A è algebrico sse lo è anche una sua espressione razionale

[doppio1]

Sia $K \subset mathbb{C}$ un campo, $h(x)$ una funzione razionale non costante su $K$ e $a \in mathbb{C}$ un numero su cui $h(x)$ è definito. Provare che i numeri $a$ e $h(a)$ sono o entrambi algebrici o entrambi trascendenti su K. Ho provato questa strada: se a è algebrico, allora $h(a)$ può essere scritto come polinomio in a di grado minore al grado di a su K. Sia p il polinomio minimo di a su K. L'idea ora è di esprimere il polinomio minimo di a su K (o un suo multiplo) come polinomio in h, prendendo il resto ($r_1$) della divisione di p per h, il resto ($r_2$) di $r_1$ per h, e così via. E' una strada percorribile?

[Studente Anonimo]

Per "funzione razionale" intendi funzione polinomiale? In tal caso, se $a$ è algebrico allora lo è anche $h(a)$ perché i numeri algebrici su K formano un campo (la chiusura algebrica relativa di $K$ in $CC$ - in questo caso è assoluta perché $CC$ è algebricamente chiuso: questo è un fatto di base che trovi su tutti i testi). Viceversa se $h(a)$ è algebrico allora esiste un polinomio $f$ tale che $f(h(a))=0$ e quindi $(f circ h)(a)=0$.

[doppio1]

Per funzione razionale intendo un elemento del campo delle frazioni di K[x]. Comunque è più o meno la stessa cosa. Infatti la prima parte si salva, perché c'è un modo per esprimere $h(a)$ come polinomio in a, se so che a è algebrico (1). Per la seconda, basta eliminare un denominatore...
Per (1) penso che funzioni così: se $h=j/k$ (dove j e k sono polinomi di $K[x]$) e p è il polinomio minimo di a, k deve essere primo con p (perché altrimenti la h valutata in a non ha senso). Ma allora posso usare Bezout, e trovare $s,t \in K[x]$ tali che $ps+tk=1$. Valuto in a, e ottengo $1/k=t$, e la $h(a)$ diventa un polinomio.
Thank you!

[Studente Anonimo]

Sì esatto prego ciao!