\(a,b \in \Bbb{R}\), quantificare \(c \in \Bbb{R}, n \in \Bbb{N}\) con floor function

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
alle volte ho dei dubbi strani (sarà perchè più volte sono obbligato a non stare attento al formalismo logico)... siano dati \( a,b \in \Bbb{R} \) è giusto scrivere $$\forall n \in \Bbb{N}(\exists! c \in \Bbb{R}(c \doteq a^{\frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor}{10^n}}))$$ o "più giusto" scrivere $$\exists! c \in \Bbb{R}(\forall n \in \Bbb{N}(c \doteq a^{\frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor}{10^n}}))$$ io sono più convinto della prima quantificazione, ma nn essendo un esperto in logica vorrei una qualche conferma, o consiglio, da qualcuno che ne capisce più di me! Ringrazio anticipatamente!
Saluti

P.S.=Spero che la sezione di algebra sia la più adatta anche se l'argomento potrebbe essere, a mio modesto parere, messo anche in analisi...

[Pappappero1]

Vogliono semplicemente dire due cose diverse:
\[\exists c \forall n\]
significa esiste una $c$ tale che, per ogni possibile $n$, succede qualcosa; in questo caso la stessa $c$ funziona per ogni scelta di $n$; al contrario
\[\forall n \exists c\]
significa che per ogni $n$ esiste una $c$ per cui succede qualcosa; in questo caso $c$ puo' dipendere da $n$.

Nel tuo enunciato direi che la stessa $c$ non funziona per ogni scelta di $n$, quindi la seconda affermazione e' sbagliata, mentre la prima e' corretta.

[garnak.olegovitc1]

"Pappappero":Vogliono semplicemente dire due cose diverse:
\[\exists c \forall n\]
significa esiste una $c$ tale che, per ogni possibile $n$, succede qualcosa; in questo caso la stessa $c$ funziona per ogni scelta di $n$; al contrario
\[\forall n \exists c\]
significa che per ogni $n$ esiste una $c$ per cui succede qualcosa; in questo caso $c$ puo' dipendere da $n$.

Nel tuo enunciato direi che la stessa $c$ non funziona per ogni scelta di $n$, quindi la seconda affermazione e' sbagliata, mentre la prima e' corretta.

@Pappappero, thanks pensavo bene ...

Saluti

[Pappappero1]

E' probabile che sia un punto di vista esageratamente formale, ma di fatto (almeno nella logica al prim'ordine, in cui tuttavia i numeri reali non possono essere assiomatizzati) i quantificatori esistenziali, in un certo senso, non contano, nel senso che si possono sempre eliminare ricorrendo all'assioma della scelta. Il modo in cui si eliminano tuttavia deve cambiare a seconda che questi compaiano prima o dopo una quantificatore universale. Questo e' piu' o meno quello che dice il Teorema di Skolem.

Questo articolo di wiki spiega la procedura pratica. Ho dato solo un'occhiata, ma forse l'articolo in inglese e' piu' preciso.

[garnak.olegovitc1]

@Pappappero,

"Pappappero":E' probabile che sia un punto di vista esageratamente formale, ma di fatto (almeno nella logica al prim'ordine, in cui tuttavia i numeri reali non possono essere assiomatizzati) i quantificatori esistenziali, in un certo senso, non contano, nel senso che si possono sempre eliminare ricorrendo all'assioma della scelta. Il modo in cui si eliminano tuttavia deve cambiare a seconda che questi compaiano prima o dopo una quantificatore universale. Questo e' piu' o meno quello che dice il Teorema di Skolem.

Questo articolo di wiki spiega la procedura pratica. Ho dato solo un'occhiata, ma forse l'articolo in inglese e' piu' preciso.

ne ho letto qualcosa pure io... thanks del suggerimento ! Cmq preferisco in questo caso usare la prima quantificazione (con tutti i quantificatori) perchè mi rende meglio l'idea che posso formare una successione, prendendo \( a,b \in \Bbb{R}\), e \( a>0 \): $$f: \Bbb{N}\to \Bbb{R}, n \to a^{\frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor}{10^n}}$$
Saluti

[Pappappero1]

E' esattamente quella l'idea della skolemizzazione. Siccome per ogni $n$ esiste un $c$ (secondo le notazioni del primo post), allora possiamo definire una funzione che ad ogni $n$ associa un $c$ che soddisfa l'enunciato. Questa funzione è la funzione di skolem e definisce proprio la successione che stai cercando.

[garnak.olegovitc1]

@Pappappero,

"Pappappero":E' esattamente quella l'idea della skolemizzazione. Siccome per ogni $n$ esiste un $c$ (secondo le notazioni del primo post), allora possiamo definire una funzione che ad ogni $n$ associa un $c$ che soddisfa l'enunciato. Questa funzione è la funzione di skolem e definisce proprio la successione che stai cercando.

ah... .. nn lo sapevo, Davvero interessante..!! Mi sei stato di grande aiuto!

Saluti

P.S.=Avrei da fare alcune osservazioni su questa funzione, ma le osservazioni sono strettamente di analisi matematica, ergo ho aperto un altro post in merito nella sezione apposita: http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=129008 Per la questione strettamente logico-formale ti ringrazio enormemente (eventualmente ci sentiamo nella sezione di analisi! Ciao )