Aiuto esercizio algebra
Ragazzi avrei bisogno di una mano con un'esercizio.
Sia $f: A\toB$ una funzione, e $A_1,A_2\inA$
Dimostrare:
$f(A_1 nn A_2) sube f(A_1) nn f(A_2)$
Chiamo per semplicità l'insieme a sinistra X e quello a destra Y.
Io ho pensato questo: per dimostrare che l'insieme $X sube Y$ devo far vedere che,
1) $x\inX rArr x\inY$
2) $x\inY$ non implica $x\inY$
----
1)
$f(x)\in(A_1 nn A_2)$
$iff$
$ x\in(A_1nnA_2)$
$iff $
$x\inA_1$e$x\inA_2$
$ iff$
$ f(x)\inf(A_1)$ e $ f(x)\inf(A_2)$
$ iff$
$ f(x)\inf(A_1)nnf(A_2)$
E' giusto il primo punto? Come posso svolgere il secondo?
Ho provato a farlo ma solo supponendo che la funzione non sia iniettiva... Invece ci deve essere un altro modo.
Aiuto!
Sia $f: A\toB$ una funzione, e $A_1,A_2\inA$
Dimostrare:
$f(A_1 nn A_2) sube f(A_1) nn f(A_2)$
Chiamo per semplicità l'insieme a sinistra X e quello a destra Y.
Io ho pensato questo: per dimostrare che l'insieme $X sube Y$ devo far vedere che,
1) $x\inX rArr x\inY$
2) $x\inY$ non implica $x\inY$
----
1)
$f(x)\in(A_1 nn A_2)$
$iff$
$ x\in(A_1nnA_2)$
$iff $
$x\inA_1$e$x\inA_2$
$ iff$
$ f(x)\inf(A_1)$ e $ f(x)\inf(A_2)$
$ iff$
$ f(x)\inf(A_1)nnf(A_2)$
E' giusto il primo punto? Come posso svolgere il secondo?
Ho provato a farlo ma solo supponendo che la funzione non sia iniettiva... Invece ci deve essere un altro modo.
Aiuto!
Risposte
Alcune precisazioni
è più corretto scrivere $A_1,A_2 sube A$.
se scrivi $ iff$ cadi in errore in quanto dimostri che vale la doppia inclusione; tra l'altro non è $f(x)\in(A_1 nn A_2)$ ma semmai $f(x)\inf(A_1 nn A_2)$.
Per il punto due potresti considerare una opportuna applicazione: ti suggerirei di lavorare con una parabola ...
Sia $f: A\toB$ una funzione, e $A_1,A_2\inA$
è più corretto scrivere $A_1,A_2 sube A$.
1)
$f(x)\in(A_1 nn A_2)$ $iff$ $ x\in(A_1nnA_2)$ $iff $ $x\inA_1$e$x\inA_2$ $ iff$ $ f(x)\inf(A_1)$ e $ f(x)\inf(A_2)$ $ iff$ $f(x)\inf(A_1)nnf(A_2)$
se scrivi $ iff$ cadi in errore in quanto dimostri che vale la doppia inclusione; tra l'altro non è $f(x)\in(A_1 nn A_2)$ ma semmai $f(x)\inf(A_1 nn A_2)$.
Per il punto due potresti considerare una opportuna applicazione: ti suggerirei di lavorare con una parabola ...
Grazie. Hai ragione per i simboli, non sono ancora pratico con il codice 
Due domande:
1)perchè non vale la doppia inclusione, e dove non vale?
2)Posso quindi utilizzare un esempio per il punto due? Mi sembra strano perchè l'esercizio è composto anche da un altro punto, in cui si deve mostrare un esempio in cui $X != Y$.
Grazie ancora.
Due domande:
1)perchè non vale la doppia inclusione, e dove non vale?
2)Posso quindi utilizzare un esempio per il punto due? Mi sembra strano perchè l'esercizio è composto anche da un altro punto, in cui si deve mostrare un esempio in cui $X != Y$.
Grazie ancora.
Prova a considerare la funzione $f: RR \to RR:x \to x^2$, quindi come $A$ prendi $RR$ e come $B$ prendi $RR$. Considera $A_1=RR_0^+$ e $A_2=RR_0^-$. Cosa succede?
Allora, succede che $f(A_1 nn A_2) = {0}$
mentre $f(A_1) nn f(A_2) = { x \in R| x$ quadrato perfetto $}$
Dunque sono diversi. Questo lo sapevo, la mia domanda era se posso utilizzarlo per dimostrare il secondo punto.
Inoltre l'esercizio è composto da un ulteriore punto che non ho scritto, nel quale si chiede di fare un esempio in cui i due insiemi sono diversi: mica posso scrivere due volte la stessa cosa?Non so se mi sono spiegato..
mentre $f(A_1) nn f(A_2) = { x \in R| x$ quadrato perfetto $}$
Dunque sono diversi. Questo lo sapevo, la mia domanda era se posso utilizzarlo per dimostrare il secondo punto.
Inoltre l'esercizio è composto da un ulteriore punto che non ho scritto, nel quale si chiede di fare un esempio in cui i due insiemi sono diversi: mica posso scrivere due volte la stessa cosa?Non so se mi sono spiegato..
Per dimostrare che l'insieme $X sube Y$ devi fare vedere che,
$x\inX rArr x\inY$
e basta.
Poi per fare vedere che invece può essere che $Y$ non sia contenuto in $X$ devi trovarti un esempio come quello di cui abbiamo appena parlato.
$x\inX rArr x\inY$
e basta.
Poi per fare vedere che invece può essere che $Y$ non sia contenuto in $X$ devi trovarti un esempio come quello di cui abbiamo appena parlato.
ok, ti ringrazio Questo perchè praticamente equivale a dire: $X$ è sottoinsieme di $Y$, però, tramite questo esempio, disprovo che $Y=X$, dunque in generale $X sube Y$. Giusto?
Questo perchè praticamente equivale a dire: $X$ è sottoinsieme di $Y$, però, tramite questo esempio, disprovo che $Y=X$, dunque in generale $X sube Y$. Giusto?
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