Aiutatemi... esercizio di Algebra

[Ichan89]

Salve a tutti...
Ho un dubbio su come risolvere questo esercizio...

Nell'anello dei polinomi Z[x] si considerino gli ideali (n), (x) e (n,x), con n appartenente ai Naturali (tranne lo zero). Dimostrare che:
Z[x]/(n) è isomorfo a Zn[x] (n al pedice ovviamente)
Z[x]/(x) è isomorfo a Z
Z[x]/(n,x) è isomorfo a Zn

secondo me si potrebbe usare il teorema fondamentale d'omomorfismo ma credo risulterebbe troppo laborioso e inutile... credo che si possa arrivare a dimostrare l'isomorfismo in tutti e 3 i casi applicando qualche teorema che sfrutti il fatto ad esempio che Z[x] è un dominio a fattorizzazione unica... o qualcosa del genere.... qualcuno di voi può aiutarmi per favore???
è molto importante...
Grazie di cuore in anticipo a chiunque sarà così gentile!

[Frink1]

3.6 I testi devono essere scritti, per quanto possibile, in italiano corretto, sia grammaticalmente sia ortograficamente. Il testo di eventuali problemi o esercizi va scritto esplicitamente, senza limitarsi a link o foto o immagini. Non sono consentiti termini abbreviati mutuati dal linguaggio degli SMS. Tutto ciò non solo per il rispetto di chi legge ma anche perché i motori di ricerca non indicizzano correttamente le discussioni, che quindi non possono poi essere trovate da altri interessati al tema. Chi scrive è quindi invitato a rileggere il messaggio per evitare errori di battitura e di grammatica prima di premere il tasto Invia.

Il regolamento dice che sarebbe meglio evitare le immagini, se puoi cerca di utilizzare i codici che trovi in basso quando scrivi il messaggio, non sono difficili! Buona risoluzione

[Ichan89]

scusa per eventuali errori nel testo ma spero mi perdonerai per questa volta perché sono un po' in crisi e agitata a causa dell'esame che si avvicina inesorabilmente... per questa volta se mando la foto va bene lo stesso? la sto riscrivendo in maniera sistemata... per favore... solo per correggerlo... dalla prossima in poi imparo ad usare i codici promessooo!!!

[Frink1]

Manda, manda...!

[Ichan89]

Ecco qua il primo: è corretto??? (tutte i vari passaggi specialmente il nucleo)



e qui di seguito c'è solo l'impostazione del terzo per far prima... mi interessa molto e soprattutto sapere se è corretto il nucleo o eventualmente come andava scritto... Grazie!

[Frink1]

Va piuttosto bene, ti farei solo notare che il Ker non l'hai definito in modo molto preciso (nella prima intendo).

Infatti la tua $ varphi $ manda il polinomio nel suo associato i cui coefficienti sono $ mod(n) $ perciò il $ Ker(varphi) $ dev'essere un insieme di funzioni e non un insieme di classi $ mod(n) $

E' sufficientemente chiaro?

La terza è ok, se lo capisci così va benissimo, sennò ti riconduci alla costruzione ex novo di un morfismo e dimostri che è biettivo.

[Ichan89]

nella seconda infatti ho scritto f(x) tale che... e poi i coefficenti mod(n)... quindi almeno per come l'intendo io resta comunque un insieme di funzioni i cui coefficenti sono espressi mod(n) no?

[Frink1]

Poi però scrivi $ varphi(f(x))=[0]_n$ che è assurdo visto che la phi manda in una funzione e non in una classe. Ho capito che vuoi dire ma è espresso nel modo sbagliato.

[Ichan89]

e come dovrei scriverla allora la funzione nulla?

[Frink1]

Potresti denotarla con $ f_0(x) $ o in qualunque altro modo scelto da te che però non crei ambiguità con altre notazioni in uso corrente...

[Ichan89]

ah ok... poi però il seguito va bene così perché poi parlo dei coefficienti e non più di tutta la funzione, giusto? =)

[Frink1]

Sìsì, è ok, distingui solo quando parli di coefficienti da quando parli di funzioni!

[Ichan89]

Ok grazie mille!!!