Aiuto esercizio con congruenza
Salve ho un problema con questo esercizio. Praticamente non saprei da dove iniziare. L'unica cosa che ho capito che
$a_n -= 0 mod 35$ ma non so poi come procedere. Ecco l'esercizio:
Per quali interi n il numero $a_n = n^24 − 4n^6 − 6n^4 + 24 in ZZ$ è un multiplo di 35?
Chi mi può dare una mano? Grazie
$a_n -= 0 mod 35$ ma non so poi come procedere. Ecco l'esercizio:
Per quali interi n il numero $a_n = n^24 − 4n^6 − 6n^4 + 24 in ZZ$ è un multiplo di 35?
Chi mi può dare una mano? Grazie
Risposte
ricorda che c'è un isomorfismo tra \(\displaystyle Z_x*_y\) e \(\displaystyle Z_x ⊕ Z_y\) quindi tra \(\displaystyle Z_35 e Z_5 ⊕ Z_7\).
quindi dividi il problema originale in due problemi \(\displaystyle a_n -= 0 mod 5, a_n -= 0 mod 7\) (come con il teorema cinese del resto).
Per la cronaca: quel sistema non ha soluzioni. Ha soluzioni se al posto di \(\displaystyle n^24\) consideri \(\displaystyle n^28\)
(scusate non so scrivere il simbolo di congruenza)
quindi dividi il problema originale in due problemi \(\displaystyle a_n -= 0 mod 5, a_n -= 0 mod 7\) (come con il teorema cinese del resto).
Per la cronaca: quel sistema non ha soluzioni. Ha soluzioni se al posto di \(\displaystyle n^24\) consideri \(\displaystyle n^28\)
(scusate non so scrivere il simbolo di congruenza)
"mgdiscreto":
ricorda che c'è un isomorfismo tra \(\displaystyle Z_x*_y\) e \(\displaystyle Z_x ⊕ Z_y\) quindi tra \(\displaystyle Z_35 e Z_5 ⊕ Z_7\).
quindi dividi il problema originale in due problemi \(\displaystyle a_n -= 0 mod 5, a_n -= 0 mod 7\) (come con il teorema cinese del resto).
Per la cronaca: quel sistema non ha soluzioni. Ha soluzioni se al posto di \(\displaystyle n^24\) consideri \(\displaystyle n^28\)
(scusate non so scrivere il simbolo di congruenza)
Grazie per la risposta, ma non ho capito nulla... potresti riscrivere in maniera più chiara ?
$n^(24)-=1\ mod 35$ (Teorema di Eulero) e quindi $a_n-=-6n^4-4n^6+25-=0\ mod 35$ potresti partire da qui
"dan95":
$n^(24)-=1\ mod 35$ (Teorema di Eulero) e quindi $a_n-=-6n^4-4n^6+25-=0\ mod 35$ potresti partire da qui
provo ad azzardare... dunque dovrei vedere se a questo punto il polinomio $a_n-=-6n^4-4n^6+25-=0\ mod 5$ e allo stesso tempo $a_n-=-6n^4-4n^6+25-=0\ mod 7$ esatto?
se parto con la congruenza mod 5
potrei avere $n^4(-4n^2-6)+25-=0mod5$ ma eulero mi dice che $n^4-=1mod5$ quindi il polinomio diventa $-4n^2-6+25-=0mod5$ ovvero $-4n^2+18-=0mod5$ di qui se pongo $-4n^2+18=0$ non avrò soluzioni multiple di 5 quindi $n^4(-4n^2-6)+25$ non è congruo $0 mod 5$ di conseguenza tutto il polinomio iniziale $a_n$ non sarà multiplo di 5 per nessun $n \in ZZ$ esatto? era questo che intendevate dire?
$a_n = n^24 − 4n^6 − 6n^4 + 24 $
se $n$ è multiplo di $7$ allora $a_n-= 3 (mod 7)$;
se $n$ non è multiplo di $7$ si ha $n^6 -=1 (mod 7)$, dunque $a_n-= 1-4+n^4+3=n^4 !=0(mod 7)$.
Dunque non ci sono soluzioni
P.S.: non è vero che modulo $5$ non ci sono soluzioni. Si ha $a_1= 1-4-6+24=15$
se $n$ è multiplo di $7$ allora $a_n-= 3 (mod 7)$;
se $n$ non è multiplo di $7$ si ha $n^6 -=1 (mod 7)$, dunque $a_n-= 1-4+n^4+3=n^4 !=0(mod 7)$.
Dunque non ci sono soluzioni
P.S.: non è vero che modulo $5$ non ci sono soluzioni. Si ha $a_1= 1-4-6+24=15$
Dire $a_n=n^24 -4n^6 -6n^4 +24 in ZZ$ è multiplo di $35$
equivale a dire $a_n=n^24 -4n^6 -6n^4 +24 -= 0$ $(mod35)$
Volendo trovare per quali $n$ questo è vero basta risolvere
$n^24 -4n^6 -6n^4 +24 -= 0$ $(35)$
Ma $35=5*7$ (e ovviamente $(5,7)=1$) quindi spezzo utilizzando il $\text{teorema cinese del resto}$:
$\{(n^24 -4n^6 -6n^4 +24 -= 0 (5)),(n^24 -4n^6 -6n^4 +24 -= 0 (7)):}$ $=>$ $\{(n^24 +n^6 -1n^4 -1 -= 0 (5)),(n^24 +3n^6 +n^4 +3 -= 0 (7)):}$
Considero per prima $n^24 +n^6 -1n^4 -1 -= 0$ $(5)$
Per Eulero $n^4-=1$ $(5)$ quindi ho $1 +n^2 -1*1 -1 -= 0$ $(5)$
$=>$ $n^2 -=1 (5)$ $=>$ $n-= 1, -1$ $(5)$
Adesso $n^24 +3n^6 +n^4 +3 -= 0$ $(7)$
Sempre per Eulero $n^6-=1$ $(7)$ quindi ho $1 +3*1 +n^4 +3 -= 0$ $(7)$
$=>$ $n^4 -= 0$ $(7)$ $=>$ $n -= 0$ $(7)$
Le due soluzioni sono quelle che risolvono i seguenti due sistemi:
$\{(n -= 1(5)),(n -= 0 (7)):}$ e $\{(n -= -1(5)),(n -= 0 (7)):}$
$=>$ $n-=3,14(35)$
equivale a dire $a_n=n^24 -4n^6 -6n^4 +24 -= 0$ $(mod35)$
Volendo trovare per quali $n$ questo è vero basta risolvere
$n^24 -4n^6 -6n^4 +24 -= 0$ $(35)$
Ma $35=5*7$ (e ovviamente $(5,7)=1$) quindi spezzo utilizzando il $\text{teorema cinese del resto}$:
$\{(n^24 -4n^6 -6n^4 +24 -= 0 (5)),(n^24 -4n^6 -6n^4 +24 -= 0 (7)):}$ $=>$ $\{(n^24 +n^6 -1n^4 -1 -= 0 (5)),(n^24 +3n^6 +n^4 +3 -= 0 (7)):}$
Considero per prima $n^24 +n^6 -1n^4 -1 -= 0$ $(5)$
Per Eulero $n^4-=1$ $(5)$ quindi ho $1 +n^2 -1*1 -1 -= 0$ $(5)$
$=>$ $n^2 -=1 (5)$ $=>$ $n-= 1, -1$ $(5)$
Adesso $n^24 +3n^6 +n^4 +3 -= 0$ $(7)$
Sempre per Eulero $n^6-=1$ $(7)$ quindi ho $1 +3*1 +n^4 +3 -= 0$ $(7)$
$=>$ $n^4 -= 0$ $(7)$ $=>$ $n -= 0$ $(7)$
Le due soluzioni sono quelle che risolvono i seguenti due sistemi:
$\{(n -= 1(5)),(n -= 0 (7)):}$ e $\{(n -= -1(5)),(n -= 0 (7)):}$
$=>$ $n-=3,14(35)$
@SaraSue: non è vero che $n^6-=1 (mod 7)$ per ogni $n$. Devi escludere i multipli di $7$.
Infatti non li sto considerando visto che quell'esponente in questo caso è l'ordine moltiplicativo di $n$ in $ZZ$/$7ZZ$*
(che non contiene lo $0$)
Il piccolo teorema di Fermat dice $a^(p-1) -=1 (p)$
ma una condizione di risolubilità è proprio $(a, p)=1$ quindi $a=1, 2, ..., p-1$
(visto che ci siamo ridotti al caso di moduli primi)
(che non contiene lo $0$)
Il piccolo teorema di Fermat dice $a^(p-1) -=1 (p)$
ma una condizione di risolubilità è proprio $(a, p)=1$ quindi $a=1, 2, ..., p-1$
(visto che ci siamo ridotti al caso di moduli primi)
Bene, allora non noti anche tu che qui
"SaraSue":c'è qualcosa che non va?
Adesso $n^24 +3n^6 +n^4 +3 -= 0$ $(7)$
Sempre per Eulero $n^6-=1$ $(7)$ quindi ho $1 +3*1 +n^4 +3 -= 0$ $(7)$
$=>$ $n^4 -= 0$ $(7)$ $=>$ $n -= 0$ $(7)$
Grazie SaraSue, la tua spiegazione è stata molto chiara, solo una cosa non ho capito
la soluzione di $\{(n -= 1(5)),(n -= 0 (7)):}$ non è 21?
mentre $\{(n -= -1(5)),(n -= 0 (7)):}$ non ha soluzioni
o sbaglio?
"SaraSue":
...Le due soluzioni sono quelle che risolvono i seguenti due sistemi:
$\{(n -= 1(5)),(n -= 0 (7)):}$ e $\{(n -= -1(5)),(n -= 0 (7)):}$
$=>$ $n-=3,14(35)$
la soluzione di $\{(n -= 1(5)),(n -= 0 (7)):}$ non è 21?
mentre $\{(n -= -1(5)),(n -= 0 (7)):}$ non ha soluzioni
o sbaglio?
provo a riproporre la risposta data da SaraSue, così come l'ho capita io
$ n^(24)-4n^6-6n^4+24\equiv0mod35 $
dal momento che 35 non è primo, e non posso sapere se il $MCD(a_n, 35)=1$ allora scompongo il problema utilizzando il teorema cinese del resto.
$ { ( n^(24)-4n^6-6n^4+24\equiv0mod5 ),( n^(24)-4n^6-6n^4+24\equiv0mod7 ):} $
semplifico la prima congruenza mod5 e la seconda mod7 e ottengo
$ { ( n^(24)+n^6+4n^4+4\equiv0mod5 ),( n^(24)+3n^6+n^4+3\equiv0mod7 ):} $
mi calcolo $phi(7)=6$ e $phi(5)=4$ e visto che il teorema di eulero mi dice che se il $MCD(a,n)=1$ allora $a^(phi(n))\equiv1modn$ posso semplificare ulteriormente il sistema ottenendo
$ { ( 1+n^2+4+4\equiv0mod5 ),( 1+3+n^4+3\equiv0mod7 ):} $
rifaccio le semplificazioni mod 5 e mod 7
$ { ( n^2+4\equiv0mod5 ),( n^4\equiv0mod7 ):} $
la prima congruenza avrà come soluzione 1 e 4 mentre la seconda avrà soluzione 0 e visto che non c'è una soluzione comune che soddisfi il sistema posso affermare che il numero polinomiale $ n^(24)-4n^6-6n^4+24 $ non è divisibile per $35$ per nessun valore di $n$ è esatto tutto questo?
grazie mille a tutti
$ n^(24)-4n^6-6n^4+24\equiv0mod35 $
dal momento che 35 non è primo, e non posso sapere se il $MCD(a_n, 35)=1$ allora scompongo il problema utilizzando il teorema cinese del resto.
$ { ( n^(24)-4n^6-6n^4+24\equiv0mod5 ),( n^(24)-4n^6-6n^4+24\equiv0mod7 ):} $
semplifico la prima congruenza mod5 e la seconda mod7 e ottengo
$ { ( n^(24)+n^6+4n^4+4\equiv0mod5 ),( n^(24)+3n^6+n^4+3\equiv0mod7 ):} $
mi calcolo $phi(7)=6$ e $phi(5)=4$ e visto che il teorema di eulero mi dice che se il $MCD(a,n)=1$ allora $a^(phi(n))\equiv1modn$ posso semplificare ulteriormente il sistema ottenendo
$ { ( 1+n^2+4+4\equiv0mod5 ),( 1+3+n^4+3\equiv0mod7 ):} $
rifaccio le semplificazioni mod 5 e mod 7
$ { ( n^2+4\equiv0mod5 ),( n^4\equiv0mod7 ):} $
la prima congruenza avrà come soluzione 1 e 4 mentre la seconda avrà soluzione 0 e visto che non c'è una soluzione comune che soddisfi il sistema posso affermare che il numero polinomiale $ n^(24)-4n^6-6n^4+24 $ non è divisibile per $35$ per nessun valore di $n$ è esatto tutto questo?
grazie mille a tutti
Scusami ma come fai a dire che MCD(a.n) = 1, Mi potresti spiegare questo passaggio? E poi come procedi?
Dato che sono passati parecchi giorni, ripropongo quello che ho già scritto
(basta andare a leggere il mio precedente intervento di tre righe): non ci sono soluzioni.
Più precisamente,
$a_n= n^24 -4n^6-6n^4+24$ non è mai multiplo di $7$, e dunque non è nemmeno mai multiplo di $35$.
Perchè non è mai multiplo di $7$?
distinguo due casi: $n-=0 (mod 7)$ e $n!=0 (mod 7)$.
Se $n-=0 (mod 7)$ si ha $a_n -= 24-=3 (mod 7)$, dunque non è multiplo di $7$.
Se $n!=0 (mod 7)$, sappiamo che $n^6-=1$, dunque $a_n-= 1-4-6n^4+24-= n^4 (mod 7)$, dunque non è multiplo di $7$.
Pertanto non ci sono soluzioni. Fine
Perchè ho distinto due casi? Perchè $n^6-=1 (mod 7)$ vale solo se $n!=0(mod 7)$
(riflettiamoci: $0^6=0$, dunque non può essere congruo a $1$ modulo $7$),
dunque non posso usare questa proprietà anche quando $n-=0 (mod 7)$. Qui dovrò usare dell'altro.
L'errore/orrore di SaraSue è stato quello di non separare i due casi
(basta andare a leggere il mio precedente intervento di tre righe): non ci sono soluzioni.
Più precisamente,
$a_n= n^24 -4n^6-6n^4+24$ non è mai multiplo di $7$, e dunque non è nemmeno mai multiplo di $35$.
Perchè non è mai multiplo di $7$?
distinguo due casi: $n-=0 (mod 7)$ e $n!=0 (mod 7)$.
Se $n-=0 (mod 7)$ si ha $a_n -= 24-=3 (mod 7)$, dunque non è multiplo di $7$.
Se $n!=0 (mod 7)$, sappiamo che $n^6-=1$, dunque $a_n-= 1-4-6n^4+24-= n^4 (mod 7)$, dunque non è multiplo di $7$.
Pertanto non ci sono soluzioni. Fine
Perchè ho distinto due casi? Perchè $n^6-=1 (mod 7)$ vale solo se $n!=0(mod 7)$
(riflettiamoci: $0^6=0$, dunque non può essere congruo a $1$ modulo $7$),
dunque non posso usare questa proprietà anche quando $n-=0 (mod 7)$. Qui dovrò usare dell'altro.
L'errore/orrore di SaraSue è stato quello di non separare i due casi
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