Aiuto Esercizi Congruenza
Salve sono nuovo in questo forum e volevo insieme a voi chiedervi se è corretto il mio ragionamento per trovare la congruenza.
Esercizi Congruenza :
1) $-4x \equiv 6 mod 10$
2) $ x \equiv 4^2546 mod 5$.
Svolgiamo la prima Congruenza :
$-4x \equiv 6 mod 10$
Per prima cosa posso dividere tutto per 2 e ottengo :
$-2x \equiv 3 mod 5$
Il mio obbiettivo è di trovare $-2x -6 = 5a$ , mi verrebbe da dire :
$ -2x = 6 + 5a $
$ -x = (6 + 5a)/2 $
$ x = ( -6 - 5a )/2 $
Se pongo $ a = 2 $ ottengo che la $ x = ( -6 - 5*2 )/2 = -16/2 = -4 $
Ottengo che $ x = -4 $
Scrivo le soluzioni $ x = -4 + k*n/d = -4 + k*5 $
Premetto che non sono sicuro perché le congruenze negative non l'ho mai svolte, suggerimenti e consigli sono bene accetti.
Per la seconda :
$ x \equiv 4^2546 mod 5$.
Non so dove cominciare consigli , suggerimenti ? Mi verrebbe da scomporre $4^2546$
Grazie anticipatamente. Nel frattempo provo a fare altri esercizi.
Esercizi Congruenza :
1) $-4x \equiv 6 mod 10$
2) $ x \equiv 4^2546 mod 5$.
Svolgiamo la prima Congruenza :
$-4x \equiv 6 mod 10$
Per prima cosa posso dividere tutto per 2 e ottengo :
$-2x \equiv 3 mod 5$
Il mio obbiettivo è di trovare $-2x -6 = 5a$ , mi verrebbe da dire :
$ -2x = 6 + 5a $
$ -x = (6 + 5a)/2 $
$ x = ( -6 - 5a )/2 $
Se pongo $ a = 2 $ ottengo che la $ x = ( -6 - 5*2 )/2 = -16/2 = -4 $
Ottengo che $ x = -4 $
Scrivo le soluzioni $ x = -4 + k*n/d = -4 + k*5 $
Premetto che non sono sicuro perché le congruenze negative non l'ho mai svolte, suggerimenti e consigli sono bene accetti.
Per la seconda :
$ x \equiv 4^2546 mod 5$.
Non so dove cominciare consigli , suggerimenti ? Mi verrebbe da scomporre $4^2546$
Grazie anticipatamente. Nel frattempo provo a fare altri esercizi.
Risposte
La prima moltiplicazione dovrebbe essere immediata... se quei numeri li dividi per [tex]10[/tex], qual'è il resto della divisione (e quindi la relativa classe dei resti)?
Occhio che l'anello delle classi dei resti modulo 10 non è quello che hai indicato...
Edit: scusa Kashaman mi sono sovrapposto al tuo post.
Occhio che l'anello delle classi dei resti modulo 10 non è quello che hai indicato...
Edit: scusa Kashaman mi sono sovrapposto al tuo post.
tranquillo gundam.
Comunque in generale
$ZZ_n = { [a]_n | a in ZZ^^0<=a
Comunque in generale
$ZZ_n = { [a]_n | a in ZZ^^0<=a
Quindi :
$1234567 mod 10 = 7$
$90123 mod 10 = 3$
Giusto?
$1234567 mod 10 = 7$
$90123 mod 10 = 3$
Giusto?
esatto( e più precisamente
$1234567=123456*10+7$ quindi $[1234567]=[0]+[7]$)
ora hai che $1234567*90123=7*3=21=.....= (mod10)$
$1234567=123456*10+7$ quindi $[1234567]=[0]+[7]$)
ora hai che $1234567*90123=7*3=21=.....= (mod10)$
T''ho , un'altro esercizio meno meccanico.
Siano $a,b$ interi positivi.
Costruire una congruenza del tipo $ax-=b(mod25)$ tale che sia compatibile e abbia 5 soluzioni modulo 25.
Siano $a,b$ interi positivi.
Costruire una congruenza del tipo $ax-=b(mod25)$ tale che sia compatibile e abbia 5 soluzioni modulo 25.
All'ora :
Prima considerazione : Se $a$ è un multiplo di $5$ otteniamo che il $d=M.C.D.(a,25)=5$ e possiamo procedere solo se $b$ è divisibile per $5$ altrimenti non ammette soluzioni.
Se invece $a$ e $b$ sono numeri primi otteniamo che $d=M.C.D.(a,25) = 1$ e che quindi $d$ è divisibile per $b$ e che quindi ammette soltanto una soluzione in modulo $5$.
Studiamo il caso che $a$ è un multiplo di $5$ e che $b$ sia divisibile per $d$:
Sia $a,b in ZZ+$ si ha che $d=M.C.D.(a,25) = 5$ quindi siamo sicuri che otteniamo come risultato $5$ soluzioni distinte.
$ax -= b (mod 25)$
Per prima cosa provo a vedere se posso dividere tutto per il fattore $d$ e ottenere un'altra congruenza semplificata cosi ottenendo una nuova congruenza $a'x -= b' (mod 5)$ ottenuta facendo $(ax)/d -= (b)/d (mod 25/5)$ .
Se abbiamo semplificato bene otteniamo che $d=M.C.D.(a',5)=1$ quindi segue che otteniamo una soluzione in modulo $5$ che poi ci dobbiamo ricordare di passarla al modulo $25$.
Adesso abbiamo $a'x -= b' (mod 5)$ ora il nostro obbiettivo è di trovare l'inverso di $[a']_5$ che lo chiamiamo in questa forma $[a'^(−1)]_5$ . Ottengo come forma $a'x=b'+5k$ , ora mi resta soltanto di trovare l'opportuno $k in ZZ+$ e poi calcolarmi la $x$ . Ora mi sono trovato l'inverso di $[a']_5$ ed è $[a'^-1]_5$ = $[x]_5$
Moltiplicando a sinistra e a destra e otteniamo che $[x]_5=[a'^(−1)b']_5$ segue che $x_0=a'^(−1)b$ che è la soluzione in modulo $5$.
Ci dobbiamo ricordare che l'anello in generale è costituito cosi $ZZ_5 = {[0]_5,[1]_5,[2]_5,[3]_5,[4]_5}$
Ritornando a modulo $25$ in partenza $ax -= b (mod 25)$
Le soluzioni sono :
$x_0 = x_0 + 5*0 = x_0$
$x_1 = x_0 + 5*1 = x_0 + 5$
$x_2 = x_0 + 5*2 = x_0 + 10$
$x_3 = x_0 + 5*3 = x_0 + 15$
$x_4 = x_0 + 5*4 = x_0 + 20$
Una domanda per l'esercizio precedente si riduce a risolvere $21 -=1 ( mod 10)$ giusto?
Quindi :
$M.C.D.(21,10)=1$
$21x = 1+10k$
$k = 2 , x= 1$
$x=x_0=1$ unica soluzione modulo $10$
Prima considerazione : Se $a$ è un multiplo di $5$ otteniamo che il $d=M.C.D.(a,25)=5$ e possiamo procedere solo se $b$ è divisibile per $5$ altrimenti non ammette soluzioni.
Se invece $a$ e $b$ sono numeri primi otteniamo che $d=M.C.D.(a,25) = 1$ e che quindi $d$ è divisibile per $b$ e che quindi ammette soltanto una soluzione in modulo $5$.
Studiamo il caso che $a$ è un multiplo di $5$ e che $b$ sia divisibile per $d$:
Sia $a,b in ZZ+$ si ha che $d=M.C.D.(a,25) = 5$ quindi siamo sicuri che otteniamo come risultato $5$ soluzioni distinte.
$ax -= b (mod 25)$
Per prima cosa provo a vedere se posso dividere tutto per il fattore $d$ e ottenere un'altra congruenza semplificata cosi ottenendo una nuova congruenza $a'x -= b' (mod 5)$ ottenuta facendo $(ax)/d -= (b)/d (mod 25/5)$ .
Se abbiamo semplificato bene otteniamo che $d=M.C.D.(a',5)=1$ quindi segue che otteniamo una soluzione in modulo $5$ che poi ci dobbiamo ricordare di passarla al modulo $25$.
Adesso abbiamo $a'x -= b' (mod 5)$ ora il nostro obbiettivo è di trovare l'inverso di $[a']_5$ che lo chiamiamo in questa forma $[a'^(−1)]_5$ . Ottengo come forma $a'x=b'+5k$ , ora mi resta soltanto di trovare l'opportuno $k in ZZ+$ e poi calcolarmi la $x$ . Ora mi sono trovato l'inverso di $[a']_5$ ed è $[a'^-1]_5$ = $[x]_5$
Moltiplicando a sinistra e a destra e otteniamo che $[x]_5=[a'^(−1)b']_5$ segue che $x_0=a'^(−1)b$ che è la soluzione in modulo $5$.
Ci dobbiamo ricordare che l'anello in generale è costituito cosi $ZZ_5 = {[0]_5,[1]_5,[2]_5,[3]_5,[4]_5}$
Ritornando a modulo $25$ in partenza $ax -= b (mod 25)$
Le soluzioni sono :
$x_0 = x_0 + 5*0 = x_0$
$x_1 = x_0 + 5*1 = x_0 + 5$
$x_2 = x_0 + 5*2 = x_0 + 10$
$x_3 = x_0 + 5*3 = x_0 + 15$
$x_4 = x_0 + 5*4 = x_0 + 20$
Una domanda per l'esercizio precedente si riduce a risolvere $21 -=1 ( mod 10)$ giusto?
Quindi :
$M.C.D.(21,10)=1$
$21x = 1+10k$
$k = 2 , x= 1$
$x=x_0=1$ unica soluzione modulo $10$
ultima parte, esatto.
come per l'esercizio di prima ti chiedevo di costruire una congruenza
non di calcolare soluzioni generali (però bravo, ci hai messo impegno, la prima metà è tutto corretto. L'altra non è attinente all'esercizio.
Una soluzione sarebbe stata questa.
Allora hai $ax-=b(mod25)$ se deve avere $5$ soluzioni, vuol dire che $(a,25)=5$ da qui, desumi che $5|a=> a=5k$ cioé $a$ è multiplo di $5$ .
D'altro canto $5|b$ anche $5$ è multiplo di $25$.
Quindi, adesso dovevi scegliere due valori $a,b$ che soddisfano le richieste.
che ne dici di $a=5$ e $b=10$? (ne puoi scegliere quante ne vuoi!)
avresti avuto
$5x-=10(mod25)$ che ironia della sorte equivale a $x-=2(mod5)$ e detta $x_0=2$ si hanno proprio $5$ soluzioni modulo $25$
come per l'esercizio di prima ti chiedevo di costruire una congruenza
non di calcolare soluzioni generali (però bravo, ci hai messo impegno, la prima metà è tutto corretto. L'altra non è attinente all'esercizio.Una soluzione sarebbe stata questa.
Allora hai $ax-=b(mod25)$ se deve avere $5$ soluzioni, vuol dire che $(a,25)=5$ da qui, desumi che $5|a=> a=5k$ cioé $a$ è multiplo di $5$ .
D'altro canto $5|b$ anche $5$ è multiplo di $25$.
Quindi, adesso dovevi scegliere due valori $a,b$ che soddisfano le richieste.
che ne dici di $a=5$ e $b=10$? (ne puoi scegliere quante ne vuoi!)
avresti avuto
$5x-=10(mod25)$ che ironia della sorte equivale a $x-=2(mod5)$ e detta $x_0=2$ si hanno proprio $5$ soluzioni modulo $25$
Grazie mille, non sai quanto aiuto mi stai dando.
Fai questi altri.
1)
Stabilire per quali $b in ZZ$ , $b!=0$
la congruenza lineare
$10236984x-=b(mod 856982)$ è compatibile.
2) è vero che $9^(1800)-=1(mod6)$? ( senza l'uso della calcolatrice.)
3) Calcolare $[4^(1089632256698874523213023568)]_7$
4) Trovare $x in ZZ$ tali che
$2^4x-=1(mod3)$
1)
Stabilire per quali $b in ZZ$ , $b!=0$
la congruenza lineare
$10236984x-=b(mod 856982)$ è compatibile.
2) è vero che $9^(1800)-=1(mod6)$? ( senza l'uso della calcolatrice.)
3) Calcolare $[4^(1089632256698874523213023568)]_7$
4) Trovare $x in ZZ$ tali che
$2^4x-=1(mod3)$
All'ora la prima cosa che mi viene in mente da fare è :
$10236984 mod 856982 = 810182$
Quindi la riscrivo in questo modo :$ 810182 -= b (mod 856982 )$ ora passo alle mi considerazioni :
Sapendo che $ b in ZZ , b != 0$ possiamo inanzi tutto vedere ad occhio che sono due valori positivi sia $a$ e $n$ e che se mi calcolo $d=M.C.D.(810182,856982)=2$ ora posso avere due casi se $b$ è Pari o Dispari .
Se $b$ è Dispari posso subito dire che non ammette nessuna soluzione perché $d$ non divide $b$ o meglio dire $2|b$ falso.
Esempio se prendiamo $b=3$ abbiamo $10236984 -= 3 mod 856982$ segue che $2$ non è divisibile per $3$ quindi non ammette soluzioni.
Se $b$ è Pari possiamo affermare che otteniamo due soluzioni distinte $x_0 = x_0 , x_1 = x_0 + 856982*1$
$10236984 mod 856982 = 810182$
Quindi la riscrivo in questo modo :$ 810182 -= b (mod 856982 )$ ora passo alle mi considerazioni :
Sapendo che $ b in ZZ , b != 0$ possiamo inanzi tutto vedere ad occhio che sono due valori positivi sia $a$ e $n$ e che se mi calcolo $d=M.C.D.(810182,856982)=2$ ora posso avere due casi se $b$ è Pari o Dispari .
Se $b$ è Dispari posso subito dire che non ammette nessuna soluzione perché $d$ non divide $b$ o meglio dire $2|b$ falso.
Esempio se prendiamo $b=3$ abbiamo $10236984 -= 3 mod 856982$ segue che $2$ non è divisibile per $3$ quindi non ammette soluzioni.
Se $b$ è Pari possiamo affermare che otteniamo due soluzioni distinte $x_0 = x_0 , x_1 = x_0 + 856982*1$
è tutto giusto. Comunque puoi evitare di distinguere i casi , b pari e dispari. nel momento in cui dici che $2|b$ si ha subito che $b$ è pari
Chiudendo un esercizio di prima :
$2468 × 13579 -= −3 (mod 25)$
$ 2468 mod 25 = 18 $ e $ 13579 mod 25 = 4 $
Quindi ottengo che $18*4 -= -3 (mod 25) $ quindi $72 -= -3 mod 25$ .
Mi calcolo di nuovo ;
$72 mod 25 = 22$ e $-3 mod 25 = 22$
quindi ottengo una nuova congruenza $22x -= 22 (mod 25)$
Ora mi calcolo $(a,n)=(22,25)=1$ , quindi posso affermare che ammette una sola soluzione .
$22x = 22 + 25k$ se prendo $k=0$ ottengo che $x=1$ quindi la soluzione $x_0=1$ modulo 25 .
Ora passo hai tuoi esercizi
$2468 × 13579 -= −3 (mod 25)$
$ 2468 mod 25 = 18 $ e $ 13579 mod 25 = 4 $
Quindi ottengo che $18*4 -= -3 (mod 25) $ quindi $72 -= -3 mod 25$ .
Mi calcolo di nuovo ;
$72 mod 25 = 22$ e $-3 mod 25 = 22$
quindi ottengo una nuova congruenza $22x -= 22 (mod 25)$
Ora mi calcolo $(a,n)=(22,25)=1$ , quindi posso affermare che ammette una sola soluzione .
$22x = 22 + 25k$ se prendo $k=0$ ottengo che $x=1$ quindi la soluzione $x_0=1$ modulo 25 .
Ora passo hai tuoi esercizi
ti confido che sono puramente inventati hint per risolvere alcuni di essi
"Davide1986":
Chiudendo un esercizio di prima :
$2468 × 13579 -= −3 (mod 25)$
$ 2468 mod 25 = 18 $ e $ 13579 mod 25 = 4 $
Quindi ottengo che $18*4 -= -3 (mod 25) $ quindi $72 -= -3 mod 25$ .
Mi calcolo di nuovo ;
$72 mod 25 = 22$ e $-3 mod 25 = 22$
quindi ottengo una nuova congruenza $22x -= 22 (mod 25)$
Ora mi calcolo $(a,n)=(22,25)=1$ , quindi posso affermare che ammette una sola soluzione .
$22x = 22 + 25k$ se prendo $k=0$ ottengo che $x=1$ quindi la soluzione $x_0=1$ modulo 25 .
Ora passo hai tuoi esercizi
Qua ti potevi semplicemente fermare a [tex]72 \equiv -3_{(mod 25)}[/tex] in quanto [tex]25|72-(-3)=75[/tex] e [tex]75=3*25[/tex].
Ritornando hai esercizi:
1) è vero che$ 9^1800≡1(mod6)$? ( senza l'uso della calcolatrice.)
2) Calcolare $[4^1089632256698874523213023568]_7$
3) Trovare$ x in ZZ$ tali che $24x-=1(mod3)$
Primo Esercizio :
è vero che $9^1800≡1(mod6)$? ( senza l'uso della calcolatrice.)
Per prima cosa che mi passa per la mente è che il $9$ lo posso vedere come $9 = 3*3$ e il $6$ = $6=3*2$ e se cercassi il $M.C.D.(9,6)=3$ Prima di procedere verifico che $d|b$ sia verificata e mi accorgo che $3|1$ falsa e quindi non ammette congruenze.
Per una verifica basta fare $9^1800 (mod 6 )= 3$ e quindi ottengo la congruenza $3 -= 1 (mod 6)$
Quindi concludo che è falsa.
Un'altra maniera che mi passa per la mente è che posso riscrivere la congruenza in questa maniera :
$ 9^(6*3*10^2) -= 1 (mod 6)$ e poi non saprei come andare avanti.
Terzo Esercizio :
Trovare$ x in ZZ$ tali che $24x-=1(mod3)$
La prima cosa è di verificare se ammette soluzioni in modulo 3 e per fare questo devo calcolare il $M.C.D.(24,3)=3$
Perché il $24$ lo possiamo vedere come $24=3*2*4$ e $3=3*1$ in comune hanno il numero $3$ e pertanto se vado a verificare che $d|b$ è falso perché il $3|1$ è falso
Un'altro modo di scomporre il $24$ è $24=3*7+3$ cosi ottengo il valore dell'$M.C.D.(24,3)=3$ e poi faccio le considerazioni precedenti.
Secondo Esercizio :
Calcolare $[4^1089632256698874523213023568]_7$
Qui inanzi tutto mi scrivo le classi dei resti modulo 7 $ZZ_7 = {[0]_7,[1]_7,[2]_7,[3]_7,[4]_7,[5]_7,[6]_7}$ .
A primo impatto noto che il numero $7$ è un numero primo.
Ora passo al ripasso di teoria e poi mi metto a svilupparlo.
1) è vero che$ 9^1800≡1(mod6)$? ( senza l'uso della calcolatrice.)
2) Calcolare $[4^1089632256698874523213023568]_7$
3) Trovare$ x in ZZ$ tali che $24x-=1(mod3)$
Primo Esercizio :
è vero che $9^1800≡1(mod6)$? ( senza l'uso della calcolatrice.)
Per prima cosa che mi passa per la mente è che il $9$ lo posso vedere come $9 = 3*3$ e il $6$ = $6=3*2$ e se cercassi il $M.C.D.(9,6)=3$ Prima di procedere verifico che $d|b$ sia verificata e mi accorgo che $3|1$ falsa e quindi non ammette congruenze.
Per una verifica basta fare $9^1800 (mod 6 )= 3$ e quindi ottengo la congruenza $3 -= 1 (mod 6)$
Quindi concludo che è falsa.
Un'altra maniera che mi passa per la mente è che posso riscrivere la congruenza in questa maniera :
$ 9^(6*3*10^2) -= 1 (mod 6)$ e poi non saprei come andare avanti.
Terzo Esercizio :
Trovare$ x in ZZ$ tali che $24x-=1(mod3)$
La prima cosa è di verificare se ammette soluzioni in modulo 3 e per fare questo devo calcolare il $M.C.D.(24,3)=3$
Perché il $24$ lo possiamo vedere come $24=3*2*4$ e $3=3*1$ in comune hanno il numero $3$ e pertanto se vado a verificare che $d|b$ è falso perché il $3|1$ è falso
Un'altro modo di scomporre il $24$ è $24=3*7+3$ cosi ottengo il valore dell'$M.C.D.(24,3)=3$ e poi faccio le considerazioni precedenti.
Secondo Esercizio :
Calcolare $[4^1089632256698874523213023568]_7$
Qui inanzi tutto mi scrivo le classi dei resti modulo 7 $ZZ_7 = {[0]_7,[1]_7,[2]_7,[3]_7,[4]_7,[5]_7,[6]_7}$ .
A primo impatto noto che il numero $7$ è un numero primo.
Ora passo al ripasso di teoria e poi mi metto a svilupparlo.
"Davide1986":
Ritornando hai esercizi:
1) è vero che$ 9^1800≡1(mod6)$? ( senza l'uso della calcolatrice.)
2) Calcolare $[4^1089632256698874523213023568]_7$
3) Trovare$ x in ZZ$ tali che $24x-=1(mod3)$
Primo Esercizio :
è vero che $9^1800≡1(mod6)$? ( senza l'uso della calcolatrice.)
Per prima cosa che mi passa per la mente è che il $9$ lo posso vedere come $9 = 3*3$ e il $6$ = $6=3*2$ e se cercassi il $M.C.D.(9,6)=3$ Prima di procedere verifico che $d|b$ sia verificata e mi accorgo che $3|1$ falsa e quindi non ammette congruenze.
Per una verifica basta fare $9^1800 (mod 6 )= 3$ e quindi ottengo la congruenza $3 -= 1 (mod 6)$
Quindi concludo che è falsa.
Un'altra maniera che mi passa per la mente è che posso riscrivere la congruenza in questa maniera :
$ 9^(6*3*10^2) -= 1 (mod 6)$ e poi non saprei come andare avanti.
Terzo Esercizio :
Trovare$ x in ZZ$ tali che $24x-=1(mod3)$
La prima cosa è di verificare se ammette soluzioni in modulo 3 e per fare questo devo calcolare il $M.C.D.(24,3)=3$
Perché il $24$ lo possiamo vedere come $24=3*2*4$ e $3=3*1$ in comune hanno il numero $3$ e pertanto se vado a verificare che $d|b$ è falso perché il $3|1$ è falso
Un'altro modo di scomporre il $24$ è $24=3*7+3$ cosi ottengo il valore dell'$M.C.D.(24,3)=3$ e poi faccio le considerazioni precedenti.
Secondo Esercizio :
Calcolare $[4^1089632256698874523213023568]_7$
Qui inanzi tutto mi scrivo gli anelli di $ZZ_7 = {[0]_7,[1]_7,[2]_7,[3]_7,[4]_7,[5]_7,[6]_7}$ .
A primo impatto noto che il numero $7$ è un numero primo.
Ora passo al ripasso di teoria e poi mi metto a svilupparlo.
Piccolo consiglio: cerca di essere più preciso, [tex]\mathbb{Z_7}=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]\}[/tex] non è un anello ma un insieme chiamato insieme delle classi dei resti modulo 7, dove appunto gli elementi dell'insieme sono le classi dei resti. Un anello invece è una terna [tex](A,+,*)[/tex] dove [tex]A[/tex] è un insieme di supporto a due operazioni binarie, denotate con i simboli [tex]+[/tex] e [tex]*[/tex] che dotano [tex]A[/tex] della struttura di anello
Hai ragione sto proprio fuori.. Grazie GundamRX91 adesso vado a correggere.
Aiuto Risolvere Sistemi di Congruenze :
Riepilogo di Teoria (Teorema cinese del resto) : Se $ m_1, m_2, m_3,..., m_m$ $in ZZ$ sono tali che $(m_i,m_j)=1$, $i!=j$, allora,$ \forall a_1,a_2,a_3,..,a_n in ZZ$, il sistema :
$x-= a_1 mod m_1 $
$x -= a_2 mod m_2$
$...............$
$x -= a_n mod m_m$
ammette soluzioni, se poi $c$ è una delle soluzioni, tutte le altre sono del tipo $c+(m_1*m_2*m_3*...*m_m)z, zinZZ$.
Mi stavo esercitando a fare i sistemi di congruenze e non riesco a capire un passaggio dell'libro :
$x-= 3 mod 5 $
$x -= 2 mod 9$
Per prima cosa controllo se è verificata la prima parte del Teorema, cioè che $ m_1, m_2, m_3,..., m_m$ $in ZZ$ sono tali che $(m_i,m_j)=1$ quindi nel mio caso è che $m_1 = 5 $ e $m_2=9$ ora verifico che $(m_1,m_2)=(5,9)=1$ ed è verificata la prima condizione ora passo a calcolarmi il sistema :
Svolgo la prima congruenza :
$x -= 3 (mod 5)$
$x = 3 + 5k , kinZZ$
Adesso sostituisco la $x$ trovata nella prima congruenza nella seconda.
$x -= 2 (mod 9)$
$(3 + 5k) -= 2 (mod 9)$
Adesso il libro scrive $5k -= -1 (mod 9)$
Io ho ragionato cosi :
$5k = 2 - 3 + 9h, hinZZ$ esce fuori che $5k = -1 + 9h$ che riportata nella congruenza è $5k -= -1 (mod 9)$
Ora mi calcolo il $M.C.D.(5,9)=1$ quindi rientro nella condizione come sapevamo in partenza e quindi ci dobbiamo aspettare una soluzione.
Passo a svolgere :
$5k = -1 + 9h, h in ZZ$ se prendiamo $h=-1 $ e $k = -2$ otteniamo che $5*(-2) = -1 + 9*(-1)$
Abbiamo ottenuto che la soluzione della congruenza $5k -= 1 (mod9)$ sono $x_0=x_0+9h=-2$ , in generale $x_h=-2+9h , hinZZ$
Riassumiamo, abbiamo ottenuto fino adesso che :
$x = 3 + 5k$
$x_h = -2 + 9h , hinZZ$ tutte le soluzioni della seconda congruenza
Ora la inserisco nella prima congruenza e ottengo :
$ x = 3 + 5*( -2 + 9h) = $
$ x = 3 + 5*(-2) + 5*(9h) = $
$ x = 3 - 10 + 45h = $
$ x = -7 + 45h = $
Poi non riesco a capire perché lui conclude dicendo che :
$ -7 + 45h = 38+45t $ $h,t in ZZ$ ?
Un'altro metodo per risolvere il sistema di Congruenze ed è veloce :
Dopo aver verificato che $(m_i,m_j)=1$ nel nostro caso è $(5,9)=1$ possiamo procedere ha risolvere queste congruenze :
$9x -= 3 (mod 5)$
$5x -= 2 (mod 9)$
Svolgendole otteniamo :
Per la prima : $9x = 3 + 5k$ $k in ZZ$ segue che $ x= 2 , k = 3$
Per la seconda : $5x = 2 + 9h$ $h in ZZ$ segue che $x = 4, k = 2$
Otteniamo i seguenti valori :
$N_1 = 9$ $c_1 =2$
$N_2 = 5$ $c_2 = 4$
$N = 9*5 = 45$
Quindi la soluzione generale del sistema è $x_k = N_1*c_1 + N_2*c_2 + Nk$ ove $k in ZZ$ quindi sostituendo otteniamo :
$x_k = 9*2 + 5*4 + 45k = 18 + 20 + 45k = 38 + 45k$
Riepilogo di Teoria (Teorema cinese del resto) : Se $ m_1, m_2, m_3,..., m_m$ $in ZZ$ sono tali che $(m_i,m_j)=1$, $i!=j$, allora,$ \forall a_1,a_2,a_3,..,a_n in ZZ$, il sistema :
$x-= a_1 mod m_1 $
$x -= a_2 mod m_2$
$...............$
$x -= a_n mod m_m$
ammette soluzioni, se poi $c$ è una delle soluzioni, tutte le altre sono del tipo $c+(m_1*m_2*m_3*...*m_m)z, zinZZ$.
Mi stavo esercitando a fare i sistemi di congruenze e non riesco a capire un passaggio dell'libro :
$x-= 3 mod 5 $
$x -= 2 mod 9$
Per prima cosa controllo se è verificata la prima parte del Teorema, cioè che $ m_1, m_2, m_3,..., m_m$ $in ZZ$ sono tali che $(m_i,m_j)=1$ quindi nel mio caso è che $m_1 = 5 $ e $m_2=9$ ora verifico che $(m_1,m_2)=(5,9)=1$ ed è verificata la prima condizione ora passo a calcolarmi il sistema :
Svolgo la prima congruenza :
$x -= 3 (mod 5)$
$x = 3 + 5k , kinZZ$
Adesso sostituisco la $x$ trovata nella prima congruenza nella seconda.
$x -= 2 (mod 9)$
$(3 + 5k) -= 2 (mod 9)$
Adesso il libro scrive $5k -= -1 (mod 9)$
Io ho ragionato cosi :
$5k = 2 - 3 + 9h, hinZZ$ esce fuori che $5k = -1 + 9h$ che riportata nella congruenza è $5k -= -1 (mod 9)$
Ora mi calcolo il $M.C.D.(5,9)=1$ quindi rientro nella condizione come sapevamo in partenza e quindi ci dobbiamo aspettare una soluzione.
Passo a svolgere :
$5k = -1 + 9h, h in ZZ$ se prendiamo $h=-1 $ e $k = -2$ otteniamo che $5*(-2) = -1 + 9*(-1)$
Abbiamo ottenuto che la soluzione della congruenza $5k -= 1 (mod9)$ sono $x_0=x_0+9h=-2$ , in generale $x_h=-2+9h , hinZZ$
Riassumiamo, abbiamo ottenuto fino adesso che :
$x = 3 + 5k$
$x_h = -2 + 9h , hinZZ$ tutte le soluzioni della seconda congruenza
Ora la inserisco nella prima congruenza e ottengo :
$ x = 3 + 5*( -2 + 9h) = $
$ x = 3 + 5*(-2) + 5*(9h) = $
$ x = 3 - 10 + 45h = $
$ x = -7 + 45h = $
Poi non riesco a capire perché lui conclude dicendo che :
$ -7 + 45h = 38+45t $ $h,t in ZZ$ ?
Un'altro metodo per risolvere il sistema di Congruenze ed è veloce :
Dopo aver verificato che $(m_i,m_j)=1$ nel nostro caso è $(5,9)=1$ possiamo procedere ha risolvere queste congruenze :
$9x -= 3 (mod 5)$
$5x -= 2 (mod 9)$
Svolgendole otteniamo :
Per la prima : $9x = 3 + 5k$ $k in ZZ$ segue che $ x= 2 , k = 3$
Per la seconda : $5x = 2 + 9h$ $h in ZZ$ segue che $x = 4, k = 2$
Otteniamo i seguenti valori :
$N_1 = 9$ $c_1 =2$
$N_2 = 5$ $c_2 = 4$
$N = 9*5 = 45$
Quindi la soluzione generale del sistema è $x_k = N_1*c_1 + N_2*c_2 + Nk$ ove $k in ZZ$ quindi sostituendo otteniamo :
$x_k = 9*2 + 5*4 + 45k = 18 + 20 + 45k = 38 + 45k$
La prima parte va bene.
Quando sostituisci [tex]x=3 + 5k, k \in \mathbb{Z}[/tex] alla seconda equazione, hai:
[tex]3 + 5k \equiv 2_{(mod 9)}[/tex] da cui [tex]5k \equiv -1_{(mod 9)} \equiv 8_{(mod 9)}[/tex]
Ora devo calcolare l'inverso moltiplicativo, cioè [tex]5k \equiv 1_{(mod 9)}[/tex] da cui [tex]5k-9y=1, y \in \mathbb{Z}[/tex], che ha soluzione per [tex]k=2[/tex] e [tex]y=1[/tex], quindi [tex]5k \equiv 8_{(mod 9)}[/tex], moltiplicata per 2, diventa [tex]k \equiv 16_{(mod 9)} \equiv 7_{(mod 9)}[/tex] da cui ricavi che [tex]k=7+9y, y \in \mathbb{Z}[/tex].
Infine [tex]x=3+5k=3+5(7+9y)=3+35+45y=38+45y[/tex]
Quando sostituisci [tex]x=3 + 5k, k \in \mathbb{Z}[/tex] alla seconda equazione, hai:
[tex]3 + 5k \equiv 2_{(mod 9)}[/tex] da cui [tex]5k \equiv -1_{(mod 9)} \equiv 8_{(mod 9)}[/tex]
Ora devo calcolare l'inverso moltiplicativo, cioè [tex]5k \equiv 1_{(mod 9)}[/tex] da cui [tex]5k-9y=1, y \in \mathbb{Z}[/tex], che ha soluzione per [tex]k=2[/tex] e [tex]y=1[/tex], quindi [tex]5k \equiv 8_{(mod 9)}[/tex], moltiplicata per 2, diventa [tex]k \equiv 16_{(mod 9)} \equiv 7_{(mod 9)}[/tex] da cui ricavi che [tex]k=7+9y, y \in \mathbb{Z}[/tex].
Infine [tex]x=3+5k=3+5(7+9y)=3+35+45y=38+45y[/tex]
Il primo che ti ho proposto è errato.
$9^(1800)-=1(mod6) => 3^1800-=1(mod6)$ questa congruenza non è vera per un semplice motivo.
$(9,6)=3$ e quindi non vale il teorema di Eulero.
Infatti se valesse $\phi(6) = 2$ e quindi $(9^2)^900-=1(mod6)$
ma ciò è un assurdo perché si nota subito che $9^1800-=3(mod6)$
Per il terzo esercizio... prima di buttarti sui massimi comuni divisori, quanto vale $[24]_3$?
per il secondo.
$7$ è primo, quindi per il .... di .... si ha che ... dato che ....
$9^(1800)-=1(mod6) => 3^1800-=1(mod6)$ questa congruenza non è vera per un semplice motivo.
$(9,6)=3$ e quindi non vale il teorema di Eulero.
Infatti se valesse $\phi(6) = 2$ e quindi $(9^2)^900-=1(mod6)$
ma ciò è un assurdo perché si nota subito che $9^1800-=3(mod6)$
Per il terzo esercizio... prima di buttarti sui massimi comuni divisori, quanto vale $[24]_3$?
per il secondo.
$7$ è primo, quindi per il .... di .... si ha che ... dato che ....
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