2-sottogruppi di Sylow
Salve a tutti...Dovrei trovare i 2-sottogruppi di Sylow di $D_6={id,r,r^2,r^3,r^4,r^5,s, rs, r^2s, r^3s, r^4s,r^5s}$, gruppo delle rotazioni e simmetrie di un esagono regolare. Applicando i teoremi di Sylow,ricavo che il numero dei 2-sottogruppi può essere o uno oppure tre. Siccome però sono riuscita a trovare un 2-sottogruppo che sarebbe ${id, r^3, r^3s,s}$ e non è normale allora dovrebbero starci altri due 2-sottogruppi che però non riesco a trovare...mi potete dare una mano? Grazie mille....
Risposte
"melli13":Perché? Prova a ragionare sul caso che tu scarti!
...non è normale...
Che gruppi sono i \(2\)-Sylow di \(\mathrm{D}_6\)? Indizio: ragiona sul loro ordine, poi sulla loro interpretazione geometrica!
$H={id, r^3, r^3s,s}$ non è normale perchè prendendo un $g in D_6, gHg^(-1)!=H$. Ad esempio: $r^2r^3s(r^2)^(-1)= r^5sr^4=rs !in H$. L'unico caso in cui potrebbe sembrare normale si ottiene se prendo $g=r^2$. In questo caso: $r^2r^3r^4=r^3$. Ma per essere normale a noi interessa che questa proprietà sia verificata per ogni $h in H, g in G$.
Ragionando con gli ordini ho trovato che gli altri $2-$sylow dovrebbero essere:
$K={id, r^3,rs, r^4s}$ e $J={id, r^3, r^5s, r^2s}$
Giusto? Grazie ancora...
Ragionando con gli ordini ho trovato che gli altri $2-$sylow dovrebbero essere:
$K={id, r^3,rs, r^4s}$ e $J={id, r^3, r^5s, r^2s}$
Giusto? Grazie ancora...
Il mio consiglio non è tanto dimostrare che \(H\) non è normale, più che altro determinare che vi sono \(3\) sottogruppi \(2\)-Sylow mediante il numero dei \(3\)-Sylow, ragionando per assurdo in fin dei conti; così da ottenere più informazioni sulla struttura di \(\mathrm{D}_6\) e facilitarti la determinazione dei \(2\)-Sylow.
Proprio su quest'ultimo punto: non mi sembra che \(K\) sia un sottogruppo!
Proprio su quest'ultimo punto: non mi sembra che \(K\) sia un sottogruppo!
Sei sicuro che $K$ non sia un sottogruppo?a me pare di si...più che altro non mi sembra coniugato con gli altri due.
Diciamo che quella che mi conisgli tu è stata la prima parte dell'esercizio..la seconda era di trovare un esempio..
!
Per Sylow so che in un gruppo di cardinalità $12$ posso avere o un $2-$sylow e 4 $3-$sylow oppure un $3-$sylow e 3 $2-$sylow. Uno dei p-sylow deve essere per forza normale altrimenti il numero di elementi sarebbe maggiore della cardinalità di $G$ stesso.
In questo caso specifico, un $3-$sylow sarebbe: ${1, r^2, r^4}$ giusto? Questo sottogruppo è normale e quindi è unico! Posso dire che con $D_6$ mi ritrovo nel caso in cui il $3-$sylow è normale e i $2-$sylow invece ne sono 3. Ma questo come mi aiuta a determinarli?
Diciamo che quella che mi conisgli tu è stata la prima parte dell'esercizio..la seconda era di trovare un esempio..
!Per Sylow so che in un gruppo di cardinalità $12$ posso avere o un $2-$sylow e 4 $3-$sylow oppure un $3-$sylow e 3 $2-$sylow. Uno dei p-sylow deve essere per forza normale altrimenti il numero di elementi sarebbe maggiore della cardinalità di $G$ stesso.
In questo caso specifico, un $3-$sylow sarebbe: ${1, r^2, r^4}$ giusto? Questo sottogruppo è normale e quindi è unico! Posso dire che con $D_6$ mi ritrovo nel caso in cui il $3-$sylow è normale e i $2-$sylow invece ne sono 3. Ma questo come mi aiuta a determinarli?
In effetti \(K\) è un sottogruppo di \(\mathrm{D}_6\) (come sto arrugginito)!
Avevo pensato a un'altra dimostrazione della non unicità dei \(2\)-Sylow, ma lasciamo stare(*); l'unico particolare che si salva è che così la loro intersezione è \(Z(\mathrm{D}_6)=\{\iota_6;r^3\}\)! Da questo particolare puoi costruirti i Sylow che t'interessano.
EDIT (*) Per i curiosi, si tratta di dimostrare a mano che se \(D_6\) avesse un unico \(2\)-Sylow esso sarebbe un gruppo nilpotente e quindi abeliano; ciò è assurdo, sempre per assurdo si dimostra quanto ho esplicitato.
Avevo pensato a un'altra dimostrazione della non unicità dei \(2\)-Sylow, ma lasciamo stare(*); l'unico particolare che si salva è che così la loro intersezione è \(Z(\mathrm{D}_6)=\{\iota_6;r^3\}\)! Da questo particolare puoi costruirti i Sylow che t'interessano.
EDIT (*) Per i curiosi, si tratta di dimostrare a mano che se \(D_6\) avesse un unico \(2\)-Sylow esso sarebbe un gruppo nilpotente e quindi abeliano; ciò è assurdo, sempre per assurdo si dimostra quanto ho esplicitato.
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