Aiuto Esercizi Dimostrazione
Chiedo un aiuto da voi per approcciare a questo tipo di Esercizi :
1)Se "$a$" è pari e "$b$" è dispari , mostrare che si ha $(a,b) = (a/2,b)$
2)Se "$a$" e"$b$" sono pari, mostrare che si ha $(a,b) = 2(a/2,b/2)$
Io procederei cosi per il 1):
Ipotesi : "$a$" è pari e "$b$" è dispari
Tesi : $ (a,b)=(a/2,b)$
Per prima cosa io scrivo che "$a$" è pari sotto questa forma : $a=2*n ,$ $AA n in NN$ , passo a scrivere "$b$" è dispari $b= 2*n -1 ,$ $AA n in NN$ .
Ora devo dimostrare $(a,b) = (a/2,b)$?
Sono partito male?! Va bene come ho iniziato? Un aiutino?
Grazie in anticipo
1)Se "$a$" è pari e "$b$" è dispari , mostrare che si ha $(a,b) = (a/2,b)$
2)Se "$a$" e"$b$" sono pari, mostrare che si ha $(a,b) = 2(a/2,b/2)$
Io procederei cosi per il 1):
Ipotesi : "$a$" è pari e "$b$" è dispari
Tesi : $ (a,b)=(a/2,b)$
Per prima cosa io scrivo che "$a$" è pari sotto questa forma : $a=2*n ,$ $AA n in NN$ , passo a scrivere "$b$" è dispari $b= 2*n -1 ,$ $AA n in NN$ .
Ora devo dimostrare $(a,b) = (a/2,b)$?
Sono partito male?! Va bene come ho iniziato? Un aiutino?
Grazie in anticipo
Risposte
un'attimo che intendi per $()$? ilmassimo comune divisore giusto?
Nell'esercizio non c'è scritto, non saprei , penso che sia il massimo comun divisore.
Dimostrazione del massimo comun divisore MDC(a,m) :
$d=(a,m)$
$a= d*h$ , $ m=d*k$ , $h,k in ZZ$
Dimostrazione del massimo comun divisore MDC(a,m) :
$d=(a,m)$
$a= d*h$ , $ m=d*k$ , $h,k in ZZ$
allora il primo ce l'hai a gratis.
Se $a$ è pari e $b$ è dispari, $(a,b)=1$ . Supponi per assurdo che $d!=1$.
Sia $d=(a,b)$ , Per definizione noi sappiamo che $d|a, d|b$.
Poiché $a$ è pari, ne risulta che anche $d$ è pari e che quindi $2|d$. Ma poiché $d|b$ e $2|d$ si avrebbe che $2|b$ , ma ciò costituisce un assurdo , perché $b$ è dispari. Pertanto con le ipotesi date non può che essere $(a,b)=1$.
Ora quello che devi verificare è che $(a/2 , b)=1=(a,b)$
ma ciò è scontato .
Suddividiamo due casi.
Se $a=2 => a/2=1$ e si ha che $(1,b)=1$ (qui non è strettamente necessaria l'ipotesi che b sia dispari, infatti vale per qualunque sia b)
Se $a>2 $ ed è pari, è evidente che $a/2$ è pari, pertanto da quanto appena dimostrato in precedenza, ne risulta che $(a/2,b)=1=(a,b)$
se hai dubbi chiedi, oppure se ho fatto errori
Se $a$ è pari e $b$ è dispari, $(a,b)=1$ . Supponi per assurdo che $d!=1$.
Sia $d=(a,b)$ , Per definizione noi sappiamo che $d|a, d|b$.
Poiché $a$ è pari, ne risulta che anche $d$ è pari e che quindi $2|d$. Ma poiché $d|b$ e $2|d$ si avrebbe che $2|b$ , ma ciò costituisce un assurdo , perché $b$ è dispari. Pertanto con le ipotesi date non può che essere $(a,b)=1$.
Ora quello che devi verificare è che $(a/2 , b)=1=(a,b)$
ma ciò è scontato .
Suddividiamo due casi.
Se $a=2 => a/2=1$ e si ha che $(1,b)=1$ (qui non è strettamente necessaria l'ipotesi che b sia dispari, infatti vale per qualunque sia b)
Se $a>2 $ ed è pari, è evidente che $a/2$ è pari, pertanto da quanto appena dimostrato in precedenza, ne risulta che $(a/2,b)=1=(a,b)$
se hai dubbi chiedi, oppure se ho fatto errori
"Kashaman":No
Se $a$ è pari e $b$ è dispari, $(a,b)=1$
Se $a=6$ e $b=3$, $(a,b)=3$
"Davide1986":Attento: se $a$ è pari allora $EE n in NN$ tale che $a=2n$. Non $AA$, ma $EE$.
Per prima cosa io scrivo che "$a$" è pari sotto questa forma: $a=2*n$, $AA n in NN$ ,
o.o mazza che orrore
Grazie ora mi metto a fare la seconda e la posto.. Grazie dell'aiuto e delle correzioni ..
Ma il primo l'hai fatto? Perchè la risoluzione proposta da Kashaman non è corretta.
Ti dò un paio di spunti per dimostrare il primo:
Prima di tutto, ricordo cos'è l'M.C.D. tra due numeri interi positivi:
Sia \(a\) pari (dunque \(a=2n\) per un certo \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \)) e \(b\) dispari, e sia \(d = (a,b)\).
Dobbiamo dimostrare che \(\displaystyle d = \left( n, b\right) \).
Sappiamo già che \(\displaystyle d \mid b \). Rimangono da dimostrare due cose:
Ti dò un paio di spunti per dimostrare il primo:
Prima di tutto, ricordo cos'è l'M.C.D. tra due numeri interi positivi:
Definizione (Massimo Comun Divisore): Siano $x,y$ interi positivi.
\(\displaystyle d \in \mathbb{N} \) è il massimo comun divisore tra \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) ( e si scrive \(\displaystyle d = (x,y) \) ) se:
[*:1xwm12u9] \(\displaystyle d \mid x \);[/*:m:1xwm12u9]
[*:1xwm12u9] \(\displaystyle d \mid y \);[/*:m:1xwm12u9]
[*:1xwm12u9]\(\displaystyle \forall d' \in \mathbb{N} \) tale che \(\displaystyle d' \mid x\) e \(\displaystyle d \mid y \) si ha che \(\displaystyle d' \mid d \).[/*:m:1xwm12u9][/list:u:1xwm12u9]
Sia \(a\) pari (dunque \(a=2n\) per un certo \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \)) e \(b\) dispari, e sia \(d = (a,b)\).
Dobbiamo dimostrare che \(\displaystyle d = \left( n, b\right) \).
Sappiamo già che \(\displaystyle d \mid b \). Rimangono da dimostrare due cose:
- [*:1xwm12u9] \(\displaystyle d \mid n \)[/*:m:1xwm12u9]
[*:1xwm12u9] \(\displaystyle \forall d' \in \mathbb{N} \) tale che \(\displaystyle d' \mid n\) e \(\displaystyle d \mid b \) si ha che \(\displaystyle d' \mid d \)[/*:m:1xwm12u9][/list:u:1xwm12u9]
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