Aiutino esercizi sui gruppi ciclici ?
1) Provare che ogni parte finita di (Q,+) genera un gruppo ciclico e dedurre che Q è unione di una successione strettamente crescente di gruppi ciclici.
2) Sia G un gruppo finito non identico. Provare che G è ciclico e ha ordine potenza di primo se e solo se G possiede un unico sottogruppo massimale
3) Sia G un gruppo finito non identico. Provare che G è ciclico e ha ordine potenza di primo se e solo se $ ( L(G),\subseteq ) $ è una catena
Svolgimenti
1) Sia $ X={m_1/n_1,m_2/n_2, ... ,m_k/n_k} $ una parte finita di Q. Poichè ogni elemento di X si può pensare come multiplo (passatemi il termine xD ) di $ n_1^{-1}n_2^{-1}...n_k^{-1} $ allora \(\displaystyle \langle X \rangle = \langle n_1^{-1}n_2^{-1}...n_k^{-1} \rangle \) è ciclico. Una successione strettamente crescente di gruppi ciclici la cui unione è Q potrebbe essere \(\displaystyle \langle 1 \rangle \subset \langle 1/2 \rangle \subset ... \subset \langle \frac {1} {n!} \rangle ... \) ??
2 e 3) Se G è ciclico e $ |G|=p^n $ con $ n>1 $ allora G possiede un unico sottogruppo di ordine $ p^{n-1} $ che è ovviamente massimale, ma è anche ciclico ed a sua volta contiene un unico sottogruppo di ordine $ p^{n-2} $che è anche l'unico sottogruppo di G di ordine $ p^{n-2} $, che a sua volta è ciclico e contiene un sottogruppo di ordine $ p^{n-3} $ e così via ... , allora è chiaro che $ (L(G),\subseteq ) $ è una catena.
Viceversa supponiamo che G possieda un unico sottogruppo massimale $ H < G $ e sia $ x \in G-H $. Il sottogruppo generato da x non è contenuto in H e per ipotesi non può essere massimale quindi è \(\displaystyle G=\langle x \rangle \) è ciclico.
L'ordine di G non può essere primo altrimenti sarebbe privo di sottogruppi massimali contro l'ipotesi, quindi per il teorema fondamentale dell'aritmentica l'intero $ |G| $ si può esprimere come prodotto di numeri primi ovvero $ |G|= p_1p_2 ... p_n $. Allora G che è ciclico possiede sottogruppi di ordine $ |G|/p_k $ tutti massimali, ma per ipotesi c'è un unico sottogruppo massimale allora $ p_1=p_2=...=p_n $ e quindi $ |G|=p^n $.
Infine se $ ( L(G),\subseteq ) $ è una catena allora G possiede un unico sottogruppo massimale e quindi e ciclico e ha ordine potenza di primo.
Non sono sicuro soprattutto del primo... ci date un occhiata ? Mille grazie!
2) Sia G un gruppo finito non identico. Provare che G è ciclico e ha ordine potenza di primo se e solo se G possiede un unico sottogruppo massimale
3) Sia G un gruppo finito non identico. Provare che G è ciclico e ha ordine potenza di primo se e solo se $ ( L(G),\subseteq ) $ è una catena
Svolgimenti
1) Sia $ X={m_1/n_1,m_2/n_2, ... ,m_k/n_k} $ una parte finita di Q. Poichè ogni elemento di X si può pensare come multiplo (passatemi il termine xD ) di $ n_1^{-1}n_2^{-1}...n_k^{-1} $ allora \(\displaystyle \langle X \rangle = \langle n_1^{-1}n_2^{-1}...n_k^{-1} \rangle \) è ciclico. Una successione strettamente crescente di gruppi ciclici la cui unione è Q potrebbe essere \(\displaystyle \langle 1 \rangle \subset \langle 1/2 \rangle \subset ... \subset \langle \frac {1} {n!} \rangle ... \) ??
2 e 3) Se G è ciclico e $ |G|=p^n $ con $ n>1 $ allora G possiede un unico sottogruppo di ordine $ p^{n-1} $ che è ovviamente massimale, ma è anche ciclico ed a sua volta contiene un unico sottogruppo di ordine $ p^{n-2} $che è anche l'unico sottogruppo di G di ordine $ p^{n-2} $, che a sua volta è ciclico e contiene un sottogruppo di ordine $ p^{n-3} $ e così via ... , allora è chiaro che $ (L(G),\subseteq ) $ è una catena.
Viceversa supponiamo che G possieda un unico sottogruppo massimale $ H < G $ e sia $ x \in G-H $. Il sottogruppo generato da x non è contenuto in H e per ipotesi non può essere massimale quindi è \(\displaystyle G=\langle x \rangle \) è ciclico.
L'ordine di G non può essere primo altrimenti sarebbe privo di sottogruppi massimali contro l'ipotesi, quindi per il teorema fondamentale dell'aritmentica l'intero $ |G| $ si può esprimere come prodotto di numeri primi ovvero $ |G|= p_1p_2 ... p_n $. Allora G che è ciclico possiede sottogruppi di ordine $ |G|/p_k $ tutti massimali, ma per ipotesi c'è un unico sottogruppo massimale allora $ p_1=p_2=...=p_n $ e quindi $ |G|=p^n $.
Infine se $ ( L(G),\subseteq ) $ è una catena allora G possiede un unico sottogruppo massimale e quindi e ciclico e ha ordine potenza di primo.
Non sono sicuro soprattutto del primo... ci date un occhiata ? Mille grazie!
Risposte
Aggiungo anche questo
4) Sia G un gruppo. Se AutG è ciclico allora G è abeliano.
So che è banale ma non mi viene
4) Sia G un gruppo. Se AutG è ciclico allora G è abeliano.
So che è banale ma non mi viene
So che il topic sta diventando chilometrico ma l'argomento è sempre lo stesso quindi perchè aprirne un altro? 
Aggiungo...
5) Sia G un gruppo tale che ogni parte finita di G genera un gruppo ciclico. Provare che G è abeliano e non è misto.
Svolgimento
Siano x e y elementi di G e sia z un generatore del sottogruppo generato da $ {x,y} $. Allora x e y sono potenze di z e come tali sono permutabili. Segue che G è abeliano. Sia $ x \ne 1 $ un elemento periodico di G e $ y $ un elemento qualsiasi. Sappiamo che $ x=z^n e y=z^k $ per qualche $ n,k \in Z $ e sappiamo inoltre che $ x^m=1 $ per qualche m intero positivo poichè x è periodico. Allora $ y^{mn}=z^{knm}=(x^m)^k=1 $ e y è periodico. Quindi se G possiede un elemento periodico diverso dall'unità allora è periodico, altrimenti è aperiodico, in ogni caso non è misto.
Se qualche anima pia mi conferma l'esercizio avrà la mia infinita gratitudine xD
Aggiungo...
5) Sia G un gruppo tale che ogni parte finita di G genera un gruppo ciclico. Provare che G è abeliano e non è misto.
Svolgimento
Siano x e y elementi di G e sia z un generatore del sottogruppo generato da $ {x,y} $. Allora x e y sono potenze di z e come tali sono permutabili. Segue che G è abeliano. Sia $ x \ne 1 $ un elemento periodico di G e $ y $ un elemento qualsiasi. Sappiamo che $ x=z^n e y=z^k $ per qualche $ n,k \in Z $ e sappiamo inoltre che $ x^m=1 $ per qualche m intero positivo poichè x è periodico. Allora $ y^{mn}=z^{knm}=(x^m)^k=1 $ e y è periodico. Quindi se G possiede un elemento periodico diverso dall'unità allora è periodico, altrimenti è aperiodico, in ogni caso non è misto.
Se qualche anima pia mi conferma l'esercizio avrà la mia infinita gratitudine xD
up (spero non sia contro il regolamento... sono passati due giorni...)
E visto che siete così gentili ci sarebbe anche questo che non riesco a risolvere:
6) Sia G un gruppo. Se l'insieme dei sottogruppi di G è finito allora G è finito.
Sto cercando di provarlo al contrario cioè se un gruppo è infinito allora ha infiniti sottogruppi... ma neanche mi riesce...
Come sempre grazie mille del prezioso aiuto xD
6) Sia G un gruppo. Se l'insieme dei sottogruppi di G è finito allora G è finito.
Sto cercando di provarlo al contrario cioè se un gruppo è infinito allora ha infiniti sottogruppi... ma neanche mi riesce...
Come sempre grazie mille del prezioso aiuto xD
Non ho controllato i dettagli, ma sugli esercizi 1,2,3,5 le idee sono giuste.
Per quanto riguarda il 4 ti consiglio di procedere dimostrando che
(1) il quoziente di un gruppo [tex]G[/tex] col suo centro si immerge in [tex]\text{Aut}(G)[/tex], e
(2) il quoziente di un gruppo non abeliano col suo centro non è mai ciclico.
Per quanto riguarda il 6 guarda qui (1) e/o qui (2).
Per quanto riguarda il 4 ti consiglio di procedere dimostrando che
(1) il quoziente di un gruppo [tex]G[/tex] col suo centro si immerge in [tex]\text{Aut}(G)[/tex], e
(2) il quoziente di un gruppo non abeliano col suo centro non è mai ciclico.
Per quanto riguarda il 6 guarda qui (1) e/o qui (2).
Grazie mille!
Sono proprio un asino il risultato (1) lo conosco, so che G/Z(G) e isomorfo a InnG , adesso mi metto un pò a pensare al punto (2) Ancora grazie.
"Martino":
Per quanto riguarda il 4 ti consiglio di procedere dimostrando che
(1) il quoziente di un gruppo [tex]G[/tex] col suo centro si immerge in [tex]\text{Aut}(G)[/tex], e
(2) il quoziente di un gruppo non abeliano col suo centro non è mai ciclico.
Sono proprio un asino
il risultato (1) lo conosco, so che G/Z(G) e isomorfo a InnG , adesso mi metto un pò a pensare al punto (2) Ancora grazie.
Allora... se G non è abeliano esistono 2 elementi tali che $ xy \ne yx $. Supponendo $ G \/ Z(G) $ ciclico e $ zZ(G) $ un suo
generatore sarebbe $ xZ(G)=z^{n}Z(G) $ e $ yZ(G)=z^{m}Z(G) $ e quindi $ x^mZ(G)=y^nZ(G) $ per qualche m,n interi.
Segue che $ x^{-m}y^n \in Z(G) $ è permutabile con ogni elemnto di G , in particlolare con $ y^{-n}x^{m+n} $ ed abbiamo
$x^n=(x^{-m}y^n)(y^{-n}x^{m+n})=(y^{-n}x^{m+n})(x^{-m}y^n)=y^{-n}x^ny^n $ da cui $ y^nx^n=x^ny^n $ che però non
contraddice l'ipotesi $ xy \ne yx $ e quindi non c'è l'assurdo e quindi non c'è la dimostrazione
generatore sarebbe $ xZ(G)=z^{n}Z(G) $ e $ yZ(G)=z^{m}Z(G) $ e quindi $ x^mZ(G)=y^nZ(G) $ per qualche m,n interi.
Segue che $ x^{-m}y^n \in Z(G) $ è permutabile con ogni elemnto di G , in particlolare con $ y^{-n}x^{m+n} $ ed abbiamo
$x^n=(x^{-m}y^n)(y^{-n}x^{m+n})=(y^{-n}x^{m+n})(x^{-m}y^n)=y^{-n}x^ny^n $ da cui $ y^nx^n=x^ny^n $ che però non
contraddice l'ipotesi $ xy \ne yx $ e quindi non c'è l'assurdo e quindi non c'è la dimostrazione
Ah e poi ho notato che mostrando che con analogo ragionamento siccome $ x^{-m}y^n \in Z(G) $ allora è permutabile con
$ y^{m-n}x^m $ e si ottiene $ x^my^m=y^mx^m $ Adesso se riuscissi a mostrare che da $ x^my^m=y^mx^m $ e $ y^nx^n=x^ny^n $ con $ m \ne n \ne 1 $ segue $ xy=yx $ avrei finito...
$ y^{m-n}x^m $ e si ottiene $ x^my^m=y^mx^m $ Adesso se riuscissi a mostrare che da $ x^my^m=y^mx^m $ e $ y^nx^n=x^ny^n $ con $ m \ne n \ne 1 $ segue $ xy=yx $ avrei finito...
La fai un po' complicata: detto [tex]w[/tex] un generatore di [tex]G/Z(G)[/tex], esistono [tex]a,b \in Z(G)[/tex] e [tex]m,n \in \mathbb{N}[/tex] tali che [tex]x=w^m a[/tex], [tex]y=w^n b[/tex], quindi [tex]xy = w^m a w^n b = \ldots[/tex]
$ ... = w^nbw^ma = yx $ come al solito mi sono perso in ragionamenti tortuosi
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