Aiuto nucleo gruppi
Stavo studiando il nucleo di un omomorfismo tra gruppi, ma come al solito non ci capisco nulla 
Qualcuno potrebbe darmi una mano a capire come funziona, magari con un esercizio visto che sul libro scarseggiano? Grazie
Qualcuno potrebbe darmi una mano a capire come funziona, magari con un esercizio visto che sul libro scarseggiano? Grazie
Risposte
sia $\phi:G to G'$ un omomorfismo di gruppi, si definisce $ker{\phi}$ l'insieme di quegli elementi $g$ di $G$ tali che $\phi(g)=0_(G')$ ovvero gli elementi di $G$ che vengono mandati nell'elemento neutro del gruppo $G'$
un esempio: sia f l'omomorfismo canonico $f: ZZ to ZZ_5$ che manda ogni intero nella sua classe di equivalenza modulo 5.
qual' e il ker di tale omomorfismo? ovvero quali sono gli elementi di $ZZ$ che vengono mandati nella classe di equivalenza di $0$ modulo 5?
o anche, quali sono gli elementi di $ZZ$ congrui a $0$ modulo 5 ?
un esempio: sia f l'omomorfismo canonico $f: ZZ to ZZ_5$ che manda ogni intero nella sua classe di equivalenza modulo 5.
qual' e il ker di tale omomorfismo? ovvero quali sono gli elementi di $ZZ$ che vengono mandati nella classe di equivalenza di $0$ modulo 5?
o anche, quali sono gli elementi di $ZZ$ congrui a $0$ modulo 5 ?
Così non ti è chiaro? Sai cos'è un omomorfismo?
Se lo sai è semplice immaginare questa cosa, dato un omomorfismo di gruppi tra $G$ e $G'$ sicuramente l'elemento neutro di $G$, sarà mandato nell'elemento neutro di $G'$, ma non è detto che sia l'unico. Il sottogruppo $ker$ "raccoglie" questi elementi.
Esempi facili?
Considera l'omomorfismo nullo $phi$ tra $ZZ_5$ e $ZZ_5$.
l'elemento neutro $0inKerphi$, ma poichè anche $phi(1)=0$, allora anche $1inKerphi$, e così $2,3,4$.
Considera invece l'omomorfismo identico, il suo $ker$ sarà ridotto al solo elemento neutro.
Ovviamente gli omomorfismi non sono tutti così banali:
consideriamo $phi:ZZ_4 ->ZZ_4$ tale che $phi(x)=2x$. Beh $phi(1)=2,phi(2)=0,phi(3)=6 \equiv 2$, quindi $kerphi$ conterrà $0,2$
Spero di esserti stato d'aiuto
Se lo sai è semplice immaginare questa cosa, dato un omomorfismo di gruppi tra $G$ e $G'$ sicuramente l'elemento neutro di $G$, sarà mandato nell'elemento neutro di $G'$, ma non è detto che sia l'unico. Il sottogruppo $ker$ "raccoglie" questi elementi.
Esempi facili?
Considera l'omomorfismo nullo $phi$ tra $ZZ_5$ e $ZZ_5$.
l'elemento neutro $0inKerphi$, ma poichè anche $phi(1)=0$, allora anche $1inKerphi$, e così $2,3,4$.
Considera invece l'omomorfismo identico, il suo $ker$ sarà ridotto al solo elemento neutro.
Ovviamente gli omomorfismi non sono tutti così banali:
consideriamo $phi:ZZ_4 ->ZZ_4$ tale che $phi(x)=2x$. Beh $phi(1)=2,phi(2)=0,phi(3)=6 \equiv 2$, quindi $kerphi$ conterrà $0,2$
Spero di esserti stato d'aiuto
Scusami Blackbishop non avevo letto il tuo intervento 
Si può calcolare solo in moduli tipo Z4,Z5,Z6 o anche in insieme che nonlo siano? Nel caso potreste farmi un esempio del genere?
funziona tra quelli che hai elencato ma anche tra ogni gruppo possibile (tra i quali vi sia isomorfismo).
gruppi possono essere anche:
[tex]\mathbb{Z} ,\mathbb{Q} ,\mathbb{R} ,\mathbb{C}[/tex] ,{0,1} e altri mille possibilità..
tu definisci un morfismo, mettiamo tra quelli che stai proprio dicendo tu, per esempio 2Z e 4Z.
Il morfismo è:
[tex]f: 2\mathbb{Z} \rightarrow 4\mathbb{Z}[/tex]
[tex]a \rightarrow 2a[/tex]
ovvero ad ogni valore di 2Z (suppongo tu sappia di cosa parlo) corrisponde il suo doppio.
Il kernel in questo caso è l' insieme di tutti gli elementi di 2Z che hanno come imagine 0, ovvero solo 0.
gruppi possono essere anche:
[tex]\mathbb{Z} ,\mathbb{Q} ,\mathbb{R} ,\mathbb{C}[/tex] ,{0,1} e altri mille possibilità..
tu definisci un morfismo, mettiamo tra quelli che stai proprio dicendo tu, per esempio 2Z e 4Z.
Il morfismo è:
[tex]f: 2\mathbb{Z} \rightarrow 4\mathbb{Z}[/tex]
[tex]a \rightarrow 2a[/tex]
ovvero ad ogni valore di 2Z (suppongo tu sappia di cosa parlo) corrisponde il suo doppio.
Il kernel in questo caso è l' insieme di tutti gli elementi di 2Z che hanno come imagine 0, ovvero solo 0.
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