Aiuto Esercizio di Combinatoria e matematica discreta
Esercizio :
Descrivere $AnnB$ nei seguenti casi :
(a) $A$ è l'insieme dei numeri naturali pari, $B$ quello dei numeri naturali divisibili per $5$;
(b) $A = {x in ZZ | x = 2t, t in ZZ}$ , $B$ è l'insieme dei numeri primi;
Svolgimento della prima (a) :
Per prima cosa io definisco l'insieme $A$ in questa maniera , $A = { x in NN | x = 2*a, a in NN}$ in questa maniera qualsiasi numero che io prendo pari o dispari moltiplicato a $2$ ottengo sempre un numero pari.
Mentre l'insieme $B$ lo rappresento in questa maniera , $B = { x in NN | x = 5*a, a in NN }$ in questa maniera ottengo tutti i numeri che sono divisibili per $5$ .
L'esercizio chiede di descrivere $AnnB$ , il simbolo $nn$ significa intersezione di $A$ e $B$ è l'insieme di tutti gli oggetti che si trovano sia in $A$ sia in $B$. È indicata da $AnnB$.
Ora la mia domanda che mi faccio quali sono i numeri in comune tra l'insieme $A$ e l'insieme $B$ ?
Rispondo che l'insieme è costituito cosi : $AnnB = { x in NN | x = 5*2a , a in NN }$ .
Se faccio un esempio :
Insieme $A = { 2, 4, 6, 8, 10, ...., 20, ...,40,....}$
Insieme $B = { 5, 10, 15, 20, 25, ....,40, ...,60,....}$
Insieme $AnnB = { 20, 40, 60, 80, 100, ....}$
E' giusto come ragionamento ?!
Svolgimento della prima (b) :
$A = {x in ZZ | x = 2t, t in ZZ}$ , $B$ è l'insieme dei numeri primi;
Sappiamo che l'insieme $A$ è formato da tutti i numeri pari e sappiamo che $B$ è formato da tutti i numeri primi e sappiamo che il $2$ è l'unico numero pari primo e per tanto la sua intersezione è proprio lui.
Insieme $AnnB = { 2 }$
Che dite è accettabile come cosa?!
Grazie anticipatamente.
P.s. per i moderatori se ho sbagliato la sezione chiedo scusa.
Descrivere $AnnB$ nei seguenti casi :
(a) $A$ è l'insieme dei numeri naturali pari, $B$ quello dei numeri naturali divisibili per $5$;
(b) $A = {x in ZZ | x = 2t, t in ZZ}$ , $B$ è l'insieme dei numeri primi;
Svolgimento della prima (a) :
Per prima cosa io definisco l'insieme $A$ in questa maniera , $A = { x in NN | x = 2*a, a in NN}$ in questa maniera qualsiasi numero che io prendo pari o dispari moltiplicato a $2$ ottengo sempre un numero pari.
Mentre l'insieme $B$ lo rappresento in questa maniera , $B = { x in NN | x = 5*a, a in NN }$ in questa maniera ottengo tutti i numeri che sono divisibili per $5$ .
L'esercizio chiede di descrivere $AnnB$ , il simbolo $nn$ significa intersezione di $A$ e $B$ è l'insieme di tutti gli oggetti che si trovano sia in $A$ sia in $B$. È indicata da $AnnB$.
Ora la mia domanda che mi faccio quali sono i numeri in comune tra l'insieme $A$ e l'insieme $B$ ?
Rispondo che l'insieme è costituito cosi : $AnnB = { x in NN | x = 5*2a , a in NN }$ .
Se faccio un esempio :
Insieme $A = { 2, 4, 6, 8, 10, ...., 20, ...,40,....}$
Insieme $B = { 5, 10, 15, 20, 25, ....,40, ...,60,....}$
Insieme $AnnB = { 20, 40, 60, 80, 100, ....}$
E' giusto come ragionamento ?!
Svolgimento della prima (b) :
$A = {x in ZZ | x = 2t, t in ZZ}$ , $B$ è l'insieme dei numeri primi;
Sappiamo che l'insieme $A$ è formato da tutti i numeri pari e sappiamo che $B$ è formato da tutti i numeri primi e sappiamo che il $2$ è l'unico numero pari primo e per tanto la sua intersezione è proprio lui.
Insieme $AnnB = { 2 }$
Che dite è accettabile come cosa?!
Grazie anticipatamente.
P.s. per i moderatori se ho sbagliato la sezione chiedo scusa.
Risposte
Esercizio : (b)
Verificare quali delle seguenti applicazioni $f$ ( in cui $A$ è il dominio e $B$ il codominio, e $x$ è un elemento di $A$) sono iniettive, quali surriettive, quali biettive.
(b) $A = NN$ , $B= NN$, $f(x)=x^2$
Sia $f$ una funzione di $NN$ in $NN$ cosi definita $f(x)=x^2$ .
Graficamente la dobbiamo immaginare come una diagonale, quindi se prendiamo come parametri $x$ come domino e $y$ come codominio, otteniamo visivamente che ogni elemento di $x$ corrisponde uno e uno solo elemento di $y$ e quindi possiamo concludere che è Iniettiva .
Possiamo dire che è Surriettiva perché per ogni elemento di $B$ corrisponde a un elemento di $A$ e quindi è verificata la condizione.
Se non lo vogliamo vedere visivamente possiamo fare delle prove e vedere che tutti gli elementi di $A$ corrispondono a elementi distinti in $B$ come :
$f(1) = 1 , f(2) = 4, f(3) = 9$ ecc..
Aggiungo dicendo che è Biettiva perché è sia Surriettiva e Iniettiva
ATTENZIONE : Posso concludere nel dire questo perché pariamo dell'insieme dei Naturali $NN$.
Verificare quali delle seguenti applicazioni $f$ ( in cui $A$ è il dominio e $B$ il codominio, e $x$ è un elemento di $A$) sono iniettive, quali surriettive, quali biettive.
(b) $A = NN$ , $B= NN$, $f(x)=x^2$
Sia $f$ una funzione di $NN$ in $NN$ cosi definita $f(x)=x^2$ .
Graficamente la dobbiamo immaginare come una diagonale, quindi se prendiamo come parametri $x$ come domino e $y$ come codominio, otteniamo visivamente che ogni elemento di $x$ corrisponde uno e uno solo elemento di $y$ e quindi possiamo concludere che è Iniettiva .
Possiamo dire che è Surriettiva perché per ogni elemento di $B$ corrisponde a un elemento di $A$ e quindi è verificata la condizione.
Se non lo vogliamo vedere visivamente possiamo fare delle prove e vedere che tutti gli elementi di $A$ corrispondono a elementi distinti in $B$ come :
$f(1) = 1 , f(2) = 4, f(3) = 9$ ecc..
Aggiungo dicendo che è Biettiva perché è sia Surriettiva e Iniettiva
ATTENZIONE : Posso concludere nel dire questo perché pariamo dell'insieme dei Naturali $NN$.
Esercizio (c) :
Verificare quali delle seguenti applicazioni $f$ ( in cui $A$ è il dominio e $B$ il codominio, e $x$ è un elemento di $A$) sono iniettive, quali surriettive, quali biettive.
(c) $A = ZZ$ , $B= ZZ$, $f(x)=x^2$
Sia $f$ una funzione di $ZZ$ in $ZZ$ codi definita $f(x)=x^2$.
Di primo impatto possiamo dire che è Surriettiva perché se presi due numeri distinti esempio $x_1=1$ e $x_2=-1$ otteniamo che $f(x_1)=f(1)=1$ e che $f(x_2)=f(-1)=1$ , quindi possiamo concludere che $AAAbinBEEainA:f(A)=B$ e che quindi rispecchia la condizione Surriettiva.
Possiamo dire che NON è Iniettiva e NON è Biettiva.
Penso che di conseguenza le funzioni :
(d) $A = RR$ , $B= RR$, $f(x)=x^2$ NON E' SURRIETTIVA, NON E' INIETTIVA, NON E' BIETTIVA ? (Non sono sicuro che è corretta)
(e) $A = CC$ , $B= CC$, $f(x)=x^2$ E' SURRIETTIVA, NON E' INIETTIVA, NON E' BIETTIVA ? (Non sono sicuro che è corretta)
P.S.Corretto grazie a Kashaman
Verificare quali delle seguenti applicazioni $f$ ( in cui $A$ è il dominio e $B$ il codominio, e $x$ è un elemento di $A$) sono iniettive, quali surriettive, quali biettive.
(c) $A = ZZ$ , $B= ZZ$, $f(x)=x^2$
Sia $f$ una funzione di $ZZ$ in $ZZ$ codi definita $f(x)=x^2$.
Di primo impatto possiamo dire che è Surriettiva perché se presi due numeri distinti esempio $x_1=1$ e $x_2=-1$ otteniamo che $f(x_1)=f(1)=1$ e che $f(x_2)=f(-1)=1$ , quindi possiamo concludere che $AAAbinBEEainA:f(A)=B$ e che quindi rispecchia la condizione Surriettiva.
Possiamo dire che NON è Iniettiva e NON è Biettiva.
Penso che di conseguenza le funzioni :
(d) $A = RR$ , $B= RR$, $f(x)=x^2$ NON E' SURRIETTIVA, NON E' INIETTIVA, NON E' BIETTIVA ? (Non sono sicuro che è corretta)
(e) $A = CC$ , $B= CC$, $f(x)=x^2$ E' SURRIETTIVA, NON E' INIETTIVA, NON E' BIETTIVA ? (Non sono sicuro che è corretta)
P.S.Corretto grazie a Kashaman
"Davide1986":
Penso che di conseguenza le funzioni :
(d) $A = RR$ , $B= RR$, $f(x)=x^2$ E' SURRIETTIVA, NON E' INIETTIVA, NON E' BIETTIVA ? (Non sono sicuro che è corretta)
(e) $A = CC$ , $B= CC$, $f(x)=x^2$ E' SURRIETTIVA, NON E' INIETTIVA, NON E' BIETTIVA ? (Non sono sicuro che è corretta)
la $d) $ è corretta infatti $f(-1)=f(1)=1$ e quindi non è ingettiva. e ad esempio $-1$ non ha controimmagine quindi non è manco suriettiva.
la e è parzialmente giusta.
Non è iniettiva ma è suriettiva.
infatti in $CC$ ogni equazione del tipo $x^2=k$ con $k<0$ è risolubile.
Ricapitolando :
la (d) NON E' SURRIETTIVA
la (e) E' SURRIETTIVA
Giusto, ho capito bene?!
P.S. Grazie Mille Kashaman
la (d) NON E' SURRIETTIVA
la (e) E' SURRIETTIVA
Giusto, ho capito bene?!
P.S. Grazie Mille
Kashaman
si.
nota interessante :
la suriettività della e dipende dal fatto che $CC$ è un campo algebricamente chiuso
nota interessante :
la suriettività della e dipende dal fatto che $CC$ è un campo algebricamente chiuso
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