Aiuto Numeri algebrici su Q
Salve, vorrei sapere come fare per capire quando un numero è algebrico su Q. Conosco la definizione di numero algebrico, ma mi viene difficile applicarla in alcuni casi. Per esempio:
-$sqrt(2)$ + $sqrt(5)$ è algebrico su Q?
- $2^ sqrt(2)$ ?
-$sqrt(2)$ + $sqrt(5)$ è algebrico su Q?
- $2^ sqrt(2)$ ?
Risposte
Ciao 
Il primo punto è facile, infatti se due numeri $a, b$ sono algebrici su un campo $\mathbb{K}$ allora $a +- b$, $ab$, $a/b$ sono algebrici su $\mathbb{K}$.
Casomai ti dimenticassi quest'informazione puoi sempre sporcarti le mani: siano $\mathbb{K} \subset \mathbb{F}$ due campi, un elemento $a \in \mathbb{F}$ si dice algebrico su $\mathbb{K}$ se esiste un polinomio $p(x) \in \mathbb{K}[x]$ non nullo tale che $a$ è radice di $p(x)$.
Quindi puoi provare a costruire un polinomio che si annulla in $a$ a partire da $a$.
Per esempio in questo caso: $\alpha = \sqrt(2) + \sqrt(5)$ quindi $\alpha^2 = 2 + 5 + 2\sqrt(10) \iff \alpha^2 - 7 = 2\sqrt(10)$, elevando ancora al quadrato si ha $\alpha^4 -14\alpha^2 + 49 = 40$, ovvero $\alpha^4 -14\alpha^2 + 9= 0$. Il polinomio $p(x) = x^4 - 14x^2 + 9 \in \mathbb{Q}[x]$ ha come radice $\alpha = \sqrt(2)+\sqrt(5) \in RR$ per costruzione e quindi $\alpha$ è algebrico su $\mathbb{Q}$
Per quanto riguarda $2^{\sqrt(2)}$, bisogna lavorarci su. Onestamente non saprei come procedere ora come ora. Molto probabilmente esiste un teorema che ne prova la trascendenza.
Il primo punto è facile, infatti se due numeri $a, b$ sono algebrici su un campo $\mathbb{K}$ allora $a +- b$, $ab$, $a/b$ sono algebrici su $\mathbb{K}$.
Casomai ti dimenticassi quest'informazione puoi sempre sporcarti le mani: siano $\mathbb{K} \subset \mathbb{F}$ due campi, un elemento $a \in \mathbb{F}$ si dice algebrico su $\mathbb{K}$ se esiste un polinomio $p(x) \in \mathbb{K}[x]$ non nullo tale che $a$ è radice di $p(x)$.
Quindi puoi provare a costruire un polinomio che si annulla in $a$ a partire da $a$.
Per esempio in questo caso: $\alpha = \sqrt(2) + \sqrt(5)$ quindi $\alpha^2 = 2 + 5 + 2\sqrt(10) \iff \alpha^2 - 7 = 2\sqrt(10)$, elevando ancora al quadrato si ha $\alpha^4 -14\alpha^2 + 49 = 40$, ovvero $\alpha^4 -14\alpha^2 + 9= 0$. Il polinomio $p(x) = x^4 - 14x^2 + 9 \in \mathbb{Q}[x]$ ha come radice $\alpha = \sqrt(2)+\sqrt(5) \in RR$ per costruzione e quindi $\alpha$ è algebrico su $\mathbb{Q}$
Per quanto riguarda $2^{\sqrt(2)}$, bisogna lavorarci su. Onestamente non saprei come procedere ora come ora. Molto probabilmente esiste un teorema che ne prova la trascendenza.
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