Aiutatemi... esercizio di Algebra
Salve a tutti...
Ho un dubbio su come risolvere questo esercizio...
Nell'anello dei polinomi Z[x] si considerino gli ideali (n), (x) e (n,x), con n appartenente ai Naturali (tranne lo zero). Dimostrare che:
Z[x]/(n) è isomorfo a Zn[x] (n al pedice ovviamente)
Z[x]/(x) è isomorfo a Z
Z[x]/(n,x) è isomorfo a Zn
secondo me si potrebbe usare il teorema fondamentale d'omomorfismo ma credo risulterebbe troppo laborioso e inutile... credo che si possa arrivare a dimostrare l'isomorfismo in tutti e 3 i casi applicando qualche teorema che sfrutti il fatto ad esempio che Z[x] è un dominio a fattorizzazione unica... o qualcosa del genere.... qualcuno di voi può aiutarmi per favore???
è molto importante...
Grazie di cuore in anticipo a chiunque sarà così gentile!
Ho un dubbio su come risolvere questo esercizio...
Nell'anello dei polinomi Z[x] si considerino gli ideali (n), (x) e (n,x), con n appartenente ai Naturali (tranne lo zero). Dimostrare che:
Z[x]/(n) è isomorfo a Zn[x] (n al pedice ovviamente)
Z[x]/(x) è isomorfo a Z
Z[x]/(n,x) è isomorfo a Zn
secondo me si potrebbe usare il teorema fondamentale d'omomorfismo ma credo risulterebbe troppo laborioso e inutile... credo che si possa arrivare a dimostrare l'isomorfismo in tutti e 3 i casi applicando qualche teorema che sfrutti il fatto ad esempio che Z[x] è un dominio a fattorizzazione unica... o qualcosa del genere.... qualcuno di voi può aiutarmi per favore???
è molto importante...
Grazie di cuore in anticipo a chiunque sarà così gentile!
Risposte
Per la seconda potresti osservare piuttosto in fretta con la definizione...
Ad esempio prova a calcolare la classe di equivalenza di un polinomio generico $ a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n $
Osserveresti che...
Ad esempio prova a calcolare la classe di equivalenza di un polinomio generico $ a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n $
Osserveresti che...
non capisco cosa intendi 
Sai come si costruisce un insieme quoziente? Se sì, saprai che possiamo rappresentare gli elementi come i resti della divisione per l'ideale su cui quozientiamo, nel qual caso $ (x) $.
Dal risultato della divisione è piuttosto immediato un omomorfismo che poi potrai verificare essere biettivo...
Ah, aggiungerei che ci si arriva nello stesso modo anche per la prima
Dal risultato della divisione è piuttosto immediato un omomorfismo che poi potrai verificare essere biettivo...
Ah, aggiungerei che ci si arriva nello stesso modo anche per la prima
ahh... forse ho capito... ora ci provo grazie... e per la terza???
non ci riesco =( non so cosa sbaglio potresti scrivermi i vari passaggi per favore?
potresti scrivermi i vari passaggi per favore?
Una volta finiti i primi due, metti assieme quello che hai capito e dovresti trovare la risposta
Hint: cos'è (n,x)? Com'è definito il Quoziente? E soprattutto: come sono fatti i suoi elementi?
Se vuoi posta qui le tue soluzioni, vediamo se sono corrette!
Hint: cos'è (n,x)? Com'è definito il Quoziente? E soprattutto: come sono fatti i suoi elementi?
Se vuoi posta qui le tue soluzioni, vediamo se sono corrette!
Purtroppo per regolamento dovresti postare tu i tuoi tentativi, così almeno partiamo da qualcosa di tuo!
Innanzi tutto grazie per cercare di farmi ragionare... lo apprezzo molto... ma forse sono un po' negata io per l'algebra... credo di scrivere solo cavolate... per me posso postarle ma secondo me mi dirai che sono negata... il fatto è che per me l'algabra è un tantino troppo astratta...comunque... posso riscrivere il casino che ho fatto più sistemato e posto la foto... ok? ma nel caso in cui è un totale fallimento puoi scrivermeli tu per favore??? magari vedendolo svolto dico "guarda un po' era una scemenza!" e lo capisco... che ne pensi?
il fatto è che per me l'algabra è un tantino troppo astratta...comunque... posso riscrivere il casino che ho fatto più sistemato e posto la foto... ok? ma nel caso in cui è un totale fallimento puoi scrivermeli tu per favore??? magari vedendolo svolto dico "guarda un po' era una scemenza!" e lo capisco... che ne pensi?
Va benissimo, l'importante è che ci metti del tuo, sennò è inutile
Z[x]/(x)= {f(x)+(x)| f(x)∈ Z[x]} giusto?
ho problemi con lo scanner... comunque in pratica quello a cui ho pensato io è scrivere una funzione da Z[x]/(x) a Zn[x]
ora siccome Z[x]/(x) = {f(x)+(x)| f(x)∈ Z[x]} dove f(x)= a_0+a_1 x+a_2 x^2+⋯+a_m x^m e in Zn[x] g(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+⋯+a_n-1 x^n-1 i coefficenti ovviamente sono classi resto... la funzione manda f(x)+(x) in g(x) fin qui ci sono?
ora (x)={ x per f(x)con f(x) ∈ Z[x]} giusto o no? se è così l'ideale generato da x fa parte dello stesso f(x) quindi dimostrare la bigettività della funzione mi dimostrebbe l'isomorfismo... sarebbe così? Ho paura di non essermi espressa molto bene =(
ora siccome Z[x]/(x) = {f(x)+(x)| f(x)∈ Z[x]} dove f(x)= a_0+a_1 x+a_2 x^2+⋯+a_m x^m e in Zn[x] g(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+⋯+a_n-1 x^n-1 i coefficenti ovviamente sono classi resto... la funzione manda f(x)+(x) in g(x) fin qui ci sono?
ora (x)={ x per f(x)con f(x) ∈ Z[x]} giusto o no? se è così l'ideale generato da x fa parte dello stesso f(x) quindi dimostrare la bigettività della funzione mi dimostrebbe l'isomorfismo... sarebbe così? Ho paura di non essermi espressa molto bene =(
ho problemi con lo scanner... comunque in pratica quello a cui ho pensato io è scrivere una funzione da Z[x]/(x) a Zn[x]
ora siccome Z[x]/(x) = {f(x)+(x)| f(x)∈ Z[x]} dove f(x)= a_0+a_1 x+a_2 x^2+⋯+a_m x^m e in Zn[x] g(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+⋯+a_n-1 x^n-1 i coefficenti ovviamente sono classi resto... la funzione manda f(x)+(x) in g(x) fin qui ci sono?
ora (x)={ x per f(x)con f(x) ∈ Z[x]} giusto o no? se è così l'ideale generato da x fa parte dello stesso f(x) quindi dimostrare la bigettività della funzione mi dimostrebbe l'isomorfismo... sarebbe così? Ho paura di non essermi espressa molto bene =(
ora siccome Z[x]/(x) = {f(x)+(x)| f(x)∈ Z[x]} dove f(x)= a_0+a_1 x+a_2 x^2+⋯+a_m x^m e in Zn[x] g(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+⋯+a_n-1 x^n-1 i coefficenti ovviamente sono classi resto... la funzione manda f(x)+(x) in g(x) fin qui ci sono?
ora (x)={ x per f(x)con f(x) ∈ Z[x]} giusto o no? se è così l'ideale generato da x fa parte dello stesso f(x) quindi dimostrare la bigettività della funzione mi dimostrebbe l'isomorfismo... sarebbe così? Ho paura di non essermi espressa molto bene =(
Il problema nel tuo ragionamento nasce dal fatto che per te è
$ (ZZ[x])/((x))={f(x)+(x)|f(x)in ZZ[x]} $
che formalmente è corretto, ma è difficile da interpretare. Se dividi un polinomio generico per $ x $, ottieni come resto il suo termine noto, null'altro che quello (se non ti fidi puoi provare con l'algoritmo di divisione!)
Allora $ (ZZ[x])/((x))={a_0+(x)|a_0in ZZ} $
Ora il morfismo diventa evidente:
$ G:(ZZ[x])/((x))->ZZ $
$ G:(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)->a_0 $
E' più chiaro? (La verifica che è biettivo e quindi i due anelli sono isomorfi te la lascerei...)
$ (ZZ[x])/((x))={f(x)+(x)|f(x)in ZZ[x]} $
che formalmente è corretto, ma è difficile da interpretare. Se dividi un polinomio generico per $ x $, ottieni come resto il suo termine noto, null'altro che quello (se non ti fidi puoi provare con l'algoritmo di divisione!)
Allora $ (ZZ[x])/((x))={a_0+(x)|a_0in ZZ} $
Ora il morfismo diventa evidente:
$ G:(ZZ[x])/((x))->ZZ $
$ G:(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)->a_0 $
E' più chiaro? (La verifica che è biettivo e quindi i due anelli sono isomorfi te la lascerei...)
Grazie... già è più chiaro domani mattina ci provo a svolgerlo meglio, con calma e senza agitarmi... comunque poco fa in quello che ho scritto io, nella confusione, ho mischiato il primo e il secondo esercizio XD
Ho riflettuto su quanto mi hai detto e ho notato che è praticamente la stessa cosa di applicare il teorema fondamentale d'omomorfismo... cioè ad esempio in questo secondo caso, scrivere un'applicazione da Z[x] in Z dinostrare che è epimorfismo e che il suo nucleo è proprio (x) e quindi l'isomorfismo è una semplice implicazione tramite il teorema... è giusto come ragionamento o no?
ho provato a fare una foto col cell... legato a questo ragionamento ho fatto questi passaggi... sono corretti? se non lo sono mi scrivi cortesemente dove sbaglio? Grazie! =)
Brava, la risoluzione che hai dato nella foto è corretta e piuttosto elegante, direi più della mia
Solo una cosa: quando definisci $ varphi $ affermi che è un epimorfismo. Come mai? Tecnicamente:
$ varphi(f(x))!=varphi(g(x)) rArr a_0!=b_0 $
non è vero, i due polinomi infatti potrebbero differire di un coefficiente superiore o altro ma avere identico termine noto...
Inoltre, dopo ne dimostri la suriettività, perciò se fosse anche epimorfismo, avresti dimostrato che $ ZZ[x]~= ZZ $ che non è esattamente quello che cercavi, no?
Ottimo lavoro comunque, ora seguendo lo stesso ragionamento prova a trovare la soluzione a $ (ZZ[x])/((n))~= ZZ_n[x] $!
Solo una cosa: quando definisci $ varphi $ affermi che è un epimorfismo. Come mai? Tecnicamente:
$ varphi(f(x))!=varphi(g(x)) rArr a_0!=b_0 $
non è vero, i due polinomi infatti potrebbero differire di un coefficiente superiore o altro ma avere identico termine noto...
Inoltre, dopo ne dimostri la suriettività, perciò se fosse anche epimorfismo, avresti dimostrato che $ ZZ[x]~= ZZ $ che non è esattamente quello che cercavi, no?
Ottimo lavoro comunque, ora seguendo lo stesso ragionamento prova a trovare la soluzione a $ (ZZ[x])/((n))~= ZZ_n[x] $!
Diciamo che nn ho affermato che è epimorfismo... intendevo dire che mi servirebbe fosse epimorfismo per applicare il teorema quindi in seguito dimostro che è funzione che è omomorfismo e che è surgettivo.... cmq le varie dimostrazioni sono corrette?
Oddio, scusa, ho confuso monomorfismo e epimorfismo, è corretto.
Sì, le dimostrazioni sono tutte corrette, molto bene!
Sì, le dimostrazioni sono tutte corrette, molto bene!
Meno male... Grazieeeee =) ora magari posto le foto del resto e mi dici se va bene o se ci sono errori... ok???
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