Aiuto Esercizi Congruenza

Davide1986
Salve sono nuovo in questo forum e volevo insieme a voi chiedervi se è corretto il mio ragionamento per trovare la congruenza.

Esercizi Congruenza :

1) $-4x \equiv 6 mod 10$
2) $ x \equiv 4^2546 mod 5$.

Svolgiamo la prima Congruenza :

$-4x \equiv 6 mod 10$

Per prima cosa posso dividere tutto per 2 e ottengo :

$-2x \equiv 3 mod 5$

Il mio obbiettivo è di trovare $-2x -6 = 5a$ , mi verrebbe da dire :

$ -2x = 6 + 5a $

$ -x = (6 + 5a)/2 $

$ x = ( -6 - 5a )/2 $

Se pongo $ a = 2 $ ottengo che la $ x = ( -6 - 5*2 )/2 = -16/2 = -4 $

Ottengo che $ x = -4 $

Scrivo le soluzioni $ x = -4 + k*n/d = -4 + k*5 $

Premetto che non sono sicuro perché le congruenze negative non l'ho mai svolte, suggerimenti e consigli sono bene accetti.

Per la seconda :

$ x \equiv 4^2546 mod 5$.

Non so dove cominciare consigli , suggerimenti ? Mi verrebbe da scomporre $4^2546$

Grazie anticipatamente. Nel frattempo provo a fare altri esercizi.

Risposte
Davide1986
Esercizio Trovare

$x in ZZ $ tali che $24x-=1(mod3)$

Per prima cosa mi scrivo la classi dei resti modulo $3$ ed ottengo : $ZZ_3 = {[0]_3,[1]_3,[2]_3}$

Con la dicitura $[24]_3$ significa che dobbiamo trovare il numero $24$ in quale insieme appare e quindi a quale classe di resto modulo $3$ corrisponde giusto?

Quindi le classi di resto Modulo 3 sono:

$[0]_3 = {..., -12, -9, -6, -3, 0, +3, +6, +9, +12, ..,24,....}$

$[1]_3 = {..., -11, -8, -5, -2, 1, +4, +7, +10, +13, ...}$

$[2]_3 = {..., -10, -7, -4, -1, 2, +5, +8, +11, +14, ...}$

Quindi se andiamo a vedere il numero $24$ appare nella classe di resto $[0]_3$ giusto ?

Quindi è falsa perché la congruenza mi dice $24$ appartiene alla classe di resto $1$ quindi possiamo dire che è falsa, sarebbe stata corretta se era $24 -= 0 (mod 3)$

Sto dando i numeri, faccio una pausa + una doccia fredda.... , Grazie Kashaman e ha tutti voi che mi aiutate che seite pazienti con me .

Kashaman
no no hai detto bene.
Più che altro c'è un modo più veloce.
In generale vale questo
$[a]_n=[r]_n$ ove $r$ è il resto della divisione euclidea di $a$ per $n$.
quindi ti bastava dire che $24$ diviso per tre da resto 0.
e quindi $24x-=0*x-=1(mod3) => 0-=1(mod3) <=> 3|-1$ ma è un assurdo

Davide1986
Se l'esercizio era :

Determinare $[452]$ in $ZZ_9$

Posso riscrivere $452$ come :

$452 = 9(51) + 0$

Ottengo : $[452]_9 = [0]_9$

Quindi $452x -= 0 (mod 9)$

Giusto?!

Kashaman
errato. $9*51=459!=452$ attenzione.
$452=9*50+2$
pertanto (vedi sopra)
$[452]_9=[2]_9$.

Davide1986
Che stupido non so fare più le divisioni.. grazie si mi sono reso conto adesso di quello che ho scritto.

ma va bene che concludo dicendo $[453]_9=[2]_9$ e quindi è $453x-= 2 (mod9)$

P.s. grazie che mi salvi sempre con le tue risposte :D

Kashaman
perché $452x-=2(mod9)$?

Davide1986
Pensavo che dovevo metterla come se fosse una congruenza?!

Kashaman
No, non va messa. Ti sei calcolato una "classe " e cioè un elemento di $ZZ_9$.
Non c'entrano le congruenze.
Potresti spiegarmi cos'è una congruenza lineare?

Kashaman
ti propongo un esercizio.
Considera il gruppo $G=(ZZ_10,+)$
a) è ciclico? chi è un generatore? chi sono i possibili generatori di $G$?
b) Determinare tutti gli elementi di $G$ aventi periodo $2$ , $5$ e $10$. Ne esistono di periodo $3$? perché?

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.