Addizione di numeri reali
Per definizione la somma di due numeri reali e' data da:
$+ : RR \times RR -> RR$
$ (alpha,beta) -> \alpha+\beta = \gamma = (C,C')$
$ C := {a+b|a in A ^^ b in B}$
Il primo dubbio e': ma si usano solo i primi insiemi di ogni sezione per effettuare l'addizione (e le altre operazioni)?
Secondo dubbio: data la definizione di sezione $\alpha = (A,A')$ dove $A:={a in A| a < \alpha}$ e $A' := {a' in A'| a' >= \alpha}$,
e' corretto "pensare" ad un numero reale, ad esempio $2$ o $3$ come le sezioni:
$2 = (A,A')=(a in A | a<2) ^^ (a' in A' | a' >= 2)$ e $3 = (B,B')=(b in B | b < 3) ^^ (b' in B' | b' >= 3)$ ??
$+ : RR \times RR -> RR$
$ (alpha,beta) -> \alpha+\beta = \gamma = (C,C')$
$ C := {a+b|a in A ^^ b in B}$
Il primo dubbio e': ma si usano solo i primi insiemi di ogni sezione per effettuare l'addizione (e le altre operazioni)?
Secondo dubbio: data la definizione di sezione $\alpha = (A,A')$ dove $A:={a in A| a < \alpha}$ e $A' := {a' in A'| a' >= \alpha}$,
e' corretto "pensare" ad un numero reale, ad esempio $2$ o $3$ come le sezioni:
$2 = (A,A')=(a in A | a<2) ^^ (a' in A' | a' >= 2)$ e $3 = (B,B')=(b in B | b < 3) ^^ (b' in B' | b' >= 3)$ ??
Risposte
"GundamRX91":
Il primo dubbio e': ma si usano solo i primi insiemi di ogni sezione per effettuare l'addizione (e le altre operazioni)?
Rispondo alla prima domanda.
Esiste il seguente risultato (che di solito si tratta prima di introdurre le operazioni):
Proposizione: L'assegnazione della classe inferiore individua la sezione.
Leggendo con maggiore attenzione le dispensa del mio docente, in effetti, viene indicato che e' sufficiente usare solo il primo sottoinsieme di una sezione per definire un numero reale, pero' tra le condizioni che soddisfano una sezione di Dedekind trovo che:
"per ogni elemento $a in A$ vi e' almeno un elemento $b in A$ maggiore di $A$, cioe' $A$ non ammette elementi massimali"
mentre su wikipedia trovo che:
"$A$ non ha massimo, cioè non esiste $m in A$ tale che $m > a$ per ogni altro $a in A$"
ma le due affermazioni non sono in contraddizione?
"Inoltre, sempre su wikipedia, usando la definizione originale di Dedekind un reale e' determinato da due sezioni:
* (A,B) dove A è l'insieme dei razionali strettamente inferiori a r e B è l'insieme dei razionali maggiori o uguali a r,
* (A,B) dove A è l'insieme dei razionali minori o uguali a r e B è l'insieme dei razionali strettamente superiori a r.
Per evitare l'ambiguità, si fa a meno del secondo insieme della coppia e si definisce la sezione come costituita da un solo sottoinsieme $A in QQ$"
Quindi posso considerare allora un numero reale definito dalla sezione $A={a in A | a <= r}$ ??
"per ogni elemento $a in A$ vi e' almeno un elemento $b in A$ maggiore di $A$, cioe' $A$ non ammette elementi massimali"
mentre su wikipedia trovo che:
"$A$ non ha massimo, cioè non esiste $m in A$ tale che $m > a$ per ogni altro $a in A$"
ma le due affermazioni non sono in contraddizione?
"Inoltre, sempre su wikipedia, usando la definizione originale di Dedekind un reale e' determinato da due sezioni:
* (A,B) dove A è l'insieme dei razionali strettamente inferiori a r e B è l'insieme dei razionali maggiori o uguali a r,
* (A,B) dove A è l'insieme dei razionali minori o uguali a r e B è l'insieme dei razionali strettamente superiori a r.
Per evitare l'ambiguità, si fa a meno del secondo insieme della coppia e si definisce la sezione come costituita da un solo sottoinsieme $A in QQ$"
Quindi posso considerare allora un numero reale definito dalla sezione $A={a in A | a <= r}$ ??
"GundamRX91":
Leggendo con maggiore attenzione le dispensa del mio docente, in effetti, viene indicato che e' sufficiente usare solo il primo sottoinsieme di una sezione per definire un numero reale, pero' tra le condizioni che soddisfano una sezione di Dedekind trovo che:
"per ogni elemento $a in A$ vi e' almeno un elemento $b in A$ maggiore di $A$, cioe' $A$ non ammette elementi massimali"
mentre su wikipedia trovo che:
"$A$ non ha massimo, cioè non esiste $m in A$ tale che $m > a$ per ogni altro $a in A$"
ma le due affermazioni non sono in contraddizione?
$A , B$ sono insiemi di numeri razionali. L'ordinamento in $QQ$ è totale, cioè dati due razionali distinti puoi sempre decidere se uno precede l'altro o vice versa. In questa situazione parlare di massimo o di massimale è la stessa cosa.
"GundamRX91":
"Inoltre, sempre su wikipedia, usando la definizione originale di Dedekind un reale e' determinato da due sezioni:
* (A,B) dove A è l'insieme dei razionali strettamente inferiori a r e B è l'insieme dei razionali maggiori o uguali a r,
* (A,B) dove A è l'insieme dei razionali minori o uguali a r e B è l'insieme dei razionali strettamente superiori a r.
Per evitare l'ambiguità, si fa a meno del secondo insieme della coppia e si definisce la sezione come costituita da un solo sottoinsieme $A in QQ$"
Quindi posso considerare allora un numero reale definito dalla sezione $A={a in A | a <= r}$ ??
Un numero reale NON E' determinato da due sezioni. Si chiama numero reale una qualsiasi sezione del campo razionale.
Supponiamo $r in QQ$. Il sottoinsieme $A={a in A | a <= r}$ non determina alcuna sezione di Dedekind. Ha massimo.
Ma non la determina perche' e' errata la definizione che ho dato ($A = {a in A | a <= r}$ oppure perche' ci vogliono comunque due sottoinsiemi per "identificare" una sezione?
"GundamRX91":
Ma non la determina perche' e' errata la definizione che ho dato ($A = {a in A | a <= r}$ oppure perche' ci vogliono comunque due sottoinsiemi per "identificare" una sezione?
Una delle condizioni necessarie perché $(A, B)$ sia una sezione di Dedekind è che la classe $A$ sia priva di massimo e $B$ priva di minimo.
Nel tuo caso $"max"(A) = r$.
ok, adesso ho capito che ti riferivi alla definizione di sezione 
Tornando al primo post poi ho visto che la moltiplicazione usa il secondo sottoinsieme della sezione:
$\alpha * \beta = \delta$ dove $\delta = (D,D')$ e $D':={a' * b' | a' in A' ^^ b' in B'}$
pero' ora non ho capito quando usare il primo sottoinsieme e quando il secondo, cioe' visto che la moltiplicazione puo' essere
fatta come una somma ($3 *4 = 3+3+3+3$) perche' allora non usare anche il primo sottoinsieme anche nelle moltiplicazioni?
Tornando al primo post poi ho visto che la moltiplicazione usa il secondo sottoinsieme della sezione:
$\alpha * \beta = \delta$ dove $\delta = (D,D')$ e $D':={a' * b' | a' in A' ^^ b' in B'}$
pero' ora non ho capito quando usare il primo sottoinsieme e quando il secondo, cioe' visto che la moltiplicazione puo' essere
fatta come una somma ($3 *4 = 3+3+3+3$) perche' allora non usare anche il primo sottoinsieme anche nelle moltiplicazioni?
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