Aiuto Esercizio di Combinatoria e matematica discreta
Esercizio :
Descrivere $AnnB$ nei seguenti casi :
(a) $A$ è l'insieme dei numeri naturali pari, $B$ quello dei numeri naturali divisibili per $5$;
(b) $A = {x in ZZ | x = 2t, t in ZZ}$ , $B$ è l'insieme dei numeri primi;
Svolgimento della prima (a) :
Per prima cosa io definisco l'insieme $A$ in questa maniera , $A = { x in NN | x = 2*a, a in NN}$ in questa maniera qualsiasi numero che io prendo pari o dispari moltiplicato a $2$ ottengo sempre un numero pari.
Mentre l'insieme $B$ lo rappresento in questa maniera , $B = { x in NN | x = 5*a, a in NN }$ in questa maniera ottengo tutti i numeri che sono divisibili per $5$ .
L'esercizio chiede di descrivere $AnnB$ , il simbolo $nn$ significa intersezione di $A$ e $B$ è l'insieme di tutti gli oggetti che si trovano sia in $A$ sia in $B$. È indicata da $AnnB$.
Ora la mia domanda che mi faccio quali sono i numeri in comune tra l'insieme $A$ e l'insieme $B$ ?
Rispondo che l'insieme è costituito cosi : $AnnB = { x in NN | x = 5*2a , a in NN }$ .
Se faccio un esempio :
Insieme $A = { 2, 4, 6, 8, 10, ...., 20, ...,40,....}$
Insieme $B = { 5, 10, 15, 20, 25, ....,40, ...,60,....}$
Insieme $AnnB = { 20, 40, 60, 80, 100, ....}$
E' giusto come ragionamento ?!
Svolgimento della prima (b) :
$A = {x in ZZ | x = 2t, t in ZZ}$ , $B$ è l'insieme dei numeri primi;
Sappiamo che l'insieme $A$ è formato da tutti i numeri pari e sappiamo che $B$ è formato da tutti i numeri primi e sappiamo che il $2$ è l'unico numero pari primo e per tanto la sua intersezione è proprio lui.
Insieme $AnnB = { 2 }$
Che dite è accettabile come cosa?!
Grazie anticipatamente.
P.s. per i moderatori se ho sbagliato la sezione chiedo scusa.
Descrivere $AnnB$ nei seguenti casi :
(a) $A$ è l'insieme dei numeri naturali pari, $B$ quello dei numeri naturali divisibili per $5$;
(b) $A = {x in ZZ | x = 2t, t in ZZ}$ , $B$ è l'insieme dei numeri primi;
Svolgimento della prima (a) :
Per prima cosa io definisco l'insieme $A$ in questa maniera , $A = { x in NN | x = 2*a, a in NN}$ in questa maniera qualsiasi numero che io prendo pari o dispari moltiplicato a $2$ ottengo sempre un numero pari.
Mentre l'insieme $B$ lo rappresento in questa maniera , $B = { x in NN | x = 5*a, a in NN }$ in questa maniera ottengo tutti i numeri che sono divisibili per $5$ .
L'esercizio chiede di descrivere $AnnB$ , il simbolo $nn$ significa intersezione di $A$ e $B$ è l'insieme di tutti gli oggetti che si trovano sia in $A$ sia in $B$. È indicata da $AnnB$.
Ora la mia domanda che mi faccio quali sono i numeri in comune tra l'insieme $A$ e l'insieme $B$ ?
Rispondo che l'insieme è costituito cosi : $AnnB = { x in NN | x = 5*2a , a in NN }$ .
Se faccio un esempio :
Insieme $A = { 2, 4, 6, 8, 10, ...., 20, ...,40,....}$
Insieme $B = { 5, 10, 15, 20, 25, ....,40, ...,60,....}$
Insieme $AnnB = { 20, 40, 60, 80, 100, ....}$
E' giusto come ragionamento ?!
Svolgimento della prima (b) :
$A = {x in ZZ | x = 2t, t in ZZ}$ , $B$ è l'insieme dei numeri primi;
Sappiamo che l'insieme $A$ è formato da tutti i numeri pari e sappiamo che $B$ è formato da tutti i numeri primi e sappiamo che il $2$ è l'unico numero pari primo e per tanto la sua intersezione è proprio lui.
Insieme $AnnB = { 2 }$
Che dite è accettabile come cosa?!
Grazie anticipatamente.
P.s. per i moderatori se ho sbagliato la sezione chiedo scusa.
Risposte
Il secondo è giusto.
Nel primo invece c'è qualcosa che non va: sarai d'accordo con me che anche $10$ appartiene a $A nn B$. E anche $30$, anche $50$,...
Nel primo invece c'è qualcosa che non va: sarai d'accordo con me che anche $10$ appartiene a $A nn B$. E anche $30$, anche $50$,...
Giusto che stupido quindi la forma corretta è questa :$ AnnB={x in NN | x= 5⋅2a,ainNN}$
Adesso è coretto?!
Grazie mille.
Adesso è coretto?!
Grazie mille.
Ora è tutto corretto. Ciao
Esercizio :
Se $AuuB=A$, a cosa è uguale $AnnB$?E se $AuuB=AnnB$ allora ...
Per rispondere alla prima domanda facciamo un ripasso di teoria:
Definizione di $AuuB$ : Sia $A$ e $B$ due insiemi. Diciamo unione di $A$ e $B$ e la indichiamo con $AuuB$ l'insieme formato da tutti gli elementi appartenenti ad $A$ oppure $B$ o ad entrambi.
Per definizione si sa che $AuuB = { x : x in A vv x in B }$
Definizione di $AnnB$ : Sia $A$ e $B$ due insiemi. Diciamo intersezione di $A$ e $B$ e la indichiamo con $AnnB$ l'insieme formato da tutti gli elementi comuni ad $A$ e $B$.
Per definizione si sa che $AnnB = { x : x in A ^^ x in B }$
Prima Domanda : Se $AuuB=A$, a cosa è uguale $AnnB$?
Quindi possiamo dire che : Se $AuuB=A$, a cosa è uguale $AnnB$? io risponderei $A$ .
Perché se l'insieme $AuuB$ mi da l'insieme $A$ significa che l'insieme $B$ coincide all'insieme $A$ quindi i due insiemi sono uguali $B=A$ e se questi due insiemi sono uguali posso concludere che l'insieme Intersezione $AnnB = A$ .
Perché come abbiamo visto nella definizione l'insieme intersezione contiene tutti gli elementi in comune ad $A$ e $B$
Seconda Domanda E se $AuuB=AnnB$ allora ...
Ricordando che :
$AuuB = { x : x in A vv x in B } $
$AnnB = { x : x in A ^^ x in B } $
Posso dire che se $AuuB=AnnB$ allora si a come risultato l'insieme $A$
Non sono sicuro se il mio ragionamento è corretto chiedo a voi di aiutarmi.
Saluti e grazie mille dell'aiuto che mi state dando.
Se $AuuB=A$, a cosa è uguale $AnnB$?E se $AuuB=AnnB$ allora ...
Per rispondere alla prima domanda facciamo un ripasso di teoria:
Definizione di $AuuB$ : Sia $A$ e $B$ due insiemi. Diciamo unione di $A$ e $B$ e la indichiamo con $AuuB$ l'insieme formato da tutti gli elementi appartenenti ad $A$ oppure $B$ o ad entrambi.
Per definizione si sa che $AuuB = { x : x in A vv x in B }$
Definizione di $AnnB$ : Sia $A$ e $B$ due insiemi. Diciamo intersezione di $A$ e $B$ e la indichiamo con $AnnB$ l'insieme formato da tutti gli elementi comuni ad $A$ e $B$.
Per definizione si sa che $AnnB = { x : x in A ^^ x in B }$
Prima Domanda : Se $AuuB=A$, a cosa è uguale $AnnB$?
Quindi possiamo dire che : Se $AuuB=A$, a cosa è uguale $AnnB$? io risponderei $A$ .
Perché se l'insieme $AuuB$ mi da l'insieme $A$ significa che l'insieme $B$ coincide all'insieme $A$ quindi i due insiemi sono uguali $B=A$ e se questi due insiemi sono uguali posso concludere che l'insieme Intersezione $AnnB = A$ .
Perché come abbiamo visto nella definizione l'insieme intersezione contiene tutti gli elementi in comune ad $A$ e $B$
Seconda Domanda E se $AuuB=AnnB$ allora ...
Ricordando che :
$AuuB = { x : x in A vv x in B } $
$AnnB = { x : x in A ^^ x in B } $
Posso dire che se $AuuB=AnnB$ allora si a come risultato l'insieme $A$
Non sono sicuro se il mio ragionamento è corretto chiedo a voi di aiutarmi.
Saluti e grazie mille dell'aiuto che mi state dando.
Per questa domanda, forse sbaglio, sono di fretta, però vedila così
Se $A uu B = A$
significa che $B sube A$ , giusto?
quindi $A nn B = B$
Se $A uu B = A$
significa che $B sube A$ , giusto?
quindi $A nn B = B$
Tu vuoi dire con $BsubeA iff ( AA b in B => b in A )$ quindi se abbiamo detto che $AuuB=A$ e che gli elementi di $B$ sono anche in $A$ otteniamo nell'elemento di intersezione $AnnB=B$ cioè tutti gli elementi in comune con $A$ e $B$ .
Esempio :
$A={ x: x in ZZ}$
$B={ x: x in NN}$
Se faccio $AuuB=A$ perché l'insieme $ZZ$ contiene tutto $NN$ e se faccio l'intersezione ottengo $AnnB=B$ quindi l'insime $NN$ è giusto come ragionamento?! o è totalmente sbagliato?!
Esempio :
$A={ x: x in ZZ}$
$B={ x: x in NN}$
Se faccio $AuuB=A$ perché l'insieme $ZZ$ contiene tutto $NN$ e se faccio l'intersezione ottengo $AnnB=B$ quindi l'insime $NN$ è giusto come ragionamento?! o è totalmente sbagliato?!
va bene.
Penso valga una doppia equivalenza.
Siano $A,B$ insiemi .
Allora
$A uu B = A <=> A nn B = B$ .
Domanda
Siano $H= { x | x=2k , k in ZZ}$
e $J= {x | x= 2f+1 , f in ZZ}$
chi è
$H uu J$ e chi è $ H nn J$?
Penso valga una doppia equivalenza.
Siano $A,B$ insiemi .
Allora
$A uu B = A <=> A nn B = B$ .
Domanda
Siano $H= { x | x=2k , k in ZZ}$
e $J= {x | x= 2f+1 , f in ZZ}$
chi è
$H uu J$ e chi è $ H nn J$?
Scusami non avevo visto la tua Domanda :
Adesso Rispondo :
Domanda : Siano $H={x|x=2k,kinZZ}$ e $J={x|x=2f+1,finZZ}$ chi è $HuuJ$ e chi è $HnnJ$?
L'insieme $H$ contiene tutti i numeri pari e l'insieme $J$ contiene i numeri dispari . Quindi se faccio l'unione $HuuJ$ significa che è proprio tutto $ZZ$ quindi $HuuJ=ZZ$ ma se io faccio $HnnJ$ quindi devo prendere tutte le $ x in A$ e $x in B$ e mi verrebbe da dire insieme vuoto. Perché un insieme pari meno un insieme dispari non hanno niente in comune.
Esercizio :
Siano $A = {a,b}$ e $B={x,y,z}$
Descrivere esplicitamente $A x A$ , $B x B$, $A x B$ .
$A x B = { (a,x) ; (a,y) ; (a,z) ; (b,x) ; (b,y) ; (b,z) }$
Per fare la verifica di quante coppie devo scrivere per $A x B$ faccio $2*3=6$ e ottengo le combinazioni che devo ottenere.
$A x A = { (a,a) ; (a,b) ; (b,a) ; (b,b) }$
Per fare la verifica di quante coppie devo scrivere per $A x A$ faccio $2*2=4$ e ottengo le combinazioni che devo ottenere.
$B x B = { (x,x) ; (x,y) ; (x,z) ; (y,x) ; (y,y) ; (y,z) ; (z,x) ; (z,y) ; (z,z) }$
Per fare la verifica di quante coppie devo scrivere per $B x B$ faccio $3*3=9$ e ottengo le combinazioni che devo ottenere.
Adesso Rispondo :
Domanda : Siano $H={x|x=2k,kinZZ}$ e $J={x|x=2f+1,finZZ}$ chi è $HuuJ$ e chi è $HnnJ$?
L'insieme $H$ contiene tutti i numeri pari e l'insieme $J$ contiene i numeri dispari . Quindi se faccio l'unione $HuuJ$ significa che è proprio tutto $ZZ$ quindi $HuuJ=ZZ$ ma se io faccio $HnnJ$ quindi devo prendere tutte le $ x in A$ e $x in B$ e mi verrebbe da dire insieme vuoto. Perché un insieme pari meno un insieme dispari non hanno niente in comune.
Esercizio :
Siano $A = {a,b}$ e $B={x,y,z}$
Descrivere esplicitamente $A x A$ , $B x B$, $A x B$ .
$A x B = { (a,x) ; (a,y) ; (a,z) ; (b,x) ; (b,y) ; (b,z) }$
Per fare la verifica di quante coppie devo scrivere per $A x B$ faccio $2*3=6$ e ottengo le combinazioni che devo ottenere.
$A x A = { (a,a) ; (a,b) ; (b,a) ; (b,b) }$
Per fare la verifica di quante coppie devo scrivere per $A x A$ faccio $2*2=4$ e ottengo le combinazioni che devo ottenere.
$B x B = { (x,x) ; (x,y) ; (x,z) ; (y,x) ; (y,y) ; (y,z) ; (z,x) ; (z,y) ; (z,z) }$
Per fare la verifica di quante coppie devo scrivere per $B x B$ faccio $3*3=9$ e ottengo le combinazioni che devo ottenere.
entrambi gli esercizi sono corretti. Bravissimo.
Sapresti spiegare perché se $A$ ha $n$ elementi, $B$ ne ha $m$ , $A\timesB$ ne ha $n*m$?
Sapresti spiegare perché se $A$ ha $n$ elementi, $B$ ne ha $m$ , $A\timesB$ ne ha $n*m$?
Ci provo a spiegarlo.
Abbiamo l'insieme $A$ composto da $n$ elementi e l'insieme $B$ formato da $m$ elementi , quindi il mio obbiettivo è di formare tutte le possibili coppie $(m,n)$ tra gli elementi di $A$ e $B$ .
Non so proprio come spiegarlo.. aiutino..
Abbiamo l'insieme $A$ composto da $n$ elementi e l'insieme $B$ formato da $m$ elementi , quindi il mio obbiettivo è di formare tutte le possibili coppie $(m,n)$ tra gli elementi di $A$ e $B$ .
Non so proprio come spiegarlo.. aiutino..
allora
$A\timesB={(a,b) | a in A ^^ b in B}$
in quanti modi puoi scegliere $A$ e in quanti $B$?
$A\timesB={(a,b) | a in A ^^ b in B}$
in quanti modi puoi scegliere $A$ e in quanti $B$?
Teoria - Prodotto Cartesiano :
Definizione : Diciamo coppia ordinata e la indichiamo con $(a,b)$ una coppia di oggetti, non necessariamente distinti, dove $a$ è il primo oggetto e $b$ il secondo oggetto.
Ci dobbiamo ricordare che è importante l'ordine con il quale gli elementi della coppia sono scritti tra le due parentesi tonde.
Definizione : Siano $A$ e $B$ due insiemi. Diciamo prodotto cartesiano di $A$ e $B$ e lo indichiamo con $A x B$ l'insieme di tutte le coppie ordinate $(a,b)$ dove $a in A$ e $b in B$
Quindi alla domanda : in quanti modi puoi scegliere $A$ e in quanti $B$?
Risponderei : Posso scegliere $A$ per il massimo numero di elementi che è costituito l'insieme e quindi $n$ e posso scegliere $B$ per $m$ elementi che lo costituiscono.
Definizione : Diciamo coppia ordinata e la indichiamo con $(a,b)$ una coppia di oggetti, non necessariamente distinti, dove $a$ è il primo oggetto e $b$ il secondo oggetto.
Ci dobbiamo ricordare che è importante l'ordine con il quale gli elementi della coppia sono scritti tra le due parentesi tonde.
Definizione : Siano $A$ e $B$ due insiemi. Diciamo prodotto cartesiano di $A$ e $B$ e lo indichiamo con $A x B$ l'insieme di tutte le coppie ordinate $(a,b)$ dove $a in A$ e $b in B$
Quindi alla domanda : in quanti modi puoi scegliere $A$ e in quanti $B$?
Risponderei : Posso scegliere $A$ per il massimo numero di elementi che è costituito l'insieme e quindi $n$ e posso scegliere $B$ per $m$ elementi che lo costituiscono.
"Davide1986":
Teoria - Prodotto Cartesiano :
Definizione : Diciamo coppia ordinata e la indichiamo con $(a,b)$ una coppia di oggetti, non necessariamente distinti, dove $a$ è il primo oggetto e $b$ il secondo oggetto.
Ci dobbiamo ricordare che è importante l'ordine con il quale gli elementi della coppia sono scritti tra le due parentesi tonde.
Definizione : Siano $A$ e $B$ due insiemi. Diciamo prodotto cartesiano di $A$ e $B$ e lo indichiamo con $A x B$ l'insieme di tutte le coppie ordinate $(a,b)$ dove $a in A$ e $b in B$
Quindi alla domanda : in quanti modi puoi scegliere $A$ e in quanti $B$?
Risponderei : Posso scegliere $A$ per il massimo numero di elementi che è costituito l'insieme e quindi $n$ e posso scegliere $B$ per $m$ elementi che lo costituiscono.
sì , e quindi hai $n*m$ combinazioni di $a^^b$ e quindi $n*m$ enuple del tipo $(a,b)$
Un'altro esercizio per divertirci :
Sia $P(A)$ l'insieme delle parti dell'insieme A. Descrivere esplicitamente $P({x,y,z})$. Quanti elementi ha $P({x,y,z})$?
Teoria :
Definizione : Sia $A$ un insieme qualsiasi. Diciamo insieme delle parti di $A$ e lo indichiamo con $P(A)$ l'insieme formato da tutti i sottoinsiemi, propri e impropri di $A$.
Ricordiamo che l'insieme delle parti è detto anche insieme potenza. Questa denominazione è dovuta dal fatto che se l'insieme $A$ ha $n$ elementi allora l'insieme delle parti $P(A)$ ha $2^n$ elementi.
Svolgimento Esercizio :
Definiamo $A={x,y,z}$ quindi $P(A)={{x},{y},{z},{x,y},{x,z},{y,z},{\emptyset},A}.$
Per rispondere alla domanda : Quanti elementi ha $P({x,y,z})$? Rispondo ne ha $2^n=2^3=8$ elementi.
Sia $P(A)$ l'insieme delle parti dell'insieme A. Descrivere esplicitamente $P({x,y,z})$. Quanti elementi ha $P({x,y,z})$?
Teoria :
Definizione : Sia $A$ un insieme qualsiasi. Diciamo insieme delle parti di $A$ e lo indichiamo con $P(A)$ l'insieme formato da tutti i sottoinsiemi, propri e impropri di $A$.
Ricordiamo che l'insieme delle parti è detto anche insieme potenza. Questa denominazione è dovuta dal fatto che se l'insieme $A$ ha $n$ elementi allora l'insieme delle parti $P(A)$ ha $2^n$ elementi.
Svolgimento Esercizio :
Definiamo $A={x,y,z}$ quindi $P(A)={{x},{y},{z},{x,y},{x,z},{y,z},{\emptyset},A}.$
Per rispondere alla domanda : Quanti elementi ha $P({x,y,z})$? Rispondo ne ha $2^n=2^3=8$ elementi.
mi sembra ok.
Comunque vale un risultato generale .
Sia $A$ un insieme con $n$ elementi. E sia $P(A)$ l'insieme delle sue parti allora $P(A)$ ha $2^n$ elementi.
prova a dimostrarlo
hint
Comunque vale un risultato generale .
Sia $A$ un insieme con $n$ elementi. E sia $P(A)$ l'insieme delle sue parti allora $P(A)$ ha $2^n$ elementi.
prova a dimostrarlo
hint
Vediamo quello che ho capito dallo studio :
Sia $A$ un insieme con n elementi (quindi un insieme finito di elementi). E sia $P(A)$ l'insieme delle sue parti allora $P(A) = 2^n$ elementi .
Proviamo a dimostrarlo :
Caso Base :
Sia $n=0$ e $A=\emptyset$ otteniamo $P(A)={{\emptyset}} => P(A) = 2^0 => P(A) = 1$ Condizione vera perché vi è un solo elemento, l'elemento che rappresenta l'insieme $\emptyset$ .
Sia $n>0$ e supponiamo vera che $A$ è un insieme formato da $n-1$ elementi, allora $P(A)=2^(n-1)$ .
Ipotizziamo che $A = n >0$ segue che $n!= \emptyset $ e quindi ammette almeno un elemento. Sia $x_0$ un elemento dell'insieme. Ci dobbiamo ricordare che i sottoinsiemi di $A$ posso o non possono contenere $x_0$ , quindi si vanno a studiare :
I sottoinsiemi che non contengono $x_0$, sono sottoinsiemi di $A\{x_0}$ segue che $A\\{x_0} = n -1$, tali sottoinsiemi sono, per l'ipotesi induttiva $2^n-1$
I sottoinsiemi che contengono $x_0$, sono sottoinsiemi di $G uuu {x_0}$ con $G$ sottoinsieme di $A\\{x_0}$ , quindi anche tali sottoinsiemi sono, per ipotesi induttiva $2^(n-1)$ .
Quindi i sottoinsiemi di $A$ sono in tutto $2^(n-1) + 2^(n-1) = 2*2^(n-1) = 2^n$ .
Sia $A$ un insieme con n elementi (quindi un insieme finito di elementi). E sia $P(A)$ l'insieme delle sue parti allora $P(A) = 2^n$ elementi .
Proviamo a dimostrarlo :
Caso Base :
Sia $n=0$ e $A=\emptyset$ otteniamo $P(A)={{\emptyset}} => P(A) = 2^0 => P(A) = 1$ Condizione vera perché vi è un solo elemento, l'elemento che rappresenta l'insieme $\emptyset$ .
Sia $n>0$ e supponiamo vera che $A$ è un insieme formato da $n-1$ elementi, allora $P(A)=2^(n-1)$ .
Ipotizziamo che $A = n >0$ segue che $n!= \emptyset $ e quindi ammette almeno un elemento. Sia $x_0$ un elemento dell'insieme. Ci dobbiamo ricordare che i sottoinsiemi di $A$ posso o non possono contenere $x_0$ , quindi si vanno a studiare :
I sottoinsiemi che non contengono $x_0$, sono sottoinsiemi di $A\{x_0}$ segue che $A\\{x_0} = n -1$, tali sottoinsiemi sono, per l'ipotesi induttiva $2^n-1$
I sottoinsiemi che contengono $x_0$, sono sottoinsiemi di $G uuu {x_0}$ con $G$ sottoinsieme di $A\\{x_0}$ , quindi anche tali sottoinsiemi sono, per ipotesi induttiva $2^(n-1)$ .
Quindi i sottoinsiemi di $A$ sono in tutto $2^(n-1) + 2^(n-1) = 2*2^(n-1) = 2^n$ .
mi sembra ok.
"Kashaman":
mi sembra ok.
Comunque vale un risultato generale .
Sia $A$ un insieme con $n$ elementi. E sia $P(A)$ l'insieme delle sue parti allora $P(A)$ ha $2^n$ elementi.
prova a dimostrarlo
hint
Ci provo pure io
Ops, Davide hai postato mentre io ancora scrivevo
Esercizio :
Verificare quali delle seguenti applicazioni $f$ ( in cui $A$ è il dominio e $B$ il codominio, e $x$ è un elemento di $A$) sono iniettive, quali surriettive, quali biettive.
(a) $A={$mesi dell'anno$}$ , $B={$lettere dell'alfabeto italiano$}$ , $f(x)=$ lettera con cui inizia il nome di $x$
(b) $A = NN$ , $B= NN$, $f(x)=x^2$
(c) $A = ZZ$ , $B= ZZ$, $f(x)=x^2$
(d) $A = RR$ , $B= RR$, $f(x)=x^2$
(e) $A = CC$ , $B= CC$, $f(x)=x^2$
Teoria :
SURRIETTIVA
Definizione : Sia $f$ una funzione di $A$ in $B$ con $domf = A$. Diciamo che $f$ è surriettiva se per ogni $b in B$ esiste almeno una $a in A$ tale che $b=f(a)$ .
$AAbinBEEainA:f(a)=b$
Quindi ogni elemento di $B$ è immagine di almeno un elemento di $A$ => $f(A)=B$ .
INIETTIVA
Definizione : Sia $f$ una funzione di $A$ in $B$ con $domf = A$. Diciamo che $f$ è iniettiva se presi due qualsiasi elementi distinti di $A$, $x_1$ e $x_2$ , risulta $f(x_1) != f(x_2)$.
In altre parole ciò che la definizione assicura è che elementi distinti di $A$ abbiano immagini distinte.
$x_1 != x_2 => f(x_1) != f(x_2)$
BIETTIVA
Definizione : Sia $f$ una funzione di $A$ in $B$. Diciamo che $f$ è biettiva se essa è allo stesso tempo suriettiva e iniettiva. A elementi distinti corrispondono immagini distinte.
SVOLGIMENTO :
(a) $A={$mesi dell'anno$}$ , $B={$lettere dell'alfabeto italiano$}$ , $f(x)=$ lettera con cui inizia il nome di $x$
L'insieme è costituito dai seguenti elementi $A={$ "Gennaio", "Febbraio", "Marzo", "Aprile", "Maggio", "Giugno", "Luglio", "Agosto", "Settembre", "Ottobre", "Novembre", "Dicembre" $}$
L'insieme $B$ è formato da tutte le lettere dell'alfabeto italiano
Prima considerazione non è Iniettiva perché se prendo due elementi distinti di $A$, $x_1 , x_2$ precisamente Maggio e Marzo e li passo alla funzione ottengo come risultato che puntano allo stesso elemento di $B$ precisamente alla lettera $M$ e quindi non rispetta la condizione di iniettiva che dice che ogni elemento di $A$ deve corrispondere un elemento ben preciso di $B$ .
Quindi posso dire che non è neanche Biettiva .
Verifichiamo se è Surriettiva, quindi $AAbinBEEainA:f(a)=b$ verifichiamo :
Se prendiamo come elemento la lettera dell'alfabeto italiano "c" deve corrispondere a un elemento che si trova nell'insieme $A$ ma questo non è vero perché non esiste nessun mese che inizia con la lettera $C$ , quindi possiamo concludere che è Falsa.
In conclusione NON è Surriettiva, NON è Iniettiva, NON è Biettiva.
Ora procedo con gli altri esercizi.
Verificare quali delle seguenti applicazioni $f$ ( in cui $A$ è il dominio e $B$ il codominio, e $x$ è un elemento di $A$) sono iniettive, quali surriettive, quali biettive.
(a) $A={$mesi dell'anno$}$ , $B={$lettere dell'alfabeto italiano$}$ , $f(x)=$ lettera con cui inizia il nome di $x$
(b) $A = NN$ , $B= NN$, $f(x)=x^2$
(c) $A = ZZ$ , $B= ZZ$, $f(x)=x^2$
(d) $A = RR$ , $B= RR$, $f(x)=x^2$
(e) $A = CC$ , $B= CC$, $f(x)=x^2$
Teoria :
SURRIETTIVA
Definizione : Sia $f$ una funzione di $A$ in $B$ con $domf = A$. Diciamo che $f$ è surriettiva se per ogni $b in B$ esiste almeno una $a in A$ tale che $b=f(a)$ .
$AAbinBEEainA:f(a)=b$
Quindi ogni elemento di $B$ è immagine di almeno un elemento di $A$ => $f(A)=B$ .
INIETTIVA
Definizione : Sia $f$ una funzione di $A$ in $B$ con $domf = A$. Diciamo che $f$ è iniettiva se presi due qualsiasi elementi distinti di $A$, $x_1$ e $x_2$ , risulta $f(x_1) != f(x_2)$.
In altre parole ciò che la definizione assicura è che elementi distinti di $A$ abbiano immagini distinte.
$x_1 != x_2 => f(x_1) != f(x_2)$
BIETTIVA
Definizione : Sia $f$ una funzione di $A$ in $B$. Diciamo che $f$ è biettiva se essa è allo stesso tempo suriettiva e iniettiva. A elementi distinti corrispondono immagini distinte.
SVOLGIMENTO :
(a) $A={$mesi dell'anno$}$ , $B={$lettere dell'alfabeto italiano$}$ , $f(x)=$ lettera con cui inizia il nome di $x$
L'insieme è costituito dai seguenti elementi $A={$ "Gennaio", "Febbraio", "Marzo", "Aprile", "Maggio", "Giugno", "Luglio", "Agosto", "Settembre", "Ottobre", "Novembre", "Dicembre" $}$
L'insieme $B$ è formato da tutte le lettere dell'alfabeto italiano
Prima considerazione non è Iniettiva perché se prendo due elementi distinti di $A$, $x_1 , x_2$ precisamente Maggio e Marzo e li passo alla funzione ottengo come risultato che puntano allo stesso elemento di $B$ precisamente alla lettera $M$ e quindi non rispetta la condizione di iniettiva che dice che ogni elemento di $A$ deve corrispondere un elemento ben preciso di $B$ .
Quindi posso dire che non è neanche Biettiva .
Verifichiamo se è Surriettiva, quindi $AAbinBEEainA:f(a)=b$ verifichiamo :
Se prendiamo come elemento la lettera dell'alfabeto italiano "c" deve corrispondere a un elemento che si trova nell'insieme $A$ ma questo non è vero perché non esiste nessun mese che inizia con la lettera $C$ , quindi possiamo concludere che è Falsa.
In conclusione NON è Surriettiva, NON è Iniettiva, NON è Biettiva.
Ora procedo con gli altri esercizi.
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