Aggiungere un elemento di quanto può cambiare l'altezza?
Non capisco se la cosa è semplice oppure no. Se ho un anello noetheriano $A$, un ideale \(\mathfrak{a}\) e un elemento \(x\in A\) è vero che l'altezza di \(\mathfrak{a}+(x)\) (se è un ideale proprio) è al più quella di \(\mathfrak{a}\) più $1$? E se l'anello è locale?
Se l'altezza di \(\mathfrak{a}\) fosse esattamente il minimo numero di elementi che lo generano allora sarebbe un'applicazione banale del teorema dell'ideale di Krull, ma se fosse strettamente minore?
Se l'altezza di \(\mathfrak{a}\) fosse esattamente il minimo numero di elementi che lo generano allora sarebbe un'applicazione banale del teorema dell'ideale di Krull, ma se fosse strettamente minore?
Risposte
[ot]Per quanto mi sforzi, per quanto mi eserciti e mi sia esercitato, e per quanto sia utile: io e la teoria della dimensione non andiamo d'accordo![/ot]
\[
R=\mathbb{K}[x,y]_{\displaystyle/(y^2-x^3)}
\]
con \(\displaystyle\mathbb{K}\) un campo, si ha che:
\[
\dim_{Krull}R=1,\\
ht(x)=0,\\
ht(x,y)=1.
\]
Ho risposto bene a questa domanda, fornendo un esempio positivo?
"_fabricius_":Prova a considerare:
...Se l'altezza di \( \mathfrak{a} \) fosse esattamente il minimo numero di elementi che lo generano allora sarebbe un'applicazione banale del teorema dell'ideale di Krull, ma se fosse strettamente minore?
\[
R=\mathbb{K}[x,y]_{\displaystyle/(y^2-x^3)}
\]
con \(\displaystyle\mathbb{K}\) un campo, si ha che:
\[
\dim_{Krull}R=1,\\
ht(x)=0,\\
ht(x,y)=1.
\]
Ho risposto bene a questa domanda, fornendo un esempio positivo?
[Edit: il seguente argomento non funziona]
Sia $R$ un anello unitario noetheriano di dimensione $n$ e $r \in R$ un suo elemento non invertibile.
Poi prendi $A = R \times R$, [tex]\mathfrak{a} = ((r,0))[/tex], [tex]x = (1,0)[/tex].
Allora [tex]\mathfrak{a}+(x) = R \times \{0\} = I[/tex] ha altezza $n$ mentre [tex]\mathfrak{a}[/tex] ha altezza al più $1$. O sbaglio?
Edit: Sbaglio, perché $I$ in realtà ha altezza 1.
Ci ho pensato un po' e secondo me potrebbe succedere che $a+(x)$ ha altezza tanto più grande di quella di $a$. Un controesempio lo cercherei tra gli anelli locali non regolari oppure tra gli anelli che non sono Cohen–Macaulay.
Domanda interessante!
Sia $R$ un anello unitario noetheriano di dimensione $n$ e $r \in R$ un suo elemento non invertibile.
Poi prendi $A = R \times R$, [tex]\mathfrak{a} = ((r,0))[/tex], [tex]x = (1,0)[/tex].
Allora [tex]\mathfrak{a}+(x) = R \times \{0\} = I[/tex] ha altezza $n$ mentre [tex]\mathfrak{a}[/tex] ha altezza al più $1$. O sbaglio?
Edit: Sbaglio, perché $I$ in realtà ha altezza 1.
Ci ho pensato un po' e secondo me potrebbe succedere che $a+(x)$ ha altezza tanto più grande di quella di $a$. Un controesempio lo cercherei tra gli anelli locali non regolari oppure tra gli anelli che non sono Cohen–Macaulay.
Domanda interessante!
Sulla linea del post precedente, prendiamo un anello $R$ (commutativo, unitario, noetheriano) con un ideale massimale $m$ di altezza $n$. Poi prendiamo $a = \{0\} \times m$ dentro $A = R \times R$ e $x = (1,0)$. Allora $a$ ha altezza zero in $A$ (perché ogni ideale primo di $A$ deve contenere $R \times \{0\}$ oppure $\{0\} \times R$) mentre invece $a+(x) = R \times m$ ha altezza $n$.
Vi ringrazio dell'interesse!
Semplice ed elegante il tuo controesempio Martino!
Semplice ed elegante il tuo controesempio Martino!
"Martino":Perché?
...Allora $a$ ha altezza zero in $A$ (perché ogni ideale primo di $A$ deve contenere $R \times \{0\}$ oppure $\{0\} \times R$)...
Cioè, se aggiungiamo l'ipotesi che \(\displaystyle R\) sia un dominio d'integrità, allora \(\displaystyle\{0\}\times\{0\}\) è un ideale primo di \(\displaystyle R\times R\)... O sbaglio?
Dal momento che \( (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)\) ogni ideale primo deve contenere uno tra \((1,0)\) e \((0,1)\) ( e quindi contiene \(R\times \{0\}\) o \(\{0\}\times R\) ).
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