Affermazioni su insiemi
Buonasera a tutti gli amici del forum,
mi trovo di fronte a questo problema.
$a) (A uu C) nn D$ è un sottonsieme di B
$b) (A uu C) nn D$ non è un sottonsieme di B
quali delle seguenti affermazioni posso usare per esprimere $a$ e quali per esprimere $b$ ?
1)$EEa(a in(A uu C)nnD ^^ a in B)$
2)$AAa(a in(A uu C)nnD vv a in B)$
3)$AAa(a in(A uu C)nnD rarr a in B)$
Ho provato in questo modo con degli insiemi casuali:
$A={3,6,7,10}$
$B={7,9,10,12,20}$
$C={7,9,10}$
$D={7,9,12}$
ma per tutte posso usare la formula $a$ il che mi pare un po strano....probabilmente non ho capito l'esercizio...
Grazie in anticipo a chiunque mi voglia aiutare.
mi trovo di fronte a questo problema.
$a) (A uu C) nn D$ è un sottonsieme di B
$b) (A uu C) nn D$ non è un sottonsieme di B
quali delle seguenti affermazioni posso usare per esprimere $a$ e quali per esprimere $b$ ?
1)$EEa(a in(A uu C)nnD ^^ a in B)$
2)$AAa(a in(A uu C)nnD vv a in B)$
3)$AAa(a in(A uu C)nnD rarr a in B)$
Ho provato in questo modo con degli insiemi casuali:
$A={3,6,7,10}$
$B={7,9,10,12,20}$
$C={7,9,10}$
$D={7,9,12}$
ma per tutte posso usare la formula $a$ il che mi pare un po strano....probabilmente non ho capito l'esercizio...
Grazie in anticipo a chiunque mi voglia aiutare.
Risposte
Allora andiamo passo per passo:
$(A uu C) nn D$ possiamo chiamarlo $A$, l'equiestensione non cambia la soluzione del problema.
Analizziamo una per una l'ipotesi
[quote=Pozzetto]
a)$A $ è un sottonsieme di $B$
b)$ A $ non è un sottonsieme di $B$
quali delle seguenti affermazioni posso usare per esprimere $ a $ e quali per esprimere $ b $ ?
1)$ EEa(a in A ^^ a in B) $
2)$ AAa(a in A vv a in B) $
3)$ AAa(a in A rarr a in B) $
1)$ EEa(a in A ^^ a in B) $
Cosa ci dice questa ipotesi sugli insiemi presi in considerazione? Ci dice che A è un sottoinsieme di B? No. Ci dice che esiste un $a$ che si trova nell'intersezione $AnnB$
2)$ AAa(a in A vv a in B) $
E questa che ci dice? Che per ogni $a$ che puoi considerare essa starà nell'unione tra $A$ e $B$ ovvero starà in $A uu B$
Adesso prova a ragionare in questo modo e cerca di capire cosa ti sta dicendo la 3):
$ AAa(a in A rarr a in B) $
$(A uu C) nn D$ possiamo chiamarlo $A$, l'equiestensione non cambia la soluzione del problema.
Analizziamo una per una l'ipotesi
[quote=Pozzetto]
a)$A $ è un sottonsieme di $B$
b)$ A $ non è un sottonsieme di $B$
quali delle seguenti affermazioni posso usare per esprimere $ a $ e quali per esprimere $ b $ ?
1)$ EEa(a in A ^^ a in B) $
2)$ AAa(a in A vv a in B) $
3)$ AAa(a in A rarr a in B) $
1)$ EEa(a in A ^^ a in B) $
Cosa ci dice questa ipotesi sugli insiemi presi in considerazione? Ci dice che A è un sottoinsieme di B? No. Ci dice che esiste un $a$ che si trova nell'intersezione $AnnB$
2)$ AAa(a in A vv a in B) $
E questa che ci dice? Che per ogni $a$ che puoi considerare essa starà nell'unione tra $A$ e $B$ ovvero starà in $A uu B$
Adesso prova a ragionare in questo modo e cerca di capire cosa ti sta dicendo la 3):
$ AAa(a in A rarr a in B) $
È evidente che tu non abbia capito l'esercizio, ma perché non hai capito cosa rappresentano gli insiemi e non hai studiato bene le regole. Gli insiemi è quanto di più facile da capire, così facile da capire che o li capisci senza spiegazione oppure non li potrai mai capire perché la matematica non riesce a definirli.
Ultimo aiuto: pensa a condizioni necessarie e sufficienti.
La 3 $AAa(a in A rarr a in B) $ mi dice che qualunque $a$ prendo se quell' $a$ appartiene ad $A$ allora appartiene anche a $B$.
In questo caso posso quindi dire che è un sottoinsieme di $B$, corretto?
In questo caso posso quindi dire che è un sottoinsieme di $B$, corretto?
Perfetto! Prova con Eulero-Venn e ti accorgerai che negli altri due casi può darsi benissimo che alcuni elementi di $A$ non stiano in $B$ e perciò $A$ non è un sottoinsieme di $B$.
Avevo anche le due seguenti dello stesso tipo:
1)$EEa(ain(A uu C)nn D ^^ a notin B)$ è quindi secondo me $A$ non è sottoinsieme di $B$
2)$EEa(a notin(A uu C)nn D ^^ a in B)$ è quindi secondo me $A$ non è sottoinsieme di $B$
corretto?
1)$EEa(ain(A uu C)nn D ^^ a notin B)$ è quindi secondo me $A$ non è sottoinsieme di $B$
2)$EEa(a notin(A uu C)nn D ^^ a in B)$ è quindi secondo me $A$ non è sottoinsieme di $B$
corretto?
Svolgi il ragionamento:è vietato dal regolamento scrivere problemi senza svolgere ragionamenti! Avanti: teoria in mano e un passo alla volta.
@Pozzetto: mettiamo da parte il tuo problema per un secondo. Che cosa significa il quantificatore esistenziale \(\exists\)? Che cosa significa essere sottoinsieme? A mio avviso dovresti esercitarti a tradurre in parole la formula e cercare di capire quello che dice.
Sia \(E = (A\cup C)\cap D\) quindi \(E\) è l'insieme degli elementi di \(A\) o \(C\) che stanno in \(D\). Quindi in particolare \(A\cap E = A\cap D\).
Ora prova a scrivere in formule la seguente frase “esiste un elemento \(\displaystyle a \) che appartiene all'intersezione tra \(\displaystyle E \) e \(\displaystyle B \)” ma evitando di usare il simbolo \(\displaystyle \cap \). Più ne trovi e meglio è.
Sia \(E = (A\cup C)\cap D\) quindi \(E\) è l'insieme degli elementi di \(A\) o \(C\) che stanno in \(D\). Quindi in particolare \(A\cap E = A\cap D\).
Ora prova a scrivere in formule la seguente frase “esiste un elemento \(\displaystyle a \) che appartiene all'intersezione tra \(\displaystyle E \) e \(\displaystyle B \)” ma evitando di usare il simbolo \(\displaystyle \cap \). Più ne trovi e meglio è.
Ho corretto la 1) che da $EEa(ain(A uu C)nn D ^^ a in B)$ è quindi secondo me $A$ non è sottoinsieme di $B$ diventa
$EEa(ain(A uu C)nn D ^^ a notin B)$.
Errore di battitura.
Quindi questo vuol dire a parole che esiste un elemento $a$ che appartiene ad $A$ ma $a$ non appartiene a $B$ quindi per quello dicevo che $A$ non è sottoinsieme di $B$.
La 2) mi dice che esiste un elemento $a$ che non appartiene ad $A$ e appartiene a $B$ quindi anche in questo caso $A$ non è sottoinsieme di $B$.
Meglio ora?
$EEa(ain(A uu C)nn D ^^ a notin B)$.
Errore di battitura.
Quindi questo vuol dire a parole che esiste un elemento $a$ che appartiene ad $A$ ma $a$ non appartiene a $B$ quindi per quello dicevo che $A$ non è sottoinsieme di $B$.
La 2) mi dice che esiste un elemento $a$ che non appartiene ad $A$ e appartiene a $B$ quindi anche in questo caso $A$ non è sottoinsieme di $B$.
Meglio ora?
L'essere sottoinsieme significa che tutti gli elementi di A sono elementi di B, il viceversa non è vero. La tua lettura delle formule è corretta ma non ragioni a sufficienza sulle implicazioni. Devi usare la definizione per far vedere che è vero o falso.
Ti riferisci alla 1 o alla 2 ?
La prima è corretta e tutto sommato hai usato la definizione. Nella seconda invece direi che quella proprietà non nega né conferma che quell'insieme sia un sottoinsieme di B.
Infatti non è sottoinsieme di $B$ proprio per il motivo da te evidenziato.
Un'altro dubbio che mi è venuto riguarda l'uso di $sube$ e di $in$.
In particolare se ho queste due definizioni:
1)$X in P(A nn B) rarr X sube A$
2)$X in P(A nn B) rarr X in P(A)$
in generale posso dire che $sube$ si usa per un insieme(in particolare per un sottoinsieme proprio) e $in$ per un elemento di un insieme?
Un'altro dubbio che mi è venuto riguarda l'uso di $sube$ e di $in$.
In particolare se ho queste due definizioni:
1)$X in P(A nn B) rarr X sube A$
2)$X in P(A nn B) rarr X in P(A)$
in generale posso dire che $sube$ si usa per un insieme(in particolare per un sottoinsieme proprio) e $in$ per un elemento di un insieme?
"Pozzetto":
Infatti non è sottoinsieme di $B$ proprio per il motivo da te evidenziato.
NO. Quello che ho detto io è che non si può dire nulla sul fatto che sia o meno un sottoinsieme. L'insieme \(\displaystyle \{1,2\} \) è un sottoinsieme di \(\displaystyle \{1,2,3\} \) ma 3 è contenuto in \(\displaystyle \{1,2,3\} \) ma non in \(\displaystyle \{1,2\} \). L'unica cosa che puoi dire è che i due insiemi non sono uguali.
"Pozzetto":
Un'altro dubbio che mi è venuto riguarda l'uso di $sube$ e di $in$.
In particolare se ho queste due definizioni:
1)$X in P(A nn B) rarr X sube A$
2)$X in P(A nn B) rarr X in P(A)$
in generale posso dire che $sube$ si usa per un insieme(in particolare per un sottoinsieme proprio) e $in$ per un elemento di un insieme?
Si è così.
quindi in particolare la 1) dovrebbe essere vera e la 2) falsa?
Si.
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