Invece per quanto riguarda l'affermazione
Se $A -> B$ allora $A -> (BvvD)$
per me è indubitabilmente vera, spero di non scoprire il contrario durante un esame.
Certo, ma non è questo il punto, non vorrei essere frainteso. Quella tautologia la utilizzi per dimostrare un altro teorema, ma non è dimostrata "in sé": è un teorema anch'essa, e pertanto aveva bisogno di qualche passaggio in più. Per questo motivo, usualmente si utilizzano i teoremi fondamentali già citati oppure delle equivalenze logiche.
C'è da dire che anche altrove ho trovato passaggi "scorciati" in questo modo, non mi piacciono un granché
ma non sono errati.
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