A metà strada tra la Teoria dei gruppi e l'Analisi
Chiedo scusa in anticipo se la mia domanda può sembrare "banale". Si tratta in verità di un esercizio un po' diverso dai soliti, a metà strada tra l'analisi e l'algebra (ma indubbiamente più algebrico che analitico).
Esercizio. Si consideri $G$, il gruppo additivo costituito da tutte le funzioni continue su $[0,1]$ a valori in $RR$.
Si consideri il sottoinsieme
$N={f in G | f(1/3)=0}$.
Si provi che $N$ è un sottogruppo normale in $G$.
Per prima cosa, verifico che è un sottogruppo: dovrei far vedere che, se $f(x)$ e $g(x)$ sono due funzioni che stanno in $N$, allora anche $(f-g)(x)$ sta in $N$, cioè $(f-g)(1/3)=0$. E questo si ottiene abbastanza facilmente: $0=f(1/3)-g(1/3)=(f-g)(1/3)$.
Adesso devo far vedere la normalità. Il problema è che non so come si faccia. O meglio, a lezione abbiamo sempre lavorato con gruppi finiti ($S_3$ e company) e lì era semplice trovare i laterali e poi vedere se erano uguali. Qua come si fa? Per vedere se è normale devo sempre passare dai laterali, vero? Ma come li trovo?
Grazie mille per il vostro aiuto e scusate l'ignoranza.
Esercizio. Si consideri $G$, il gruppo additivo costituito da tutte le funzioni continue su $[0,1]$ a valori in $RR$.
Si consideri il sottoinsieme
$N={f in G | f(1/3)=0}$.
Si provi che $N$ è un sottogruppo normale in $G$.
Per prima cosa, verifico che è un sottogruppo: dovrei far vedere che, se $f(x)$ e $g(x)$ sono due funzioni che stanno in $N$, allora anche $(f-g)(x)$ sta in $N$, cioè $(f-g)(1/3)=0$. E questo si ottiene abbastanza facilmente: $0=f(1/3)-g(1/3)=(f-g)(1/3)$.
Adesso devo far vedere la normalità. Il problema è che non so come si faccia. O meglio, a lezione abbiamo sempre lavorato con gruppi finiti ($S_3$ e company) e lì era semplice trovare i laterali e poi vedere se erano uguali. Qua come si fa? Per vedere se è normale devo sempre passare dai laterali, vero? Ma come li trovo?
Grazie mille per il vostro aiuto e scusate l'ignoranza.
Risposte
Rieccomi qui 
.
Che $A_n$ sia un sottogruppo di $S_n$ non è difficile provarlo, l'abbiamo anche visto a lezione: comunque lo riscrivo che male non mi fa. Sinteticamente, l'elemento neutro $id$ (la permutazione identica) è considerata pari, dunque $id in A_n$. Inoltre, la composizione di due permutazioni pari è ancora pari e, infine, l'inversa di una permutazione pari è ancora pari (infatti, l'inverso di uno scambio è lo scambio stesso).
Ci siamo fin qui?
Adesso, la normalità: forse c'è una via più breve (molto probabile), ma mi è venuto in mente il coniugio: sia [tex]\sigma[/tex] una permutazione qualsiasi di $S_n$: si ha che $sigma^(-1)$ ha la stessa parità di $sigma$ (vero?). Perciò, $sigmaA_nsigma^(-1)subseteqA_n$.
Quindi $A_n$ è stabile per coniugio e quindi anche normale.
A dire il vero, pensando alla generalizzazione di cui mi parli, penso si possa fare anche così. Ogni sottogruppo $H$ di $G$ di indice due è normale perchè in pratica divide l'insieme in due pezzi (laterali): uno è il sottogruppo stesso, l'altro il complementare. Dunque si ha che $xH=Hx, forall x in G$. In parole povere: gli elementi del sottogruppo stanno sempre nel sottogruppo, gli altri nel complementare. E' chiaro? Scusa se non mi sono espresso proprio benissimo...
In any case, lo studio del quoziente sta volta dovrebbe essere facile facile, anche senza il teorema di isomorfismo: infatti, $S_n\\A_n={A_n, S_n-A_n}$. Quindi $|S_n\\A_n|=2$. Ma c'è un solo gruppo di ordine $2$, quello ciclico: segue $S_n\\A_n cong ZZ_2$.
Premetto che non so molto di Geometria e Algebra Lineare, ma ci provo perchè qualcosina a lezione abbiamo visto. Mi metto in $RR$ per comodità.
A livello di nomi, abbiamo chiamato il gruppo delle matrici invertibili $GL(n, RR)$ e quello delle matrici a determinante 1 $SL(n,RR)$.
Qui l'omomorfismo buono (so da un esempio visto in aula) dovrebbe essere la funzione che manda una matrice nel suo determinante. Vale infatti il teorema di Binet.
In breve, sia
$f:GL(n,RR)->RR-{0}$ così definita
$f(A)=det A$, $forall A in GL(n,RR)$
Che $f$ sia un omomorfismo di gruppi discende immediatamente dal teorema di Binet. Il $"Ker" f = SL(n,RR)$, visto che l'elemento neutro di $RR$ è $1$. Per il primo th. di isomorfismo, posso concludere che $GL(n,RR)\\SL(n,RR) cong RR-{0}$.
Spero di non aver scritto boiate. GRAZIE mille di tutto, anche per avermi proposto esercizi così interessanti.
."Martino":
Dimostrare che l'insieme $A_n$ delle permutazioni pari di $S_n$ è un sottogruppo di $S_n$ di indice 2. Dimostrare che è normale (volendo, dimostrare che quando un sottogruppo ha indice $2$ è automaticamente normale). A cosa è isomorfo il quoziente?
Che $A_n$ sia un sottogruppo di $S_n$ non è difficile provarlo, l'abbiamo anche visto a lezione: comunque lo riscrivo che male non mi fa. Sinteticamente, l'elemento neutro $id$ (la permutazione identica) è considerata pari, dunque $id in A_n$. Inoltre, la composizione di due permutazioni pari è ancora pari e, infine, l'inversa di una permutazione pari è ancora pari (infatti, l'inverso di uno scambio è lo scambio stesso).
Ci siamo fin qui?
Adesso, la normalità: forse c'è una via più breve (molto probabile), ma mi è venuto in mente il coniugio: sia [tex]\sigma[/tex] una permutazione qualsiasi di $S_n$: si ha che $sigma^(-1)$ ha la stessa parità di $sigma$ (vero?). Perciò, $sigmaA_nsigma^(-1)subseteqA_n$.
Quindi $A_n$ è stabile per coniugio e quindi anche normale.
A dire il vero, pensando alla generalizzazione di cui mi parli, penso si possa fare anche così. Ogni sottogruppo $H$ di $G$ di indice due è normale perchè in pratica divide l'insieme in due pezzi (laterali): uno è il sottogruppo stesso, l'altro il complementare. Dunque si ha che $xH=Hx, forall x in G$. In parole povere: gli elementi del sottogruppo stanno sempre nel sottogruppo, gli altri nel complementare. E' chiaro? Scusa se non mi sono espresso proprio benissimo...
In any case, lo studio del quoziente sta volta dovrebbe essere facile facile, anche senza il teorema di isomorfismo: infatti, $S_n\\A_n={A_n, S_n-A_n}$. Quindi $|S_n\\A_n|=2$. Ma c'è un solo gruppo di ordine $2$, quello ciclico: segue $S_n\\A_n cong ZZ_2$.
Sia $G$ il gruppo delle matrici $n xx n$ invertibili sul campo $C$. Sia $H$ il sottoinsieme di $G$ formato dalle matrici di determinante $1$. Dimostrare che $H$ è un sottogruppo normale di $G$. A cosa è isomorfo $G//H$?
Premetto che non so molto di Geometria e Algebra Lineare, ma ci provo perchè qualcosina a lezione abbiamo visto. Mi metto in $RR$ per comodità.
A livello di nomi, abbiamo chiamato il gruppo delle matrici invertibili $GL(n, RR)$ e quello delle matrici a determinante 1 $SL(n,RR)$.
Qui l'omomorfismo buono (so da un esempio visto in aula) dovrebbe essere la funzione che manda una matrice nel suo determinante. Vale infatti il teorema di Binet.
In breve, sia
$f:GL(n,RR)->RR-{0}$ così definita
$f(A)=det A$, $forall A in GL(n,RR)$
Che $f$ sia un omomorfismo di gruppi discende immediatamente dal teorema di Binet. Il $"Ker" f = SL(n,RR)$, visto che l'elemento neutro di $RR$ è $1$. Per il primo th. di isomorfismo, posso concludere che $GL(n,RR)\\SL(n,RR) cong RR-{0}$.
Spero di non aver scritto boiate. GRAZIE mille di tutto, anche per avermi proposto esercizi così interessanti.
Sì, alcune note:
- il quoziente di $G$ modulo $N$ di solito si indica con $G // N$, non con $G \\ N$.
- nel caso di $S_n$ e $A_n$, l'omomorfismo il cui nucleo è $A_n$ è proprio la funzione "segno", $S_n to {pm 1}$ che manda ogni permutazione nella sua parità ($+1$ se pari, $-1$ se dispari).
- nel caso di $GL(n,RR)$ e $SL(n,RR)$, al posto di $RR$ ci può stare qualsiasi campo $C$.
- il quoziente di $G$ modulo $N$ di solito si indica con $G // N$, non con $G \\ N$.
- nel caso di $S_n$ e $A_n$, l'omomorfismo il cui nucleo è $A_n$ è proprio la funzione "segno", $S_n to {pm 1}$ che manda ogni permutazione nella sua parità ($+1$ se pari, $-1$ se dispari).
- nel caso di $GL(n,RR)$ e $SL(n,RR)$, al posto di $RR$ ci può stare qualsiasi campo $C$.
Evvai! 
. Ti ringrazio, Martino, per il tuo grandissimo aiuto.
Ho capito, grazie per la segnalazione.
Interessante, non avevo visto questa storia del segno di una permutazione. Grazie.
Grazie per la generalizzazione.
Ti ringrazio ancora per la tua disponibilità.
A presto.
. Ti ringrazio, Martino, per il tuo grandissimo aiuto."Martino":
Sì, alcune note:
- il quoziente di $G$ modulo $N$ di solito si indica con $G // N$, non con $G \\ N$.
Ho capito, grazie per la segnalazione.
- nel caso di $S_n$ e $A_n$, l'omomorfismo il cui nucleo è $A_n$ è proprio la funzione "segno", $S_n to {pm 1}$ che manda ogni permutazione nella sua parità ($+1$ se pari, $-1$ se dispari).
Interessante, non avevo visto questa storia del segno di una permutazione. Grazie.
- nel caso di $GL(n,RR)$ e $SL(n,RR)$, al posto di $RR$ ci può stare qualsiasi campo $C$.
Grazie per la generalizzazione.
Ti ringrazio ancora per la tua disponibilità.
A presto.
Ti ricordo anche che è utile seguire il suggerimento di Gugo, in particolare osserva che nell'esercizio con $CC$ le classi di equivalenza sono le circonferenze di centro l'origine, e quindi una qualsiasi semiretta dall'origine (esclusa l'origine) rappresenta il quoziente (che è appunto isomorfo a $(RR_{>0},*)$).
Infatti per rappresentare il quoziente bisogna scegliere un punto (un rappresentante) su ogni circonferenza (in ogni classe), e allora chi ci impedisce di scegliere tutti punti allineati?
Ciao ciao
PS. Sei al primo anno? In tal caso, complimenti, sei proprio di apprendimento rapido.
Infatti per rappresentare il quoziente bisogna scegliere un punto (un rappresentante) su ogni circonferenza (in ogni classe), e allora chi ci impedisce di scegliere tutti punti allineati?
Ciao ciao
PS. Sei al primo anno? In tal caso, complimenti, sei proprio di apprendimento rapido.
"Martino":
Ti ricordo anche che è utile seguire il suggerimento di Gugo, in particolare osserva che nell'esercizio con $CC$ le classi di equivalenza sono le circonferenze di centro l'origine, e quindi una qualsiasi semiretta dall'origine (esclusa l'origine) rappresenta il quoziente (che è appunto isomorfo a $(RR_{>0},*)$).
Infatti per rappresentare il quoziente bisogna scegliere un punto (un rappresentante) su ogni circonferenza (in ogni classe), e allora chi ci impedisce di scegliere tutti punti allineati?
Enonègiustoperò... Lo volevo dire io.
Buongiorno a tutti.
Di questo qua non sono tanto sicuro. Di nuovo, parte della mia insicurezza è dovuta al fatto che i polinomi non li abbiamo ancora fatti per bene in Algebra, sarà argomento della prossima settimana.
In ogni caso, ci provo. Chiamo polinomio di grado $<=4$ un'espressione del tipo: $p(x): a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$.
Sia dunque $G$ l'insieme di tali polinomi, con i coefficienti $a_i in RR$. Esso è un gruppo abeliano additivo: infatti, l'operazione è associativa (perchè è associativa la somma in $RR$); l'operazione di somma è binaria interna (la somma di due polinomi di grado uguale o inferiore al quarto è ancora un polinomio del genere). Esiste l'elemento neutro (polinomio nullo, $a_i=0$, $forall i =0,1,...,4$) ed esiste per ogni polinomio un unico polinomio $-p(x)$ (i cui coefficienti sono gli opposti dei coefficienti del polinomio dato) che è appunto l'opposto.
$G$ è abeliano perchè la somma è commutativa in $RR$.
$H$ è un sottogruppo di $G$ perchè, siccome l'opposto di un polinomio costante è ancora costante, anche la loro somma è costante: se $p(x)=alpha$, $q(x)=beta$ ($alpha,beta in RR$), allora $-q(x)=-beta$, da cui $p(x)-q(x)=alpha-beta = "costante" in RR$.
Infine, $H$ è normale in $G$ perchè $G$ è abeliano.
Adesso, per studiare il quoziente ho pensato a diverse funzioni, che però spesso non erano morfismi: ad esempio, mandare tutto nel grado del polinomio poteva essere un'idea "furba", visto che le costanti hanno grado zero, se non sbaglio; ma la funzione "grado" non è un omomorfismo, quindi nulla da fare.
Alla fine mi è venuta in mente questa cosa, non troppo felice secondo me. Probabilmente si può fare di meglio.
Chiamo $f: G->G$ la funzione che lavora così: $f(a(x))=a(x)-a_0$. Cioè la funzione prende un polinomio e lo priva del termine noto.
$f$ è omomorfismo di gruppi, infatti
$f(a(x)+b(x))=a(x)-b(x)-(a_0+b_0)=a_(x)-a_0+b(x)-b_0=f(a(x))+f(b(x))$
Dovrebbe essere anche un epimorfismo e soprattutto la cosa importante è che
$"Ker" f={a(x) in G " tali che " a(x)-a_0=0}=H$, per l'appunto i polinomi costanti.
Concludo quindi che $G//H$ è isomorfo a $G$. Proprio questa mattina, ho letto sul mio libro di Algebra che $RR[x]$ è isomorfo a $RR$ (questo risultato vale però in forma più generale per polinomi definiti su un qualsiasi anello $A$).
Siccome, se non sbaglio, la relazione di isomorfismo è di equivalenza, e quindi transitiva, posso affermare che il mio quoziente è isomorfo a $RR$ (come ho sempre sospettato)?
Ci tengo infine a segnalare un'ultima cosa: perchè la limitazione al IV grado? Ti confesso che all'inizio pensavo ci fosse un legame con la non-risolubilità delle equazioni di grado superiore al quarto con radicali (non risolubilità di $S_n$ per $n >=5$) e quindi sospettavo un isomorfismo con qualcosa dal genere... ma penso sia troppo, almeno per me.
Ti ringrazio molto per tutto. GRAZIE.
Ah, vero. Grazie.
Sì, primo anno, primo corso di Algebra (ho scoperto una passione... è veramente affascinante). Ti ringrazio per i tuoi complimenti, mi onorano, davvero, e ti ringrazio molto anche per il tuo aiuto. Mi permetti di approfondire e capire meglio quello che vedo a lezione: GRAZIE.
"Martino":
Sia $G$ l'insieme dei polinomi su $RR$ di grado $le 4$. Sia $H$ il sottoinsieme di $G$ che consiste dei polinomi costanti. Dimostrare che $G$ è un gruppo abeliano con $+$ e che $H$ è un suo sottogruppo. A cosa è isomorfo il quoziente?
Di questo qua non sono tanto sicuro. Di nuovo, parte della mia insicurezza è dovuta al fatto che i polinomi non li abbiamo ancora fatti per bene in Algebra, sarà argomento della prossima settimana.
In ogni caso, ci provo. Chiamo polinomio di grado $<=4$ un'espressione del tipo: $p(x): a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$.
Sia dunque $G$ l'insieme di tali polinomi, con i coefficienti $a_i in RR$. Esso è un gruppo abeliano additivo: infatti, l'operazione è associativa (perchè è associativa la somma in $RR$); l'operazione di somma è binaria interna (la somma di due polinomi di grado uguale o inferiore al quarto è ancora un polinomio del genere). Esiste l'elemento neutro (polinomio nullo, $a_i=0$, $forall i =0,1,...,4$) ed esiste per ogni polinomio un unico polinomio $-p(x)$ (i cui coefficienti sono gli opposti dei coefficienti del polinomio dato) che è appunto l'opposto.
$G$ è abeliano perchè la somma è commutativa in $RR$.
$H$ è un sottogruppo di $G$ perchè, siccome l'opposto di un polinomio costante è ancora costante, anche la loro somma è costante: se $p(x)=alpha$, $q(x)=beta$ ($alpha,beta in RR$), allora $-q(x)=-beta$, da cui $p(x)-q(x)=alpha-beta = "costante" in RR$.
Infine, $H$ è normale in $G$ perchè $G$ è abeliano.
Adesso, per studiare il quoziente ho pensato a diverse funzioni, che però spesso non erano morfismi: ad esempio, mandare tutto nel grado del polinomio poteva essere un'idea "furba", visto che le costanti hanno grado zero, se non sbaglio; ma la funzione "grado" non è un omomorfismo, quindi nulla da fare.
Alla fine mi è venuta in mente questa cosa, non troppo felice secondo me. Probabilmente si può fare di meglio.
Chiamo $f: G->G$ la funzione che lavora così: $f(a(x))=a(x)-a_0$. Cioè la funzione prende un polinomio e lo priva del termine noto.
$f$ è omomorfismo di gruppi, infatti
$f(a(x)+b(x))=a(x)-b(x)-(a_0+b_0)=a_(x)-a_0+b(x)-b_0=f(a(x))+f(b(x))$
Dovrebbe essere anche un epimorfismo e soprattutto la cosa importante è che
$"Ker" f={a(x) in G " tali che " a(x)-a_0=0}=H$, per l'appunto i polinomi costanti.
Concludo quindi che $G//H$ è isomorfo a $G$. Proprio questa mattina, ho letto sul mio libro di Algebra che $RR[x]$ è isomorfo a $RR$ (questo risultato vale però in forma più generale per polinomi definiti su un qualsiasi anello $A$).
Siccome, se non sbaglio, la relazione di isomorfismo è di equivalenza, e quindi transitiva, posso affermare che il mio quoziente è isomorfo a $RR$ (come ho sempre sospettato)?
Ci tengo infine a segnalare un'ultima cosa: perchè la limitazione al IV grado? Ti confesso che all'inizio pensavo ci fosse un legame con la non-risolubilità delle equazioni di grado superiore al quarto con radicali (non risolubilità di $S_n$ per $n >=5$) e quindi sospettavo un isomorfismo con qualcosa dal genere... ma penso sia troppo, almeno per me.
Ti ringrazio molto per tutto. GRAZIE.
"Martino":
Ti ricordo anche che è utile seguire il suggerimento di Gugo, in particolare osserva che nell'esercizio con $CC$ le classi di equivalenza sono le circonferenze di centro l'origine, e quindi una qualsiasi semiretta dall'origine (esclusa l'origine) rappresenta il quoziente (che è appunto isomorfo a $(RR_{>0},*)$).
Infatti per rappresentare il quoziente bisogna scegliere un punto (un rappresentante) su ogni circonferenza (in ogni classe), e allora chi ci impedisce di scegliere tutti punti allineati?
Ah, vero. Grazie.
PS. Sei al primo anno? In tal caso, complimenti, sei proprio di apprendimento rapido.
Sì, primo anno, primo corso di Algebra (ho scoperto una passione... è veramente affascinante). Ti ringrazio per i tuoi complimenti, mi onorano, davvero, e ti ringrazio molto anche per il tuo aiuto. Mi permetti di approfondire e capire meglio quello che vedo a lezione: GRAZIE.
"Paolo90":Ho sottolineato le parti ambigue o errate. Attento: $f$ non è un epimorfismo! Infatti $f(a(x))$ assume in $0$ il valore $0$ ($f(a(x))(0)=(a(x)-a(0))(0)=a(0)-a(0)=0$). E non tutti i polinomi hanno $0$ come zero (scusa il gioco di parole
Alla fine mi è venuta in mente questa cosa, non troppo felice secondo me. Probabilmente si può fare di meglio.
Chiamo $f: G->G$ la funzione che lavora così: $f(a(x))=a(x)-a_0$.
Dovrebbe essere anche un epimorfismo e soprattutto la cosa importante è che
$"Ker" f={a(x) in G " tali che " a(x)-a_0=0}=H$, per l'appunto i polinomi costanti.
Concludo quindi che $G//H$ è isomorfo a $G$. Proprio questa mattina, ho letto sul mio libro di Algebra che $RR[x]$ è isomorfo a $RR$ (questo risultato vale però in forma più generale per polinomi definiti su un qualsiasi anello $A$).
).E, forse $G // H$ è isomorfo a $G$ tramite qualche isomorfismo esotico, ma applicando il teorema di isomorfismo non ottieni quello che hai detto. E attento, gli isomorfismi di cui stiamo parlando sono isomorfismi di gruppi (additivi). E' pericoloso dire che $RR[X] cong RR$, non appena li consideri come anelli o come $RR$-spazi vettoriali non è più vero che sono isomorfi. D'altra parte, sono isomorfi come $QQ$-spazi vettoriali.
Ho preso il grado $le 4$ a caso, potevo anche prendere tutto $RR[X]$.
Volevo farti osservare che come funzione $f:G to G$ potevi anche prendere l'usuale derivazione
Bello no?
@Gugo: scusa
la prossima volta mi tratterrò..
"Martino":
Ho sottolineato le parti ambigue o errate. Attento: $f$ non è un epimorfismo! Infatti $f(a(x))$ assume in $0$ il valore $0$ ($f(a(x))(0)=(a(x)-a(0))(0)=a(0)-a(0)=0$). E non tutti i polinomi hanno $0$ come zero (scusa il gioco di parole
Caspita, è vero, non me ne ero accorto!
E, forse $G // H$ è isomorfo a $G$ tramite qualche isomorfismo esotico, ma applicando il teorema di isomorfismo non ottieni quello che hai detto. E attento, gli isomorfismi di cui stiamo parlando sono isomorfismi di gruppi (additivi). E' pericoloso dire che $RR[X] cong RR$, non appena li consideri come anelli o come $RR$-spazi vettoriali non è più vero che sono isomorfi. D'altra parte, sono isomorfi come $QQ$-spazi vettoriali.
Grazie per la segnalazione. Hai proprio fatto bene a segnalarmi queste cose, per un principiante come me è tutta roba utilissima.
Ho preso il grado $le 4$ a caso, potevo anche prendere tutto $RR[X]$.
Perfetto, i miei dubbi erano infondati (com'era logico che fosse).
Volevo farti osservare che come funzione $f:G to G$ potevi anche prendere l'usuale derivazione
Bello no?
Fighissimo, chi ci pensava più? E dire che fino ad un po' di tempo fa preferivo l'analisi...
. Giusto, $H$ è il nucleo della funzione che manda ogni polinomio nel suo polinomio derivato. Quindi, posso concludere che il quoziente è isomorfo a $G$ (o, se volendo essere precisi, al gruppo dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale al terzo, visto che la derivata abbassa di uno il grado). Più in generale, se avessi avuto tutto $RR[x]$ allora il quoziente era isomorfo a tutto $RR[x]$, giusto?
Spero di non aver detto ancora stupidaggini...
"Martino":
Sia $G$ l'insieme delle funzioni $f:[0,1] to RR$. Dimostrare che $G$ è un gruppo additivo abeliano. Sia $H={g in G\ |\ g(1/2) in QQ}$. Dimostrare che $H$ è un sottogruppo normale di $G$. A cosa è isomorfo $G//H$? E se sceglievamo un qualsiasi altro sottogruppo additivo $K$ di $RR$ e definivamo $H={g in G\ |\ g(1/2) in K}$ a cosa era isomorfo $G//H$?
Questo è stato divertente. Non sono ancora arrivato ad una soluzione definitiva, ma spero di aver cominciato bene.
Parte 1.
$G,+$ è gruppo abeliano, infatti: la somma di due funzioni a valori in $RR$ definite sul compatto $[0,1]$ è ancora una funzione di questo tipo; vale la proprietà associativa e commutativa perchè valgono per la somma in $RR$. Esiste la funzione identicamente nulla $f(x)=0, forall x in [0,1]$ che funge da elemento neutro e per ogni funzione esiste la funzione opposta.
Parte 2.
$H$ è un sottogruppo di $G$. Supponiamo infatti che siano $g,h in H$, cioè $g(1/2) in QQ$ e $h(1/2) in QQ$. Poichè l'opposto di un numero razionale è ancora razionale si ha $-h(1/2) in QQ$; si conclude ricordando che la somma di due razionali è ancora razionale: $g(1/2)-h(1/2) in QQ$.
$H$ è normale in $G$ perchè $G$ è abeliano.
Parte 3.
Isomorfismi del quoziente. E qui viene di nuovo il bello. Sulle prime pensavo a un possibile omomorfismo $f$ tra $G$ e $ZZ_2$, variazione sul tema delle funzioni caratteristiche: il morfismo prende la funzione e la manda in $0$ se $g(1/2) in QQ$, in $1$ altrimenti. E il $"Ker"$ ci sarebbe anche, peccato solo che la mia $f$ non sia un omomorfismo (non mi pare conservi l'operazione).
Hai suggerimenti da darmi, per piacere? Sono sulla strada giusta? Ti ringrazio molto per il tuo grandissimo aiuto...
GRAZIE.
"Paolo90":Sì.
Più in generale, se avessi avuto tutto $RR[x]$ allora il quoziente era isomorfo a tutto $RR[x]$, giusto?
"Paolo90":Continua a considerare la valutazione in $1/2$, che è una funzione $G to RR$. Naturalmente $H$ non è il nucleo di questa applicazione. Ti serve un gruppo "?" in cui "ogni razionale è zero". In pratica devi schiacciare a zero i razionali. Poi fai $G to RR to ?$ ...
Parte 3.
Isomorfismi del quoziente. E qui viene di nuovo il bello. Sulle prime pensavo a un possibile omomorfismo $f$ tra $G$ e $ZZ_2$, variazione sul tema delle funzioni caratteristiche: il morfismo prende la funzione e la manda in $0$ se $g(1/2) in QQ$, in $1$ altrimenti. E il $"Ker"$ ci sarebbe anche, peccato solo che la mia $f$ non sia un omomorfismo (non mi pare conservi l'operazione).
Per fare un'analogia, considera $ZZ//2ZZ$. Qui chi è schiacciato a zero sono i numeri pari...
Caro Martino,
perdonami perchè continuo a torturarti da ormai più di una settimana. Ho imparato un sacco di cose grazie a te, davvero, sei stato gentilissimo.
Se mai potrà bastare, GRAZIE.
Comunque sono ancora qua che penso al mio omomorfismo di gruppi.
Forse sono quasi vicino alla soluzione ma mi manca ancora qualcosina.
Come dici tu, considero la valutazione in $1/2$: prendo f:$G->RR$ che manda $g(x)$ in $g(1/2)$. Poi pensavo di prendere un'altra applicazione che va da $RR$ in "?" che manda $g(1/2)$ in $0$ se $g(1/2) in QQ$, in $1$ se $g(1/2) in RR-QQ$. Come dicevi tu, qui ogni razionale è schiacciato a zero, no?
Il mio grosso problema però è che queste due applicazioni non mi sembrano omomorfismi di gruppi: mi sbaglio? qual è il trucco stavolta che io non riesco a vedere?
P.S. Prometto che poi per un po' la pianto di romperti e mi dedicherò alla costruzione di un monumento di chicchi di riso (senza usare la colla) in tuo onore. .
Scusa ancora per il disturbo, e GRAZIE.
perdonami perchè continuo a torturarti da ormai più di una settimana. Ho imparato un sacco di cose grazie a te, davvero, sei stato gentilissimo.
Se mai potrà bastare, GRAZIE.
Comunque sono ancora qua che penso al mio omomorfismo di gruppi
. Forse sono quasi vicino alla soluzione ma mi manca ancora qualcosina.
Come dici tu, considero la valutazione in $1/2$: prendo f:$G->RR$ che manda $g(x)$ in $g(1/2)$. Poi pensavo di prendere un'altra applicazione che va da $RR$ in "?" che manda $g(1/2)$ in $0$ se $g(1/2) in QQ$, in $1$ se $g(1/2) in RR-QQ$. Come dicevi tu, qui ogni razionale è schiacciato a zero, no?
Il mio grosso problema però è che queste due applicazioni non mi sembrano omomorfismi di gruppi: mi sbaglio? qual è il trucco stavolta che io non riesco a vedere?
P.S. Prometto che poi per un po' la pianto di romperti e mi dedicherò alla costruzione di un monumento di chicchi di riso (senza usare la colla) in tuo onore.
.Scusa ancora per il disturbo, e GRAZIE.
Il bello dell'algebra è che il più delle volte non bisogna fare costruzioni strane ma stare sul "naturale". Hai mai pensato al gruppo additivo $RR//QQ$ ?
Considera $G to RR to RR//QQ$.
Se non bastasse, PREGO
Considera $G to RR to RR//QQ$.
Se non bastasse, PREGO
"Martino":
Il bello dell'algebra è che il più delle volte non bisogna fare costruzioni strane ma stare sul "naturale". Hai mai pensato al gruppo additivo $RR//QQ$ ?
Considera $G to RR to RR//QQ$.
Se non bastasse, PREGO
Posso confessarti una cosa? Non ho capito.
.Che cosa intendi? Il gruppo quoziente $RR//QQ$? Come è fatto?
Scusa sono stordito forte (oggi non capisco proprio nulla), ma non ho afferrato quello che intendi. Grazie e scusa perchè mi aiuti nonostante il mio "rincitrullimento".
Considera la composizione $G to RR to RR // QQ$, dove:
$G to RR$ è la valutazione in $1/2$. Si tratta di un omomorfismo suriettivo di gruppi additivi.
$RR to RR // QQ$ è l'applicazione che manda un elemento nella sua classe modulo $QQ$. Si tratta di un omomorfismo suriettivo di gruppi additivi.
Quindi la composizione $G to RR // QQ$ è un omomorfismo suriettivo di gruppi additivi. Qual è il nucleo di questo omomorfismo?
Si tratta dell'insieme delle funzioni $f in G$ tali che $f(1/2) in QQ$, quindi è proprio $H$.
Ne deduci che $G // H$ è isomorfo a $RR // QQ$.
$G to RR$ è la valutazione in $1/2$. Si tratta di un omomorfismo suriettivo di gruppi additivi.
$RR to RR // QQ$ è l'applicazione che manda un elemento nella sua classe modulo $QQ$. Si tratta di un omomorfismo suriettivo di gruppi additivi.
Quindi la composizione $G to RR // QQ$ è un omomorfismo suriettivo di gruppi additivi. Qual è il nucleo di questo omomorfismo?
Si tratta dell'insieme delle funzioni $f in G$ tali che $f(1/2) in QQ$, quindi è proprio $H$.
Ne deduci che $G // H$ è isomorfo a $RR // QQ$.
1. GRAZIE.
2.
Non mi chiedere perchè ma continuavo a essere convinto del fatto che questa funzione da sola non fosse sufficiente per l'omomorfismo di gruppi additivi perchè non conservasse le operazioni. Si vede che ho bisogno di un paio di occhiali (e di riposo, molto riposo). Ok, fin qui ci sono.
No, qua andiamo proprio sul difficile, da solo non ci sarei mai arrivato. Come si costruisce quel quoziente? Che relazione si usa? Qual è la classe modulo $QQ$ di un numero reale?
Una volta che avrò capito bene questo, il resto verrà da solo. GRAZIE ancora e scusami per le mie lacune.
2.
"Martino":
Considera la composizione $G to RR to RR // QQ$, dove:
$G to RR$ è la valutazione in $1/2$. Si tratta di un omomorfismo suriettivo di gruppi additivi.
Non mi chiedere perchè ma continuavo a essere convinto del fatto che questa funzione da sola non fosse sufficiente per l'omomorfismo di gruppi additivi perchè non conservasse le operazioni. Si vede che ho bisogno di un paio di occhiali (e di riposo, molto riposo). Ok, fin qui ci sono.
$RR to RR // QQ$ è l'applicazione che manda un elemento nella sua classe modulo $QQ$. Si tratta di un omomorfismo suriettivo di gruppi additivi.
No, qua andiamo proprio sul difficile, da solo non ci sarei mai arrivato. Come si costruisce quel quoziente? Che relazione si usa? Qual è la classe modulo $QQ$ di un numero reale?
Una volta che avrò capito bene questo, il resto verrà da solo. GRAZIE ancora e scusami per le mie lacune.
"Paolo90":Se hai un gruppo $G$ e un suo sottogruppo $H$, puoi definire in $G$ la relazione di equivalenza seguente: $x sim y$ se e solo se $xy^{-1} in H$ (*). Le classi di equivalenza sono i laterali destri di $H$, ovvero i sottoinsiemi della forma $Hy = {hy\ |\ h in H}$ dove $y in G$. L'insieme quoziente $G // H$ in questo caso è quindi l'insieme dei laterali destri di $H$.$RR to RR // QQ$ è l'applicazione che manda un elemento nella sua classe modulo $QQ$. Si tratta di un omomorfismo suriettivo di gruppi additivi.
No, qua andiamo proprio sul difficile, da solo non ci sarei mai arrivato. Come si costruisce quel quoziente? Che relazione si usa? Qual è la classe modulo $QQ$ di un numero reale?
Qui viene il bello: se $H$ è normale allora puoi definire un'operazione in $G // H$ che lo rende un gruppo, la seguente: $(Hx)(Hy) = Hxy$. Osserva che se $H$ non è normale questa operazione non è ben definita. Se $H$ è normale il gruppo $G // H$ consiste dei laterali destri, cioè dei laterali sinistri (non devi fare distinzioni, dato che $H$ è normale).
Nel nostro caso, il gruppo $RR // QQ$ è quindi l'insieme delle classi modulo $QQ$, cioè dei sottoinsiemi del tipo $[a]={a+q\ |\ q in QQ}$ al variare di $a in RR$ (ho denotato con $[a]$ la classe di $a$). Per esempio, la classe di $0$ è $QQ$. Per definizione (vedi (*)), due numeri reali sono congrui modulo $QQ$ se la loro differenza sta in $QQ$ (osserva che questa è la versione additiva di (*)). L'operazione in $RR//QQ$ è la seguente: $[a]+=[a+b]$, è ben definita.
A posto, a posto, GRAZIE. Sì, mi hai rinfrescato ben bene le idee, grazie Martino. Quella che hai scritto è la procedura "standard" che conosco anche io per costruire il quoziente passando dai laterali. Molto bello il tuo esempio, mi ha permesso di conoscere il gruppo $RR // QQ$.
Un'ultima osservazione:
Scommetto che se avessimo scelto un qualsiasi altro sottogruppo additivo $K$ di $RR$ il quoziente $G//H$ era isomorfo a $RR//K$, dico bene?
Comunque ora riprendo tutto da capo questo esempio e me lo scrivo per bene, voglio tenerlo per ricordo (come, del resto, tutti i problemi che ho risolto qui con il tuo fondamentale aiuto).
Grazie ancora.
Paolo
Un'ultima osservazione:
"Martino":
Sia $G$ l'insieme delle funzioni $f:[0,1] to RR$. Dimostrare che $G$ è un gruppo additivo abeliano. Sia $H={g in G\ |\ g(1/2) in QQ}$. Dimostrare che $H$ è un sottogruppo normale di $G$. A cosa è isomorfo $G//H$? E se sceglievamo un qualsiasi altro sottogruppo additivo $K$ di $RR$ e definivamo $H={g in G\ |\ g(1/2) in K}$ a cosa era isomorfo $G//H$?
Scommetto che se avessimo scelto un qualsiasi altro sottogruppo additivo $K$ di $RR$ il quoziente $G//H$ era isomorfo a $RR//K$, dico bene?
Comunque ora riprendo tutto da capo questo esempio e me lo scrivo per bene, voglio tenerlo per ricordo (come, del resto, tutti i problemi che ho risolto qui con il tuo fondamentale aiuto).
Grazie ancora.
Paolo
"Paolo90":Eh già
Scommetto che se avessimo scelto un qualsiasi altro sottogruppo additivo $K$ di $RR$ il quoziente $G//H$ era isomorfo a $RR//K$, dico bene?
Sai è sempre molto soddisfacente parlare con chi è motivato e capisce in fretta!
Prego, fammi sapere se c'è qualcos'altro di oscuro.
"Martino":Eh già
[quote="Paolo90"]Scommetto che se avessimo scelto un qualsiasi altro sottogruppo additivo $K$ di $RR$ il quoziente $G//H$ era isomorfo a $RR//K$, dico bene?
Sai è sempre molto soddisfacente parlare con chi è motivato e capisce in fretta!
Prego, fammi sapere se c'è qualcos'altro di oscuro.[/quote]
Ciao carissimo, mi lusinga il tuo commento, davvero, ti ringrazio molto.
Per quanto riguarda il problema, ho rivisto tutto quanto con calma questa mattina in aula studio all'università, senza computer o aiuti esterni: e ho risolto il problema "con le mie forze", quindi direi che non c'è più nulla di oscuro. Ti ringrazio molto per il tuo determinante aiuto.
Dopo aver esaurito la mitica lista dei tuoi problemi, mi resta un'ultima curiosità, se posso, anzi due (tranquillo, non mi allargo troppo!
). 1. I problemi che hai proposto tu erano tutti incentrati sull'uso del teorema fondamentale di isomorfismo. Erano ottimi esercizi, direi. C'è qualche risultato generale (o qualche teorema importante dell'algebra) che si potrebbe dimostrare sfruttando questo fatto? Mi spiego meglio: ad esempio, la generalizzazione dell'ultimo esercizio (quella sui sottogruppi additivi di $RR$), mi è piaciuta una sacco perchè appunto era una cosa generale. C'è qualche altro esercizio, più complesso, magari, che si risolve usando queste conoscenze e che è un risultato generale?
2. Sai consigliarmi, per piacere, un buon sito/libro cartaceo/ebook su cui io possa trovare sviluppata bene la teoria dei gruppi? Non mi serve adesso, a lezione abbiamo solo fatto qualche cenno (adesso stiamo studiando gli anelli): però, magari, dopo aver dato l'esame a Gennaio, mi piacerebbe approfondire un po' per conto mio la questione sui gruppi... tu che dici? E' meglio se lascio perdere e aspetto Algebra II l'anno prossimo
?GRAZIE ancora per tutto.
Ecco, io la penso così: i vari teoremi di isomorfismo (sono tre, poi te li scrivo) servono per imparare a capire cosa vuol dire fare il quoziente di un gruppo con un sottogruppo normale, e si usano di continuo, talmente spesso che ad un certo punto si smette tranquillamente di citarli quando si usano. Quindi non li assocerei a "risultati generali", sono veramente l'ABC della teoria dei gruppi, come l'addizione e la moltiplicazione sono l'ABC dell'aritmetica.
Curiosamente non ho un testo che spieghi i gruppi in modo didattico, quello che ho sono pdf che ho scritto usando note prese ai vari corsi, e che sto ampliando proprio in questo periodo, ma perché io ti aiuti dovresti dirmi fino a che punto conosci i gruppi e più o meno fino a che punto vorresti conoscerli. Tipo, dimmi quali tra le seguenti cose conosci (te le scrivo anche per darti un'idea degli argomenti, se vuoi saperne qualcosa intanto trovi molto su wikipedia) (li scrivo come mi vengono in mente):
teorema di Lagrange, azioni di gruppi, equazione delle classi, normalizzanti, centralizzanti, p-gruppi, teoria di Sylow, sottogruppo di Fitting, gruppi di automorfismi, zoccolo, struttura dei sottogruppi normali minimali, gruppi ciclici, gruppi abeliani (finitamente generati e loro struttura), prodotti diretti, prodotti semidiretti, sottogruppo derivato, gruppi risolubili, gruppi nilpotenti, sottogruppi massimali, sottogruppo di Frattini, supplementi e complementi, estensioni, gruppi di coomologia, fattori di composizione, fattori principali, gruppi semplici, gruppi diedrali, gruppi affini, gruppi simmetrici, gruppi alterni, campi finiti, gruppi lineari (GL, SL, PGL, PSL), teoria della rappresentazione, tavole di caratteri.
Se poi vuoi posso passarti materiale e ti ci puoi buttare subito, ma una strategia più ragionevole sarebbe aspettare di vedere queste cose con calma in un corso universitario.
Ah attento: normalmente in un corso universitario che ha "algebra" nel nome non si fanno tutte le cose che ti ho scritto, di solito si fanno i teoremi di isomorfismo, le azioni dei gruppi, i teoremi di Sylow e un sacco di esempi.
Ecco i tre teoremi di isomorfismo, magari per esercizio prova a dimostrare il secondo e il terzo usando il primo.
Primo teorema di isomorfismo: ogni omomorfismo [tex]f:G \to H[/tex] induce canonicamente un isomorfismo [tex]G/\ker(f) \to f(G)[/tex].
Secondo teorema di isomorfismo: siano [tex]H[/tex] e [tex]N[/tex] sottogruppi di un gruppo [tex]G[/tex] con [tex]N[/tex] normale in [tex]G[/tex]. Allora [tex]HN:=\{hn\ |\ h \in H,\ n \in N\}[/tex] è un sottogruppo di [tex]G[/tex], [tex]N[/tex] è normale in [tex]HN[/tex] ed esiste un isomorfismo canonico [tex]H/H \cap N \cong HN/N[/tex].
Terzo teorema di isomorfismo: siano [tex]H \subseteq N[/tex] due sottogruppi normali di un gruppo [tex]G[/tex]. Allora esiste un isomorfismo canonico [tex](G/H)/(N/H) \cong G/N[/tex].
Curiosamente non ho un testo che spieghi i gruppi in modo didattico, quello che ho sono pdf che ho scritto usando note prese ai vari corsi, e che sto ampliando proprio in questo periodo, ma perché io ti aiuti dovresti dirmi fino a che punto conosci i gruppi e più o meno fino a che punto vorresti conoscerli. Tipo, dimmi quali tra le seguenti cose conosci (te le scrivo anche per darti un'idea degli argomenti, se vuoi saperne qualcosa intanto trovi molto su wikipedia) (li scrivo come mi vengono in mente):
teorema di Lagrange, azioni di gruppi, equazione delle classi, normalizzanti, centralizzanti, p-gruppi, teoria di Sylow, sottogruppo di Fitting, gruppi di automorfismi, zoccolo, struttura dei sottogruppi normali minimali, gruppi ciclici, gruppi abeliani (finitamente generati e loro struttura), prodotti diretti, prodotti semidiretti, sottogruppo derivato, gruppi risolubili, gruppi nilpotenti, sottogruppi massimali, sottogruppo di Frattini, supplementi e complementi, estensioni, gruppi di coomologia, fattori di composizione, fattori principali, gruppi semplici, gruppi diedrali, gruppi affini, gruppi simmetrici, gruppi alterni, campi finiti, gruppi lineari (GL, SL, PGL, PSL), teoria della rappresentazione, tavole di caratteri.
Se poi vuoi posso passarti materiale e ti ci puoi buttare subito, ma una strategia più ragionevole sarebbe aspettare di vedere queste cose con calma in un corso universitario.
Ah attento: normalmente in un corso universitario che ha "algebra" nel nome non si fanno tutte le cose che ti ho scritto, di solito si fanno i teoremi di isomorfismo, le azioni dei gruppi, i teoremi di Sylow e un sacco di esempi.
Ecco i tre teoremi di isomorfismo, magari per esercizio prova a dimostrare il secondo e il terzo usando il primo.
Primo teorema di isomorfismo: ogni omomorfismo [tex]f:G \to H[/tex] induce canonicamente un isomorfismo [tex]G/\ker(f) \to f(G)[/tex].
Secondo teorema di isomorfismo: siano [tex]H[/tex] e [tex]N[/tex] sottogruppi di un gruppo [tex]G[/tex] con [tex]N[/tex] normale in [tex]G[/tex]. Allora [tex]HN:=\{hn\ |\ h \in H,\ n \in N\}[/tex] è un sottogruppo di [tex]G[/tex], [tex]N[/tex] è normale in [tex]HN[/tex] ed esiste un isomorfismo canonico [tex]H/H \cap N \cong HN/N[/tex].
Terzo teorema di isomorfismo: siano [tex]H \subseteq N[/tex] due sottogruppi normali di un gruppo [tex]G[/tex]. Allora esiste un isomorfismo canonico [tex](G/H)/(N/H) \cong G/N[/tex].
"Paolo90":un buon libro introduttivo alla teoria dei gruppi è il seguente (contiene materiali per un corso di tipo "monografico" sull'argomento quindi probabilmente andrebbe letto/studiato con il supporto del corso di Algebra 2 (almeno secondo l'organizzazione didattica del CdL della Sapienza )
2. Sai consigliarmi, per piacere, un buon sito/libro cartaceo/ebook su cui io possa trovare sviluppata bene la teoria dei gruppi? Non mi serve adesso, a lezione abbiamo solo fatto qualche cenno (adesso stiamo studiando gli anelli): però, magari, dopo aver dato l'esame a Gennaio, mi piacerebbe approfondire un po' per conto mio la questione sui gruppi... tu che dici? E' meglio se lascio perdere e aspetto Algebra II l'anno prossimo
http://www.libreriauniversitaria.it/gru ... 8847006225
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