$5^x -3^y =2$
Abuso della vostra pazienza....C'è questa diofantea che mi fa diventare matto: $5^x -3^y =2$, si cercano solo le coppie $(x;y)$ intere e positive...
Siccome c'è la soluzione banale $(1;1)$, non si trova nessun assurdo con le congruenze "standard" ($3$,$4$,$8$..).. Di solito con queste euqazioni così vado a provare le congruenze con le potenze delle basi cosi da escludere il caso banale...ma questa volta (salvo errori di calcolo) le congruenze con modulo 9, 25 e 27 non danno assurdi ma solo limitazioni...provare 81 e 125 mi sembra un tantino brutale....o magari ho semplicemente sbagliato tutto...
voi per caso avete qualche modo più elegante, breve o semplicemente qualche idea per risolvere questa diofantea???
Vi ringrazio tantissimo....
Siccome c'è la soluzione banale $(1;1)$, non si trova nessun assurdo con le congruenze "standard" ($3$,$4$,$8$..).. Di solito con queste euqazioni così vado a provare le congruenze con le potenze delle basi cosi da escludere il caso banale...ma questa volta (salvo errori di calcolo) le congruenze con modulo 9, 25 e 27 non danno assurdi ma solo limitazioni...provare 81 e 125 mi sembra un tantino brutale....o magari ho semplicemente sbagliato tutto...
voi per caso avete qualche modo più elegante, breve o semplicemente qualche idea per risolvere questa diofantea???
Vi ringrazio tantissimo....
Risposte
Devi verificare anche che le limitazioni imposte dai vari moduli siano coerenti tra di loro. Di solito, quando non funziona un modulo solo, è la via più semplice.
Ti basta provare che $x,y$ devono essere dispari (modulo 3,5) e poi fattorizzare $5^x-3^y=(5-3)(5^{x-1}+3*5^{x-2}+...+3^{y-1})$, con la parentesi a destra maggiore di 1, se $x$ o $y$ maggiori di 1.
"TomSawyer":
$5^x-3^y=(5-3)(5^{x-1}+3*5^{x-2}+...+3^{y-1})$
Non mi e' chiara la tua identita', Tom. Come verrebbe nel caso $5^5-3^3$, ad esempio?
io propongo di scrivere l'equazione nella forma $5^x-5=3^y-3$ e di usare Eulero-Fermat a destra e sinistra. Mi piacerebbe poterci provare io, ma sono impegnato 
Stavo pensando a quando $x=y$, sbagliando, infatti.
La diofantea si puo' risolvere cosi', comunque:
dopo aver visto che $y$ deve essere dispari, supponiamo $y\ge3$. Da $5^x\equiv 2(mod9)$ abbiamo $x=6k+5$. Si ha che $5^{6k+5}\equiv3(mod7)$ e, sostituendo, $3-3^y\equiv2(mod7) \implies 3^y\equiv1(mod7)$, cioe' $y=6k$, contraddizione.
La diofantea si puo' risolvere cosi', comunque:
dopo aver visto che $y$ deve essere dispari, supponiamo $y\ge3$. Da $5^x\equiv 2(mod9)$ abbiamo $x=6k+5$. Si ha che $5^{6k+5}\equiv3(mod7)$ e, sostituendo, $3-3^y\equiv2(mod7) \implies 3^y\equiv1(mod7)$, cioe' $y=6k$, contraddizione.
bhe...grazie mille...veramente una bella soluzione!!!! 
Scusa Tom, due cose, sempre se possono spiegarsi brevemente, altrimenti fa niente
Come deduci che da
$5^x-=2(mod9)$ allora $x=6k+5$ ?
Poi, come deduci che deve anche essere
$5^(6k+5)-=3(mod7)$ ?
Garzie mille, ciao.
Come deduci che da
$5^x-=2(mod9)$ allora $x=6k+5$ ?
Poi, come deduci che deve anche essere
$5^(6k+5)-=3(mod7)$ ?
Garzie mille, ciao.
1) $5^5\equiv 2 (mod9)$, quindi $5^{6k}*5^5 \equiv 1*2(mod9)$, dato che $\varphi(9)=6$.
2) Analogo, con $5^5 \equiv 3 (mod7)$.
2) Analogo, con $5^5 \equiv 3 (mod7)$.
Dimmi una cosa: ti sei servito di Eulero-Fermat? E' il prossimo teorema che devo farmi.
Nel frattempo ti ringrazio molto, ciao.
Nel frattempo ti ringrazio molto, ciao.
mi permetto di rispondere io anke se la soluzione (purtroppo 
) non è mia(spero Tom non si arrabbi..)....credo che abbia usato il fatto ke le potenze di a mod(m) sono periodiche con periodo = $ord_m(a)$ (ordine moltipliactivo di a modulo m), ma dato che $ord_m(a)|\varphi(m)$ le potenze sono anke periodiche con periodo $\varphi(m)$ ....io personalmente il fatto che $5^5\equiv 2 mod(9)$ lo faccio a mano...
comunque a mio avviso la periodicità delle potenze è una delle proprietà più utili....
) non è mia(spero Tom non si arrabbi..)....credo che abbia usato il fatto ke le potenze di a mod(m) sono periodiche con periodo = $ord_m(a)$ (ordine moltipliactivo di a modulo m), ma dato che $ord_m(a)|\varphi(m)$ le potenze sono anke periodiche con periodo $\varphi(m)$ ....io personalmente il fatto che $5^5\equiv 2 mod(9)$ lo faccio a mano...comunque a mio avviso la periodicità delle potenze è una delle proprietà più utili....
"ficus2002":
io propongo di scrivere l'equazione nella forma $5^x-5=3^y-3$ e di usare Eulero-Fermat a destra e sinistra. Mi piacerebbe poterci provare io, ma sono impegnato
Ripesco questo vecchio topic.
Mi chiedevo: come sarebbe il procedimento se seguissimo il suggerimento di ficus2002 ?
Grazie.
Prima parte, con alcune osservazioni)
$5^x-3^y=2$
Una soluzione ovvia é $(x,y)=(1,1)$ e d'ora in poi non la consideriamo poi posso considerare:
$5(5^(x-1)-1)=3(3^(y-1)-1)$
Da cui devono valere:
${(5^(x-1)-1\equiv0(3)),(3^(y-1)-1\equiv0(5)):}$
Mi occupo della prima:
$5^(x-1)\equiv1(3)$
ricordo che $phi(3)=2$ allora:
$x-1=phi(3)q_0+r_0$ con $r_0 in {0,1}$
Allora:
$5^(phi(3)q_0+r_0)\equiv1(3)$
$(5^(phi(3)))^(q_0)*5^(r_0)\equiv5^(r_0)\equiv1(3)$
e quindi vale solo per $x-1=0(2)$ da cui $x\equiv1(2)$ ovvero dispari.
Per la seconda equazione:
$3^(y-1)\equiv1(5)$
ed analogamente qui ho $phi(5)=4$ e proseguo con:
$y-1=phi(5)q_1+r_1$ con $r_1 in {0,1,2,3}$
$3^(r_1)\equiv1(5)$
che sostituendo brutalmente ottengo che ha soluzione solo se $y\equiv1(4)$
$5^x-3^y=2$
Una soluzione ovvia é $(x,y)=(1,1)$ e d'ora in poi non la consideriamo poi posso considerare:
$5(5^(x-1)-1)=3(3^(y-1)-1)$
Da cui devono valere:
${(5^(x-1)-1\equiv0(3)),(3^(y-1)-1\equiv0(5)):}$
Mi occupo della prima:
$5^(x-1)\equiv1(3)$
ricordo che $phi(3)=2$ allora:
$x-1=phi(3)q_0+r_0$ con $r_0 in {0,1}$
Allora:
$5^(phi(3)q_0+r_0)\equiv1(3)$
$(5^(phi(3)))^(q_0)*5^(r_0)\equiv5^(r_0)\equiv1(3)$
e quindi vale solo per $x-1=0(2)$ da cui $x\equiv1(2)$ ovvero dispari.
Per la seconda equazione:
$3^(y-1)\equiv1(5)$
ed analogamente qui ho $phi(5)=4$ e proseguo con:
$y-1=phi(5)q_1+r_1$ con $r_1 in {0,1,2,3}$
$3^(r_1)\equiv1(5)$
che sostituendo brutalmente ottengo che ha soluzione solo se $y\equiv1(4)$
Seconda parte ovvero la soluzione)
Osserviamo la seguente identità: sia $x>=y$:
$5^x-3^y=2sum_(k=0)^(y-1) 5^(x-1-k)3^k + 3^y(5^(x-y)-1)$
(si fa similmente se $y>x$)
$sum_(k=0)^(y-1) 5^(x-1-k)3^k >=1$
e vale l'uguaglianza solo se $y=1$ ed anche:
$3^y(5^(x-y)-1)>=0$
e vale l'uguaglianza solo se $y=x$. La nostra equazione è quindi:
$2=2sum_(k=0)^(y-1) 5^(x-1-k)3^k + 3^y(5^(x-y)-1)$
Che ha come unica soluzione $x=y=1$.
P.S. le osservazioni precedenti non sono servite, ma per risolvere questi problemi io valuto prima le osservazioni
Osserviamo la seguente identità: sia $x>=y$:
$5^x-3^y=2sum_(k=0)^(y-1) 5^(x-1-k)3^k + 3^y(5^(x-y)-1)$
(si fa similmente se $y>x$)
$sum_(k=0)^(y-1) 5^(x-1-k)3^k >=1$
e vale l'uguaglianza solo se $y=1$ ed anche:
$3^y(5^(x-y)-1)>=0$
e vale l'uguaglianza solo se $y=x$. La nostra equazione è quindi:
$2=2sum_(k=0)^(y-1) 5^(x-1-k)3^k + 3^y(5^(x-y)-1)$
Che ha come unica soluzione $x=y=1$.
P.S. le osservazioni precedenti non sono servite, ma per risolvere questi problemi io valuto prima le osservazioni
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