Aiuto esercizio teoria dei numeri
Salve vorrei un piccolo suggerimento su un esercizio riguardante la teoria dei numeri .
praticamente devo considerare il numero 999 e determinar gli interi n tali che il numero 999 scritto in base n
inizi con la cifra 1
finisce con la cifra 2
ha esattamente tre cifre
Per il primo quesito non saprei come fare , per il secondo la mia idea è stata verificare per quali n 999 è congruo 2 modulo n , il terzo l'ho risolto facendo un ragionamento poco generale considerando quali il quali basi 999 si scrive con due cifre che riesco a trovare convertendolo e considerando gli intervalli ovvero trovando l primo valore per cui si scrive con 3 cifre e l'ultimo valore per il quale convertito ha 3 cifre. Come si potrebbe risolvere in maniera generale?
Vi ringrazio veramente tanto in anticipo!
praticamente devo considerare il numero 999 e determinar gli interi n tali che il numero 999 scritto in base n
inizi con la cifra 1
finisce con la cifra 2
ha esattamente tre cifre
Per il primo quesito non saprei come fare , per il secondo la mia idea è stata verificare per quali n 999 è congruo 2 modulo n , il terzo l'ho risolto facendo un ragionamento poco generale considerando quali il quali basi 999 si scrive con due cifre che riesco a trovare convertendolo e considerando gli intervalli ovvero trovando l primo valore per cui si scrive con 3 cifre e l'ultimo valore per il quale convertito ha 3 cifre. Come si potrebbe risolvere in maniera generale?
Vi ringrazio veramente tanto in anticipo!
Risposte
Il principio \(\displaystyle 999 \equiv 2\!\!\pmod{n} \) è corretto ma scritto \(\displaystyle (999-2) \equiv 0\!\!\pmod{n} \) penso sia più espressivo.
Per il terzo punto, dato \(\displaystyle n \), il massimo numero esprimibile con \(\displaystyle 3 \) cifre è \(\displaystyle n^3-1 \), mentre il più piccolo è \(\displaystyle n^2 \). Per esempio per \(\displaystyle n=10 \) hai che \(\displaystyle 100 \) è il più piccolo e \(\displaystyle 999 \) è il più grande. Ovviamente \(\displaystyle n^2 < (n+m)^2 \) e \(\displaystyle n^3-1 < (n+m)^3-1 \) perciò le soluzioni sono comprese tra due valori, uno massimo e uno minimo. Il minimo è banalmente \(\displaystyle 10 \) perché \(\displaystyle 999 \) è il massimo numero rappresentabile in quella base. Il massimo valore è la radice quadrata del più grande quadrato perfetto minore di \(\displaystyle 999 \).
Per il primo ci devo pensare.
Per il terzo punto, dato \(\displaystyle n \), il massimo numero esprimibile con \(\displaystyle 3 \) cifre è \(\displaystyle n^3-1 \), mentre il più piccolo è \(\displaystyle n^2 \). Per esempio per \(\displaystyle n=10 \) hai che \(\displaystyle 100 \) è il più piccolo e \(\displaystyle 999 \) è il più grande. Ovviamente \(\displaystyle n^2 < (n+m)^2 \) e \(\displaystyle n^3-1 < (n+m)^3-1 \) perciò le soluzioni sono comprese tra due valori, uno massimo e uno minimo. Il minimo è banalmente \(\displaystyle 10 \) perché \(\displaystyle 999 \) è il massimo numero rappresentabile in quella base. Il massimo valore è la radice quadrata del più grande quadrato perfetto minore di \(\displaystyle 999 \).
Per il primo ci devo pensare.
C'è una cosa che non ho capito: sono 3 domande diverse, o bisogna esaudire contemporaneamente tutte le condizioni?
La terza condizione è abbastanza semplice, n deve essere inferiore a $sqrt999$. Ovvero va da 10 a 31.
La terza condizione è abbastanza semplice, n deve essere inferiore a $sqrt999$. Ovvero va da 10 a 31.
Per il primo dovrebbero essere $2, 3, 5, 8, 9$ e poi $23<=n<=31$ ed infine $499
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Ho appurato (almeno credo...) che non esiste n che soddisfi tutte le condizioni.
Per cui sono 3 domande diverse....
Poichè 997 è primo, l'unica soluzione alla prima domanda, è proprio 997.
Per cui sono 3 domande diverse....
Poichè 997 è primo, l'unica soluzione alla prima domanda, è proprio 997.
A dir la verità mi sembra che $997$ le soddisfi tutte e tre ...
EDIT: sorry, no, avevo interpretato male la tre ...
EDIT: sorry, no, avevo interpretato male la tre ...
Le condizioni non devono essere soddisfatte contemporaneamente, comunque grazie mille per le risposte , non ho capito bene l procedimento che hai seguito ma ci penserò su , piuttosto avete qualche idea per capire quando inizierebbe con la cifra 1 :\
"vict85":
Il principio \(\displaystyle 999 \equiv 2\!\!\pmod{n} \) è corretto ma scritto \(\displaystyle (999-2) \equiv 0\!\!\pmod{n} \) penso sia più espressivo.
Per il terzo punto, dato \(\displaystyle n \), il massimo numero esprimibile con \(\displaystyle 3 \) cifre è \(\displaystyle n^3-1 \), mentre il più piccolo è \(\displaystyle n^2 \). Per esempio per \(\displaystyle n=10 \) hai che \(\displaystyle 100 \) è il più piccolo e \(\displaystyle 999 \) è il più grande. Ovviamente \(\displaystyle n^2 < (n+m)^2 \) e \(\displaystyle n^3-1 < (n+m)^3-1 \) perciò le soluzioni sono comprese tra due valori, uno massimo e uno minimo. Il minimo è banalmente \(\displaystyle 10 \) perché \(\displaystyle 999 \) è il massimo numero rappresentabile in quella base. Il massimo valore è la radice quadrata del più grande quadrato perfetto minore di \(\displaystyle 999 \).
Per il primo ci devo pensare.
Nel secondo passaggio con m indichi il numero 999?
No, un m qualsiasi positivo. Intendevo solo dire che erano strettamente crescenti.
@oles
Beh tutti le basi $n$ per le quali la rappresentazione di $999$ inizia con $1$ te le ho scritte ... di sicuro tutte quelle superiori a $999/2$ (perché la base nel $999$ non ci può stare più di una volta) e ovviamente $n=2$ ... per le altre, pensaci ...
Cordialmente, Alex
Beh tutti le basi $n$ per le quali la rappresentazione di $999$ inizia con $1$ te le ho scritte ... di sicuro tutte quelle superiori a $999/2$ (perché la base nel $999$ non ci può stare più di una volta) e ovviamente $n=2$ ... per le altre, pensaci ...
Cordialmente, Alex
O grazie mille a tutti 
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