Aiuto massimo comun divisore
Salve a tutti. Potreste aiutarmi con questo esercizio?
Dimostrare che per ogni $z$ intero vale $mcd(2z+3, 3z-2) € {1,13]$ e determinare gli interi $z$ tale che il massimo comun divisore sia $13$.
La prima parte l'ho svolta, credo senza problemi.
Sia $z € Z$. Poniamo $d:= mcd(2z+3, 3z-2)$. Per definizione $d$ divide una combinazione lineare di $2z+3$ e $3z-2$. Pertanto $d| (2z+3)*3 -2*(3z-2)$. Quindi $d|13$. Poichè $d$ è naturale e 13 è primo, allora la tesi.
Per la seconda parte non riesco a capire come muovermi.
Grazie
Dimostrare che per ogni $z$ intero vale $mcd(2z+3, 3z-2) € {1,13]$ e determinare gli interi $z$ tale che il massimo comun divisore sia $13$.
La prima parte l'ho svolta, credo senza problemi.
Sia $z € Z$. Poniamo $d:= mcd(2z+3, 3z-2)$. Per definizione $d$ divide una combinazione lineare di $2z+3$ e $3z-2$. Pertanto $d| (2z+3)*3 -2*(3z-2)$. Quindi $d|13$. Poichè $d$ è naturale e 13 è primo, allora la tesi.
Per la seconda parte non riesco a capire come muovermi.
Grazie
Risposte
Nessuno riesce a darmi una mano?
Provo io a buttare giù un idea, ma prendi assolutamente con le pinze quello che scrivo.
Dobbiamo trovare $n \in ZZ$ tale che $13|2n+3$ e $13|3n-2$, quindi abbiamo $2n+3=13k$ e $3n-2=13k'$ per certi $k,k' \in ZZ$.
Ma ciò equivale a risolvere il seguente sistema:
\begin{cases} 3n \equiv 2 (mod 13)\\
2n \equiv -3 (mod 13)\\
\end{cases}
e senza troppi calcoli si nota facilmente che la classe di resto $5$ modulo $13$ soddisfa entrambe le equazioni congruenziali.
Così l'insieme ${13k -8 : k \in ZZ}$ contiene tutti gli $n$ tali che $13|2n+3$ e $13|3n-2$.
Secondo me rimane da formalizzare che, per ogni $n$, ogni intero che divide $2n+3$ e $3n-2$ divide anche $13$ (per la definizione di M.C.D.)!
Spero di essere stato un pochino di aiuto !
Dobbiamo trovare $n \in ZZ$ tale che $13|2n+3$ e $13|3n-2$, quindi abbiamo $2n+3=13k$ e $3n-2=13k'$ per certi $k,k' \in ZZ$.
Ma ciò equivale a risolvere il seguente sistema:
\begin{cases} 3n \equiv 2 (mod 13)\\
2n \equiv -3 (mod 13)\\
\end{cases}
e senza troppi calcoli si nota facilmente che la classe di resto $5$ modulo $13$ soddisfa entrambe le equazioni congruenziali.
Così l'insieme ${13k -8 : k \in ZZ}$ contiene tutti gli $n$ tali che $13|2n+3$ e $13|3n-2$.
Secondo me rimane da formalizzare che, per ogni $n$, ogni intero che divide $2n+3$ e $3n-2$ divide anche $13$ (per la definizione di M.C.D.)!
Spero di essere stato un pochino di aiuto !
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