A metà strada tra la Teoria dei gruppi e l'Analisi
Chiedo scusa in anticipo se la mia domanda può sembrare "banale". Si tratta in verità di un esercizio un po' diverso dai soliti, a metà strada tra l'analisi e l'algebra (ma indubbiamente più algebrico che analitico).
Esercizio. Si consideri $G$, il gruppo additivo costituito da tutte le funzioni continue su $[0,1]$ a valori in $RR$.
Si consideri il sottoinsieme
$N={f in G | f(1/3)=0}$.
Si provi che $N$ è un sottogruppo normale in $G$.
Per prima cosa, verifico che è un sottogruppo: dovrei far vedere che, se $f(x)$ e $g(x)$ sono due funzioni che stanno in $N$, allora anche $(f-g)(x)$ sta in $N$, cioè $(f-g)(1/3)=0$. E questo si ottiene abbastanza facilmente: $0=f(1/3)-g(1/3)=(f-g)(1/3)$.
Adesso devo far vedere la normalità. Il problema è che non so come si faccia. O meglio, a lezione abbiamo sempre lavorato con gruppi finiti ($S_3$ e company) e lì era semplice trovare i laterali e poi vedere se erano uguali. Qua come si fa? Per vedere se è normale devo sempre passare dai laterali, vero? Ma come li trovo?
Grazie mille per il vostro aiuto e scusate l'ignoranza.
Esercizio. Si consideri $G$, il gruppo additivo costituito da tutte le funzioni continue su $[0,1]$ a valori in $RR$.
Si consideri il sottoinsieme
$N={f in G | f(1/3)=0}$.
Si provi che $N$ è un sottogruppo normale in $G$.
Per prima cosa, verifico che è un sottogruppo: dovrei far vedere che, se $f(x)$ e $g(x)$ sono due funzioni che stanno in $N$, allora anche $(f-g)(x)$ sta in $N$, cioè $(f-g)(1/3)=0$. E questo si ottiene abbastanza facilmente: $0=f(1/3)-g(1/3)=(f-g)(1/3)$.
Adesso devo far vedere la normalità. Il problema è che non so come si faccia. O meglio, a lezione abbiamo sempre lavorato con gruppi finiti ($S_3$ e company) e lì era semplice trovare i laterali e poi vedere se erano uguali. Qua come si fa? Per vedere se è normale devo sempre passare dai laterali, vero? Ma come li trovo?
Grazie mille per il vostro aiuto e scusate l'ignoranza.
Risposte
(Stai leggendo qualche libro di algebra di S. Lang?)
Mi sa che hai finito. Infatti il tuo gruppo $G$ è abeliano.
Mi sa che hai finito. Infatti il tuo gruppo $G$ è abeliano.
Mamma mia, che figura 
. Stavo annegando in una pozzanghera... 
Grazie, dissonance.
Verissimo, $G$ è abeliano, quindi anche $N$ lo è. Segue che i laterali coincidono.
Il testo dell'esercizio prosegue poi dicendo: "si studi il quoziente, dicendo a quale gruppo noto è isomorfo".
Premetto che noi a lezione abbiamo solo accennato ai gruppi quozienti, ma se qualcuno ha voglia di illuminarmi lo ascolto volentieri. Per costruire il quoziente devo comunque capire come sono fatti i laterali, no (che sarebbero le classi di equivalenza)? E per fare questo come si fa?
L'esercizio è legato per caso anche al teorema fondamentale (che noi non abbiamo fatto)? Grazie ancora di tutto.
P.S. No, non sto leggendo esattamente Lang (ogni tanto gli do un'occhiata, ma non uso principalmente quello). E' un esercizio tratto dal Piacentini-Cattaneo (non uso nemmeno questo a lezione, ci studio io a casa per conto mio, cercando di approfondire e capire meglio).
Grazie ancora.
. Stavo annegando in una pozzanghera... Grazie, dissonance.
Verissimo, $G$ è abeliano, quindi anche $N$ lo è. Segue che i laterali coincidono.
Il testo dell'esercizio prosegue poi dicendo: "si studi il quoziente, dicendo a quale gruppo noto è isomorfo".
Premetto che noi a lezione abbiamo solo accennato ai gruppi quozienti, ma se qualcuno ha voglia di illuminarmi lo ascolto volentieri. Per costruire il quoziente devo comunque capire come sono fatti i laterali, no (che sarebbero le classi di equivalenza)? E per fare questo come si fa?
L'esercizio è legato per caso anche al teorema fondamentale (che noi non abbiamo fatto)? Grazie ancora di tutto.
P.S. No, non sto leggendo esattamente Lang (ogni tanto gli do un'occhiata, ma non uso principalmente quello). E' un esercizio tratto dal Piacentini-Cattaneo (non uso nemmeno questo a lezione, ci studio io a casa per conto mio, cercando di approfondire e capire meglio).
Grazie ancora.
Ciao!
Per quanto riguarda il quoziente, prova a considerare la funzione $G to RR$ che manda $f$ in $f(1/3)$.
"Paolo90":Non è questo il punto. Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale. Questo segue dal fatto che ogni elemento ha un unico coniugato: infatti $g^{-1}xg=x$ per ogni $x,g$ nel gruppo.
Verissimo, $G$ è abeliano, quindi anche $N$ lo è. Segue che i laterali coincidono.
Per quanto riguarda il quoziente, prova a considerare la funzione $G to RR$ che manda $f$ in $f(1/3)$.
Ciao carissimo. Anzitutto grazie per la risposta.
Non è questo il punto. Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale. Questo segue dal fatto che ogni elemento ha un unico coniugato: infatti $g^{-1}xg=x$ per ogni $x,g$ nel gruppo.[/quote]
Ah, ho capito. Scusami, non abbiamo fatto i coniugati, per cui non sapevo di questo. Ho semplicemente pensato: i sottogruppi di un gruppo abeliano sono tutti abeliani. Quindi laterali destri e sinistri coincidono, cioè i sottogruppi sono tutti normali. Sono sbagliate queste implicazioni?
Dunque, una funzione che manda $f$ in $f(1/3)$. E' una funzione che manda gli elementi del sottogruppo in zero... ma mi sa che non ho afferrato dove volessi portarmi... Adesso ci penso ancora un po'...
Grazie per il suggerimento e per l'aiuto.
Ciao mitico!
"Martino":
Ciao!
[quote="Paolo90"]Verissimo, $G$ è abeliano, quindi anche $N$ lo è. Segue che i laterali coincidono.
Non è questo il punto. Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale. Questo segue dal fatto che ogni elemento ha un unico coniugato: infatti $g^{-1}xg=x$ per ogni $x,g$ nel gruppo.[/quote]
Ah, ho capito. Scusami, non abbiamo fatto i coniugati, per cui non sapevo di questo. Ho semplicemente pensato: i sottogruppi di un gruppo abeliano sono tutti abeliani. Quindi laterali destri e sinistri coincidono, cioè i sottogruppi sono tutti normali. Sono sbagliate queste implicazioni?
"Martino":
Per quanto riguarda il quoziente, prova a considerare la funzione $G to RR$ che manda $f$ in $f(1/3)$.
Dunque, una funzione che manda $f$ in $f(1/3)$. E' una funzione che manda gli elementi del sottogruppo in zero... ma mi sa che non ho afferrato dove volessi portarmi... Adesso ci penso ancora un po'...
Grazie per il suggerimento e per l'aiuto.
Ciao mitico!
"Paolo90":Mi sembrava che volessi dedurre che $N$ è normale dal fatto che è abeliano. Ma non puoi fare questo. Per esempio considera il sottogruppo $\{1,(12)\}$ di $S_3$. Si tratta di un sottogruppo abeliano di $S_3$ ma non normale, per esempio $(12)^{(13)}=(23)$ non appartiene a $\{1,(12)\}$.
Ho semplicemente pensato: i sottogruppi di un gruppo abeliano sono tutti abeliani. Quindi laterali destri e sinistri coincidono, cioè i sottogruppi sono tutti normali. Sono sbagliate queste implicazioni?
Un sottogruppo $H$ di $G$ è normale se $g^{-1}hg in H$ per ogni $g in G$, $h in H$. Ma se $G$ è abeliano si ha $g^{-1}hg=h$, quindi banalmente $g^{-1}hg in H$ se $h in H$, proprio perché $h in H$.
Ma il fatto che $H$ sia abeliano non ti assicura che un elemento di $H$ commuti con un elemento fuori da $H$.
Allora dico un'altra cosa: "primo teorema di isomorfismo"."Martino":Dunque, una funzione che manda $f$ in $f(1/3)$. E' una funzione che manda gli elementi del sottogruppo in zero... ma mi sa che non ho afferrato dove volessi portarmi... Adesso ci penso ancora un po'...
Per quanto riguarda il quoziente, prova a considerare la funzione $G to RR$ che manda $f$ in $f(1/3)$.
Grazie per il suggerimento e per l'aiuto.Ciao mitico!
Ciao mitico!
"Martino":
Mi sembrava che volessi dedurre che $N$ è normale dal fatto che è abeliano. Ma non puoi fare questo. Per esempio considera il sottogruppo $\{1,(12)\}$ di $S_3$. Si tratta di un sottogruppo abeliano di $S_3$ ma non normale, per esempio $(12)^{(13)}=(23)$ non appartiene a $\{1,(12)\}$.
Evidentemente, Martino, sei provvidenziale. Menomale che mi hai fatto notare questa cosa, avevo una bella convizione errata. Sarà che a lezione non abbiamo fatto nel dettaglio tutte queste cose, ma chissà perchè ero certo che un sottogruppo abeliano fosse automaticamente normale. Grazie davvero per avermi fatto notare questo mio grave errore.
La versione giusta dei fatti dovrebbe essere la seguente (leggo dal mio libro): se $G$ è abeliano, allora ogni suo sottogruppo è normale.
Ok?
Solo una cosa, a livello di notazione: con $(12)^{(13)}$ intendi l'operazione di composizione per cui prima applichi $(13)$ e poi $(12)$ o un'altra cosa? Perchè io non mi ritrovo molto: a me risulta $(12)(13)=(132)$. Scusami, probabilmente sono io che ho qualche altra lacuna nella preparazione...
"Martino":
Un sottogruppo $H$ di $G$ è normale se $g^{-1}hg in H$ per ogni $g in G$, $h in H$. Ma se $G$ è abeliano si ha $g^{-1}hg=h$, quindi banalmente $g^{-1}hg in H$ se $h in H$, proprio perché $h in H$.
Ma il fatto che $H$ sia abeliano non ti assicura che un elemento di $H$ commuti con un elemento fuori da $H$.
Ora va meglio, le idee sono un po' più chiare. Era questo a questo genere di cose a cui ti riferivi quando dicevi "coniugato", vero?
"Martino":
Allora dico un'altra cosa: "primo teorema di isomorfismo".
Perfetto, sapevo che questo esercizio era troppo per me. Mi manca il teorema di isomorfismo, non è in programma. Come posso ovviare a questa mia mancanza?
Grazie mille per la tua infinita disponibilità e scusami per il disturbo. Grazie mille davvero, carissimo.
"Paolo90":Esatto. Osserva che il viceversa non è vero: esistono gruppi non abeliani tali che ogni sottogruppo è normale. Un esempio è il gruppo dei quaternioni $Q_8$.
La versione giusta dei fatti dovrebbe essere la seguente (leggo dal mio libro): se $G$ è abeliano, allora ogni suo sottogruppo è normale.
Ok?
Solo una cosa, a livello di notazione: con $(12)^{(13)}$ intendi l'operazione di composizione per cui prima applichi $(13)$ e poi $(12)$ o un'altra cosa? Perchè io non mi ritrovo molto: a me risulta $(12)(13)=(132)$. Scusami, probabilmente sono io che ho qualche altra lacuna nella preparazione...In generale se $x$ e $y$ sono elementi di un gruppo, con $x^y$ denoto l'elemento $y^{-1}xy$. Quindi $(12)^{(13)}=(13)^{-1}(12)(13)=(13)(12)(13)=(23)$. $x^y$ si dice coniugato di $x$ tramite $y$. Un sottogruppo è normale quando il coniugato di ogni suo elemento è nel sottogruppo (cioè quando è stabile per l'azione di coniugio).
Allora studia le classi laterali di $N$. Osserva che due funzioni $f$ e $g$ stanno nella stessa classe modulo $N$ se assumono lo stesso valore in $1/3$. Ne segue che tale valore comune identifica la classe. Siccome ogni numero reale è un possibile valore assunto in $1/3$, il candidato gruppo quoziente è tutto $RR$. Ora, si tratta di passare ad una dimostrazione rigorosa, e il teorema di isomorfismo è comodo in questo senso. Non so di quanti strumenti disponi.."Martino":
Allora dico un'altra cosa: "primo teorema di isomorfismo".
Perfetto, sapevo che questo esercizio era troppo per me. Mi manca il teorema di isomorfismo, non è in programma. Come posso ovviare a questa mia mancanza?
Carissimo Martino,
che cosa ci facevi sveglio all'una di notte a pensare ai miei problemi?
. Grazie ancora per il tuo post. Veniamo a noi:
Ok, questo l'ho capito.
Anche questo l'ho capito, a lezione non l'avevamo vista così, ma è ok, persin più chiaro.
Dispongo di ben pochi strumenti, direi. A lezione non l'abbiamo visto, perchè della teoria dei gruppi si dovevano fare solo cenni. Oggi pomeriggio ho provato a studiarmi il teorema di isomorfismo, ma non è che ci abbia cavato molto. In pratica, ho capito che dato un omomorfismo $f$ di gruppi $G$ e $G'$, esiste un isomorfismo tra $G/"Ker f"$ e $Imf$. Giusto? Adesso, mi sono fatto qualche esempietto semplice semplice.
Mi sono detto: prendo un omomorfismo $phi: 4ZZ->ZZ_5$, con $phi(4x)=[x]_5$ (ti ritrovi nelle notazioni o devo scrivere in altro modo?)
Bene, mi sono trovato il $"ker" phi={4x in ZZ " tali che " f(4x)=[0]_5}$. In parole poverissime, i multipli di $4$, che sono contemporaneamente multipli di $5$: $"ker" phi = 20ZZ$.
Bene, allora esiste un isomorfismo tra $(4ZZ)/(20ZZ)$ e $ZZ_5$ (va be', prima ho dimostrato che è un epimorfismo, il che dovrebbe essere ovvio, quindi $Imf=ZZ_5$). Ho però qualche dubbio su quale effettivamente sia questo isomorfismo: devo trovarlo? Se sì come? Si tratta di scrivere il mio morfismo $phi$ come prodotto di una suriezione (=proiezione sul quoziente) per una biiezione (=il sospirato isomorfismo)?
E' giusto ciò che ho detto? Come si può legare tutto ciò all'esercizio di partenza? Scusa, mi rendo conto che per te queste saranno banalità, ma non sono cose così immediate, almeno all'inizio...
GRAZIE per l'aiuto e grazie ancora di tutto.
che cosa ci facevi sveglio all'una di notte a pensare ai miei problemi?
. Grazie ancora per il tuo post. Veniamo a noi:"Martino":Esatto. Osserva che il viceversa non è vero: esistono gruppi non abeliani tali che ogni sottogruppo è normale. Un esempio è il gruppo dei quaternioni $Q_8$.[/quote]
[quote="Paolo90"]La versione giusta dei fatti dovrebbe essere la seguente (leggo dal mio libro): se $G$ è abeliano, allora ogni suo sottogruppo è normale.
Ok?
Ok, questo l'ho capito.
"Martino":Solo una cosa, a livello di notazione: con $(12)^{(13)}$ intendi l'operazione di composizione per cui prima applichi $(13)$ e poi $(12)$ o un'altra cosa? Perchè io non mi ritrovo molto: a me risulta $(12)(13)=(132)$. Scusami, probabilmente sono io che ho qualche altra lacuna nella preparazione...In generale se $x$ e $y$ sono elementi di un gruppo, con $x^y$ denoto l'elemento $y^{-1}xy$. Quindi $(12)^{(13)}=(13)^{-1}(12)(13)=(13)(12)(13)=(23)$. $x^y$ si dice coniugato di $x$ tramite $y$. Un sottogruppo è normale quando il coniugato di ogni suo elemento è nel sottogruppo (cioè quando è stabile per l'azione di coniugio).
Anche questo l'ho capito, a lezione non l'avevamo vista così, ma è ok, persin più chiaro.
"Martino":
Allora studia le classi laterali di $N$. Osserva che due funzioni $f$ e $g$ stanno nella stessa classe modulo $N$ se assumono lo stesso valore in $1/3$. Ne segue che tale valore comune identifica la classe. Siccome ogni numero reale è un possibile valore assunto in $1/3$, il candidato gruppo quoziente è tutto $RR$. Ora, si tratta di passare ad una dimostrazione rigorosa, e il teorema di isomorfismo è comodo in questo senso. Non so di quanti strumenti disponi..
Dispongo di ben pochi strumenti, direi. A lezione non l'abbiamo visto, perchè della teoria dei gruppi si dovevano fare solo cenni. Oggi pomeriggio ho provato a studiarmi il teorema di isomorfismo, ma non è che ci abbia cavato molto. In pratica, ho capito che dato un omomorfismo $f$ di gruppi $G$ e $G'$, esiste un isomorfismo tra $G/"Ker f"$ e $Imf$. Giusto? Adesso, mi sono fatto qualche esempietto semplice semplice.
Mi sono detto: prendo un omomorfismo $phi: 4ZZ->ZZ_5$, con $phi(4x)=[x]_5$ (ti ritrovi nelle notazioni o devo scrivere in altro modo?)
Bene, mi sono trovato il $"ker" phi={4x in ZZ " tali che " f(4x)=[0]_5}$. In parole poverissime, i multipli di $4$, che sono contemporaneamente multipli di $5$: $"ker" phi = 20ZZ$.
Bene, allora esiste un isomorfismo tra $(4ZZ)/(20ZZ)$ e $ZZ_5$ (va be', prima ho dimostrato che è un epimorfismo, il che dovrebbe essere ovvio, quindi $Imf=ZZ_5$). Ho però qualche dubbio su quale effettivamente sia questo isomorfismo: devo trovarlo? Se sì come? Si tratta di scrivere il mio morfismo $phi$ come prodotto di una suriezione (=proiezione sul quoziente) per una biiezione (=il sospirato isomorfismo)?
E' giusto ciò che ho detto? Come si può legare tutto ciò all'esercizio di partenza? Scusa, mi rendo conto che per te queste saranno banalità, ma non sono cose così immediate, almeno all'inizio...
GRAZIE per l'aiuto e grazie ancora di tutto.
"Paolo90":Esatto, e se lo chiami $bar(f)$ è definito da $bar(f)(g+ker(f)) = f(g)$. La dimostrazione del teorema di isomorfismo prevede la verifica del fatto che questa posizione definisce "bene" (cioè rappresentanti distinte di una stessa classe hanno la stessa immagine) un isomorfismo di gruppi.
In pratica, ho capito che dato un omomorfismo $f$ di gruppi $G$ e $G'$, esiste un isomorfismo tra $G/"Ker f"$ e $Imf$. Giusto?
Quindi nel tuo caso, se definisci $phi$ come la funzione $G to RR$ che manda $f$ in $f(1/3)$ puoi osservare che si tratta di un omomorfismo suriettivo di gruppi, e quindi $G//ker(phi) cong RR$. Ora, siccome $ker(phi)=N$, hai risolto l'esercizio.
Ciao Martino,
dopo una domenica di meditazione sull'esercizio e sui gruppi in generale, mi sento quasi di dirti che ho capito. Certo, continuo a dirmi che non ci sarei mai arrivato da solo, ma credo davvero di aver capito come funzionano le cose in questo esercizietto.
Se non ti è di troppo disturbo, non è che per cortesia potresti scrivere il testo di qualche esercizio simile cosicchè io possa provare a svolgerlo? Perchè sul mio libro non ci sono troppi esempi (uno è praticamente quello che ho scritto io nel post sopra, cambiano solo i numeri) e in giro per il web non riesco a trovare esercizi del genere con soluzioni (ovviamente se non hai voglia o tempo di scrivere l'esercizio fa nulla, non ti preoccupare; va bene anche solo un link a un sito che ti viene in mente possa fare al caso mio).
Scusa per il disturbo e grazie ancora per il tuo aiuto.
GRAZIE.
dopo una domenica di meditazione sull'esercizio e sui gruppi in generale, mi sento quasi di dirti che ho capito. Certo, continuo a dirmi che non ci sarei mai arrivato da solo, ma credo davvero di aver capito come funzionano le cose in questo esercizietto.
Se non ti è di troppo disturbo, non è che per cortesia potresti scrivere il testo di qualche esercizio simile cosicchè io possa provare a svolgerlo? Perchè sul mio libro non ci sono troppi esempi (uno è praticamente quello che ho scritto io nel post sopra, cambiano solo i numeri) e in giro per il web non riesco a trovare esercizi del genere con soluzioni (ovviamente se non hai voglia o tempo di scrivere l'esercizio fa nulla, non ti preoccupare; va bene anche solo un link a un sito che ti viene in mente possa fare al caso mio).
Scusa per il disturbo e grazie ancora per il tuo aiuto.
GRAZIE.
Prego!
Ti scrivo quelli che mi vengono in mente.
Dimostrare che l'insieme $A_n$ delle permutazioni pari di $S_n$ è un sottogruppo di $S_n$ di indice 2. Dimostrare che è normale (volendo, dimostrare che quando un sottogruppo ha indice $2$ è automaticamente normale). A cosa è isomorfo il quoziente?
Sia $G$ il gruppo delle matrici $n xx n$ invertibili sul campo $C$. Sia $H$ il sottoinsieme di $G$ formato dalle matrici di determinante $1$. Dimostrare che $H$ è un sottogruppo normale di $G$. A cosa è isomorfo $G//H$?
Sia $G$ l'insieme delle funzioni $f:[0,1] to RR$. Dimostrare che $G$ è un gruppo additivo abeliano. Sia $H={g in G\ |\ g(1/2) in QQ}$. Dimostrare che $H$ è un sottogruppo normale di $G$. A cosa è isomorfo $G//H$? E se sceglievamo un qualsiasi altro sottogruppo additivo $K$ di $RR$ e definivamo $H={g in G\ |\ g(1/2) in K}$ a cosa era isomorfo $G//H$?
Per $a,b in RR$ definiamo $f_{ab}:RR to RR$, $f_{ab}(x)=ax+b$. Sia $G={f_{ab}\ |\ a,b in RR,\ a ne 0}$. Dimostrare che $G$ è un gruppo rispetto alla composizione di applicazioni. $G$ è abeliano? Provare che $N={f_{ab} in G\ |\ a=1}$ è un sottogruppo normale di $G$ e determinare $G//N$.
Sia $G$ l'insieme dei polinomi su $RR$ di grado $le 4$. Sia $H$ il sottoinsieme di $G$ che consiste dei polinomi costanti. Dimostrare che $G$ è un gruppo abeliano con $+$ e che $H$ è un suo sottogruppo. A cosa è isomorfo il quoziente?
Sia $H$ il sottogruppo di $(CC-{0},*)$ che consiste dei numeri complessi di modulo $1$. $H$ è un sottogruppo normale di $(CC-{0},*)$. A cosa è isomorfo il quoziente?
Ti scrivo quelli che mi vengono in mente.
Dimostrare che l'insieme $A_n$ delle permutazioni pari di $S_n$ è un sottogruppo di $S_n$ di indice 2. Dimostrare che è normale (volendo, dimostrare che quando un sottogruppo ha indice $2$ è automaticamente normale). A cosa è isomorfo il quoziente?
Sia $G$ il gruppo delle matrici $n xx n$ invertibili sul campo $C$. Sia $H$ il sottoinsieme di $G$ formato dalle matrici di determinante $1$. Dimostrare che $H$ è un sottogruppo normale di $G$. A cosa è isomorfo $G//H$?
Sia $G$ l'insieme delle funzioni $f:[0,1] to RR$. Dimostrare che $G$ è un gruppo additivo abeliano. Sia $H={g in G\ |\ g(1/2) in QQ}$. Dimostrare che $H$ è un sottogruppo normale di $G$. A cosa è isomorfo $G//H$? E se sceglievamo un qualsiasi altro sottogruppo additivo $K$ di $RR$ e definivamo $H={g in G\ |\ g(1/2) in K}$ a cosa era isomorfo $G//H$?
Per $a,b in RR$ definiamo $f_{ab}:RR to RR$, $f_{ab}(x)=ax+b$. Sia $G={f_{ab}\ |\ a,b in RR,\ a ne 0}$. Dimostrare che $G$ è un gruppo rispetto alla composizione di applicazioni. $G$ è abeliano? Provare che $N={f_{ab} in G\ |\ a=1}$ è un sottogruppo normale di $G$ e determinare $G//N$.
Sia $G$ l'insieme dei polinomi su $RR$ di grado $le 4$. Sia $H$ il sottoinsieme di $G$ che consiste dei polinomi costanti. Dimostrare che $G$ è un gruppo abeliano con $+$ e che $H$ è un suo sottogruppo. A cosa è isomorfo il quoziente?
Sia $H$ il sottogruppo di $(CC-{0},*)$ che consiste dei numeri complessi di modulo $1$. $H$ è un sottogruppo normale di $(CC-{0},*)$. A cosa è isomorfo il quoziente?
"Martino":Esatto, e se lo chiami $bar(f)$ è definito da $bar(f)(g+ker(f)) = f(g)$. La dimostrazione del teorema di isomorfismo prevede la verifica del fatto che questa posizione definisce "bene" (cioè rappresentanti distinte di una stessa classe hanno la stessa immagine) un isomorfismo di gruppi.
[quote="Paolo90"]In pratica, ho capito che dato un omomorfismo $f$ di gruppi $G$ e $G'$, esiste un isomorfismo tra $G/"Ker f"$ e $Imf$. Giusto?
Quindi nel tuo caso, se definisci $phi$ come la funzione $G to RR$ che manda $f$ in $f(1/3)$ puoi osservare che si tratta di un omomorfismo suriettivo di gruppi, e quindi $G//ker(phi) cong RR$. Ora, siccome $ker(phi)=N$, hai risolto l'esercizio.[/quote]
Io, nella mia "somma ignoranza algebrica", quando mi trovo davanti ad sottogruppo normale, innanzitutto cerco di capire quale relazione d'equivalenza induce nel gruppo e poi mi chiedo: "Cosa fa questa relazione?".
Il più delle volte questa domanda fornisce risposta alla richiesta di analizzare il quoziente rispetto al sottogruppo.
Ad esempio, il sottogruppo $N$ induce in $G$ la relazione d'equivalenza $f~=g \Leftrightarrow f-g\in N \Leftrightarrow f(1/3)=g(1/3)$.
"Cosa fa questa relazione?" Beh, identifica tutte le funzioni che in $1/3$ prendono lo stesso valore; ad esempio $f(x):=1, g(x)=9x^2, h(x):=e^{x-1/3}, k(x):=cosh(x^2-1/9)$ sono tutte $~=$-equivalenti.
Graficamente la puoi vedere così: prendi nel piano $Oxy$ la retta $r$ d'equazione $x=1/3$; comunque fissi un punto $(1/3,y_0)$ su tale retta, la tua equivalenza identifica tutte le funzioni i cui grafici passano per il punto $(1/3,y_0)$.
Perciò è piuttosto naturale dire che il quoziente $G/N =G/(~=)$ è rappresentato graficamente dalla retta $r$ e che esso è dunque isomorfo ad $RR$.
Prova a fare lo stesso per l'ultimo esercizio postato da Martino (quello sui numeri complessi di norma unitaria).
Mamma mia, Martino, che lista! Wow, grazie mille davvero.
Bene tralascio per un attimo quelli con le matrici (le abbiamo viste un po' rapidamente a lezione, perchè è argomento di geometria, II semestre). Ad ogni modo, ho cominciato con questo qua, che ho risolto questa mattina in aula studio (alle 8.15 dopo un caffè per svegliarsi ).
Allora:
Risoluzione.
Parte prima.
$(G, *)$ (dove con $*$ si intende la composizione di applicazioni: come si fa il classico pallino?) è un gruppo. Infatti, si può verificare facilmente che la funzione $f_{ab}:RR to RR$, $f_{ab}(x)=ax+b$ è una biiezione e si sa che le biiezioni formano un un gruppo rispetto alla composizione (così nasce $S_n$, ad esempio). Se proprio volessimo fare i fini, diciamo che:
1. la composizione di due biiezioni è ancora una biiezione;
2. il prodotto è associativo;
3. esiste $f_{ab}:RR to RR$, $f_{ab}(x)=id_(RR)=x$ che fa da elemento neutro a destra e sinistra;
4. per ogni biiezione $f_{ab}:RR to RR$, $f_{ab}(x)=ax+b$ esiste (in $G$: qui l'ipotesi $a ne 0$ è essenziale) l'inversa (che è ancora una biiezione) data da $f^(-1)_{ab}:RR to RR$ data da $f^(-1)_{ab}(x)=(1/a)x-b/a$.
Il gruppo NON è abeliano perchè è risaputo che la composizione di funzioni non è commutativa.
Parte seconda.
Lavoriamo ora su $N$. Proviamo che è normale facendo vedere che è stabile per il coniugio. $forall f in G$, $forall h in N$ si deve avere $f^(-1) * h * f in N$. E qui sono conti: trovo infatti che $f^-1(h(f(x)))=x+c/a$ che è proprio un elemento di $N$.
Quindi, $N$ è normale in $G$.
Parte terza.
Adesso, il quoziente. Questa è sempre la parte più tosta, ma ci provo, anche se non sono convintissimo: per capire come è fatto $G//N$ ho cercato di studiare i laterali destri e sinistri (che tanto coincidono, essendo $N$ normale!), che si ottengono componendo una generica applicazione di $N$ con una di $G$.
Ad esempio, per i sinistri:
$gN={g*n | g in G, n in N}$: mi viene fuori una applicazione del tipo $(g*n)(x)=ax+c(a+b)$.
Mi viene da dire, dunque, che geometricamente il quoziente è composto da classi composte da rette parallele, di dato coefficiente angolare ($a$). Ci siamo? Questa mia ipotesi ha trovato conferme quando ho calcolato i laterali dx (inutile, lo so, ma era per avere una conferma): con le notazioni di sopra, $(n*g)(x)=ax+(c+b)$, ancora rette parallele.
Da notare che ciò è coerente, perchè i laterali dipendono dall'elemento di $G$ (che dipende da $a$). Infine, è opportuno ricordare che tra le rette parallele del quoziente si escludono quelle parallele all'asse $x$ ($a ne 0$ per ipotesi).
Che ne dite? Spero in bene...
P.S. GRAZIE.
Bene tralascio per un attimo quelli con le matrici (le abbiamo viste un po' rapidamente a lezione, perchè è argomento di geometria, II semestre). Ad ogni modo, ho cominciato con questo qua, che ho risolto questa mattina in aula studio (alle 8.15 dopo un caffè per svegliarsi
).Allora:
"Martino":
Per $a,b in RR$ definiamo $f_{ab}:RR to RR$, $f_{ab}(x)=ax+b$. Sia $G={f_{ab}\ |\ a,b in RR,\ a ne 0}$. Dimostrare che $G$ è un gruppo rispetto alla composizione di applicazioni. $G$ è abeliano? Provare che $N={f_{ab} in G\ |\ a=1}$ è un sottogruppo normale di $G$ e determinare $G//N$.
Risoluzione.
Parte prima.
$(G, *)$ (dove con $*$ si intende la composizione di applicazioni: come si fa il classico pallino?) è un gruppo. Infatti, si può verificare facilmente che la funzione $f_{ab}:RR to RR$, $f_{ab}(x)=ax+b$ è una biiezione e si sa che le biiezioni formano un un gruppo rispetto alla composizione (così nasce $S_n$, ad esempio). Se proprio volessimo fare i fini, diciamo che:
1. la composizione di due biiezioni è ancora una biiezione;
2. il prodotto è associativo;
3. esiste $f_{ab}:RR to RR$, $f_{ab}(x)=id_(RR)=x$ che fa da elemento neutro a destra e sinistra;
4. per ogni biiezione $f_{ab}:RR to RR$, $f_{ab}(x)=ax+b$ esiste (in $G$: qui l'ipotesi $a ne 0$ è essenziale) l'inversa (che è ancora una biiezione) data da $f^(-1)_{ab}:RR to RR$ data da $f^(-1)_{ab}(x)=(1/a)x-b/a$.
Il gruppo NON è abeliano perchè è risaputo che la composizione di funzioni non è commutativa.
Parte seconda.
Lavoriamo ora su $N$. Proviamo che è normale facendo vedere che è stabile per il coniugio. $forall f in G$, $forall h in N$ si deve avere $f^(-1) * h * f in N$. E qui sono conti: trovo infatti che $f^-1(h(f(x)))=x+c/a$ che è proprio un elemento di $N$.
Quindi, $N$ è normale in $G$.
Parte terza.
Adesso, il quoziente. Questa è sempre la parte più tosta, ma ci provo, anche se non sono convintissimo: per capire come è fatto $G//N$ ho cercato di studiare i laterali destri e sinistri (che tanto coincidono, essendo $N$ normale!), che si ottengono componendo una generica applicazione di $N$ con una di $G$.
Ad esempio, per i sinistri:
$gN={g*n | g in G, n in N}$: mi viene fuori una applicazione del tipo $(g*n)(x)=ax+c(a+b)$.
Mi viene da dire, dunque, che geometricamente il quoziente è composto da classi composte da rette parallele, di dato coefficiente angolare ($a$). Ci siamo? Questa mia ipotesi ha trovato conferme quando ho calcolato i laterali dx (inutile, lo so, ma era per avere una conferma): con le notazioni di sopra, $(n*g)(x)=ax+(c+b)$, ancora rette parallele.
Da notare che ciò è coerente, perchè i laterali dipendono dall'elemento di $G$ (che dipende da $a$). Infine, è opportuno ricordare che tra le rette parallele del quoziente si escludono quelle parallele all'asse $x$ ($a ne 0$ per ipotesi).
Che ne dite? Spero in bene...
P.S. GRAZIE.
@ Gugo:
eh, no, dai. Adesso basta . Mi aiuti sempre in Analisi, non puoi essere anche bravo in Algebra . Perchè tutta l'intelligenza a te e a me nemmeno un briciolino?
Comunque ho letto il tuo suggerimento, proverò a metterlo in pratica. Il prossimo problema cui mi dedicherò sarà proprio quello dei complessi di norma unitaria, letto e abbozzato stamattina, ma non ancora finito.
GRAZIE mille, ancora a tutti.
eh, no, dai. Adesso basta
. Mi aiuti sempre in Analisi, non puoi essere anche bravo in Algebra . Perchè tutta l'intelligenza a te e a me nemmeno un briciolino? Comunque ho letto il tuo suggerimento, proverò a metterlo in pratica. Il prossimo problema cui mi dedicherò sarà proprio quello dei complessi di norma unitaria, letto e abbozzato stamattina, ma non ancora finito.
GRAZIE mille, ancora a tutti.
"Paolo90":$(G, *)$ (dove con $*$ si intende la composizione di applicazioni: come si fa il classico pallino?) è un gruppo. Infatti, si può verificare facilmente che la funzione $f_{ab}:RR to RR$, $f_{ab}(x)=ax+b$ è una biiezione e si sa che le biiezioni formano un un gruppo rispetto alla composizione (così nasce $S_n$, ad esempio).[/quote]Beh, a rigore dovresti dimostrare che $f_{ab} circ f_{cd} = f_{xy}$ per opportuni $x,y$, no? [ah, il pallino si fa con "circ"]
[quote="Martino"]
Per $a,b in RR$ definiamo $f_{ab}:RR to RR$, $f_{ab}(x)=ax+b$. Sia $G={f_{ab}\ |\ a,b in RR,\ a ne 0}$. Dimostrare che $G$ è un gruppo rispetto alla composizione di applicazioni. $G$ è abeliano? Provare che $N={f_{ab} in G\ |\ a=1}$ è un sottogruppo normale di $G$ e determinare $G//N$.
Il gruppo NON è abeliano perchè è risaputo che la composizione di funzioni non è commutativa.Questo non basta: devi produrre un controesempio. Certo che la composizione non è commutativa, ma lo è in casi particolari, per esempio il gruppo delle funzioni $RR to RR$ del tipo $x to ax$ con $a ne 0$ (moltiplicazione per costante $ne 0$) con la composizione è abeliano.
Adesso, il quoziente. Questa è sempre la parte più tosta, ma ci provo, anche se non sono convintissimo: per capire come è fatto $G//N$ ho cercato di studiare i laterali destri e sinistri (...)Capisco che tu sia tentato di seguire questa strada, ma secondo me è molto più semplice cercare un omomorfismo da $G$ a qualche altro gruppo il cui nucleo sia $N$. Per il teorema di isomorfismo, l'immagine di tale omomorfismo sarà isomorfa al tuo quoziente.
E qui mi ricollego a quanto diceva Gugo: secondo me è certamente utile avere l'idea intuitiva di cosa dev'essere il quoziente, ma quando si tratta di fare dimostrazioni il procedimento più convincente e indolore passa dal teorema di isomorfismo.
"Martino":
Beh, a rigore dovresti dimostrare che $f_{ab} circ f_{cd} = f_{xy}$ per opportuni $x,y$, no? [ah, il pallino si fa con "circ"]
Hai assolutamente ragione, provvedo subito.
$f_{ab}:ax+b$
$f_{cd}:cx+d$
$f_{ab} circ f_{cd}: (ac)x+(ad+b)=f_{xy}$ con $x=ac$ e $y=ad+b$
Stesso discorso per l'altra, che risulta:
$f_{cd} circ f_{ab}: (ac)x+(bc+d)= f_{xy'}$, dove $y'=bc+d$
Ok?
Questo non basta: devi produrre un controesempio. Certo che la composizione non è commutativa, ma lo è in casi particolari, per esempio il gruppo delle funzioni $RR to RR$ del tipo $x to ax$ (moltiplicazione per costante) con la composizione è abeliano.
Sì, scusa, questo non l'ho scritto perchè non mi sembrava troppo pertinente (mi interessava di più la costruzione del quoziente): in ogni caso il controesempio me lo sono fatto questa mattina, non l'ho solo riportato: $f: 2x+3$, $g: 5x+1$. Allora,
$g circ f: 10x+16$, mentre invece $f circ g: 10x+5$.
Capisco che tu sia tentato di seguire questa strada, ma secondo me è molto più semplice cercare un omomorfismo da $G$ a qualche altro gruppo il cui nucleo sia $N$. Per il teorema di isomorfismo, l'immagine di tale omomorfismo sarà isomorfa al tuo quoziente.
E qui mi ricollego a quanto diceva Gugo: secondo me è certamente utile avere l'idea intuitiva di cosa dev'essere il quoziente, ma quando si tratta di fare dimostrazioni il procedimento più convincente e indolore passa dal teorema di isomorfismo.
Allora, vediamo se ho capito. Ci ho pensato un po' e forse ci siamo. Spero solo di non farti perdere altro tempo, perdonami.
Sia $Phi: G-> RR-{0}$ la funzione così definita: $Phi(f_{ab})=a$. Si può vedere che tale funzione definisce un omomorfismo di gruppi: in effetti, $Phi(f_{ab} circ f_{cd})=Phi(acx+ad+b)=ac=Phi(f_{ab})Phi(f_{cd})$.
Inoltre, il $"Ker " Phi$ è proprio il nostro $N$ (perchè l'elemento neutro di $RR-{0}$ è proprio $1$): per il primo teorema di isomorfismo, posso concludere che $G//N cong RR-{0}$.
GRAZIE ancora una volta e perdonami se ho sbagliato.
"Martino":
Sia $H$ il sottogruppo di $(CC-{0},*)$ che consiste dei numeri complessi di modulo $1$. $H$ è un sottogruppo normale di $(CC-{0},*)$. A cosa è isomorfo il quoziente?
Forse è simile al precedente e se è giusto ciò che sto per scrivere è perchè ho veramente capito (ti prego fa che sia così
).Anzitutto, piccola nota: $H$ è un sottogruppo di $(CC-{0},*)$ perchè in $CC$ vale $|z_1||z_2|=|z_1z_2|$. Inoltre, se un numero complesso $z$ è tale che $|z|=1$ allora anche $z^(-1)$ avrà modulo pari a $1$ (questo si dimostra facilmente). Perciò, se $z_1$ e $z_2$ sono elementi di $H$ allora anche $z_1z^(-1)_2 in H$: per il criterio, allora, $H$ è un sottogruppo di $(CC-{0},*)$.
Che $H$ sia normale segue dal fatto che $(CC-{0},*)$ è abeliano.
Ora considero proprio l'operazione di modulo nei complessi: sia dunque $Phi: (CC-{0},*) -> (RR^(>0),*)$ definita come $Phi(z)=|z|$ (o, in altra scrittura equivalente $Phi(a+ib)=sqrt(a^2+b^2)$). Per le proprietà viste sopra, $Phi$ è un omomorfismo di gruppi. Segue che per il teorema di isomorfismo $(CC-{0},*)//("Ker " Phi) cong (RR^(>0),*)$. Ma $"ker " Phi$ è proprio $H$. Segue $(CC-{0},*)//H cong (RR^(>0),*)$.
GRAZIE.
Occhio: [tex]\Phi[/tex] è positiva...
Per la "rappresentazione" che mi dici?
(@Martino: infatti non ho detto che si può fare a meno del Teorema di Isomorfismo; però farsi un'immagine mentale aiuta.)
Per la "rappresentazione" che mi dici?
(@Martino: infatti non ho detto che si può fare a meno del Teorema di Isomorfismo; però farsi un'immagine mentale aiuta.)
@Paolo: si, l'unica osservazione che ho da farti e' la stessa che ti ha fatto Gugo.
Grazie, giustissimo, ora correggo.
A breve posterò la risoluzione anche degli altri esercizi. Grazie mille per il vostro aiuto!
A breve posterò la risoluzione anche degli altri esercizi. Grazie mille per il vostro aiuto!
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